4 2) a) Dimostrare che lim(x,y)→(0,0)(x2+ 3) y sin(x2+ y2) x2+ y2 = 0

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino (Analisi) 4 maggio 2011 Tema A

Cognome Nome Matr.

Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).

1) Risolvere i problemi di Cauchy, precisando l’intervallo in cui le funzioni trovate sono soluzione

A)

( yy⁰ = 2(x + 1) y(0) = −1 ; B)





y⁰= 2x

3 − x²y + 5x y(−1) = 2

; C)







4y⁰⁰+ y = 0 y(0) = 0 y⁰(0) = 4

2) a) Dimostrare che lim(x,y)→(0,0)(x²+ 3) y sin(x²+ y²) x²+ y² = 0.

b) Dimostrare che il lim_{|(x,y)|→+∞} x log(x²+ 3y²) non esiste.

3) Data la funzione

f (x, y) = 4x log(3y + 7 − 3x²) + artg(yx)

a) determinare e disegnare il dominio D, precisando se D `e un insieme aperto o chiuso;

b) calcolare il vettore gradiente;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (1, 0, f (1, 0)).

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino (Analisi) 4 maggio 2011 Tema B

Cognome Nome Matr.

Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).

1) Risolvere i problemi di Cauchy, precisando l’intervallo in cui le funzioni trovate sono soluzione

A)







2yy⁰ = −x + 1

y(1) = − 3

√2

; B)





y⁰= 2xy 6 − x² + 4x y(2) = 10

C)







4y⁰⁰+ 12y⁰+ 9y = 0 y(0) = 2 y⁰(0) = 4

2) a) Dimostrare che lim(x,y)→(0,0)x (y − 3) tg(x²+ y²) x²+ y² = 0.

b) Dimostrare che il lim_{|(x,y)|→+∞}y log(5x²+ y²) non esiste.

3) Data la funzione

f (x, y) = 5x log(4 + x²− 4y) + sin(yx)

a) determinare e disegnare il dominio D, precisando se D `e un insieme aperto o chiuso;

b) calcolare il vettore gradiente;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (1, 0, f (1, 0)).