c) x2+ y2− xz − yz − x − 3 = 0

Corso di Laurea in Matematica Geometria proiettiva, curve e superfici

Foglio di esercizi 2

2.1. Per ogni quadrica di R³ dire di quale tipo affine si tratta. Immergere la figura in P³(R), dire di quale tipo proiettivo si tratta e trovare i punti impropri rispetto all’immersione fatta.

a) z²− xy − yz − x − y − 3 = 0;

b) z²+ y²− xz − yz − x − 3 = 0;

c) x²+ y²− xz − yz − x − 3 = 0;

d) x²+ 2y²− xz − yz − x − 3 = 0;

e) xy + yz = 3;

f ) xy + x =−2;

g) xy + yz + xz = 0;

h) x²+ y²+ xy− 3z²− 2z − 5 = 0.

i) x² − 2z²+ x + 2 = 0.

2.2. Disegnare le seguenti quadriche in R³.

i) 4x²+ y²+ z² = 4;

ii) 9x²+ z²− y = 0;

iii) y²− x²+ z²− 1 = 0;

iv) 4x²+ 4y²− z²− 1 = 0;

v) y²− 2y + z²+ x² = 1;

vi) 2x²+ y²− z² = 0;

vii) x²− y²− z = 0;

viii) −4x²+ y²+ z²− 1 = 0;

ix) 9x²− y²+ 9z²+ 1 = 0;

x) z²+ 9y² = 4;

xi) z²+ x = 4;

xii) xy = 1.

2.3. Scrivere le seguenti quadriche di P³(R) in forma canonica.

a) x²₀+ 4x²₃− x²2+ x₁x₂ = 0;

b) x0x1+ x1x2 = 0;

c) x₀x₁+ x²₂+ x₂x₃ = 0;

d) x²₀+ 2x²₂+ 3x²₂+ x₂x₃+ x₀x₁ = 0;

e) x²₀+ 3x²₁+ 2x²₂ = 0;

f ) x²₀− x²₃+ 12x₀x₁ = 0;

g) 5x²₀− x²1− x²2+ 3x₂x₃ = 0;

h) x₀x₁+ x₁x₂+ x₂x₃ = 0.

2.4. Scrivere le seguenti quadriche di P³(C) in forma canonica.

a) x²₀+ 4x²₃− x²2+ x₁x₂ = 0;

b) x₀x₁− x1x₂ = 0;

c) x₀x₁− 3x²₂ = 0;

d) ix²₀+ 2ix²₁+√

3x²₂ = 0;

e) 5x²₀− x²1− x²2+ 3x2x3 = 0;

f ) x₀x₁− ix1x₂+ x₂x₃ = 0.

2.5. Scrivere le seguenti quadriche di C³ in forma canonica.

a) xy = i;

b) ixy = 0;

c) x²+ ix + y²− z²+ 2z = 0;

d) x²− y²+ z²+ 2x = 0;

e) x²+ xy + z²− xz − x = 0;

f ) 18x² + 6xy− iy²− yz − 2 = 0.

g) x²− y²− z − 3i + 2 = 0.