x2− y3 x2+ y2 , (x, y x, y

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino (Analisi) 20 febbraio 2009 Tema A

Cognome Nome Matr.

1) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰= − 1

√x + 5y − e^−2√x+5 sin 3x ; b) y⁰⁰+ 25y = 0

2) Risolvere i problemi di Cauchy

C1)





y⁰= e^y− 6 (x − 5) e^y

y(0) = log 6 C2)





y⁰= e^y− 6 (x − 5) e^y y(0) = log 7 precisando l’intervallo di definizione delle soluzioni trovate.

3) Stabilire se le seguenti funzioni sono continue nel punto (0, 0)

a) f (x, y) =





x²− y³

x²+ y² , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)

b) g(x, y) =



 x³y

x²+ y² , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)

4) Data la funzione f (x, y) = log(x²y) + arctan(6x + y⁴− 5)

a) determinarne il dominio D;

b) calcolare le derivate direzionali di f nel punto P = (1

2, 1), nei versori individuati dalla direzione della retta x + y + 3 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (1 2, 1, f (1

2, 1)).

1

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino (Analisi) 20 febbraio 2009 Tema B

Cognome Nome matr.

1) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰= 1

√x + 4y + e^2√x+4 cos 2x ; b) y⁰⁰+ 16y = 0

2) Risolvere i problemi di Cauchy

C1)





y⁰ = e^y− 3 (x + 4) e^y

y(0) = log 3 C2)





y⁰ = e^y− 3 (x + 4) e^y y(0) = log 4 precisando l’intervallo di definizione delle soluzioni trovate.

3) Stabilire se le seguenti funzioni sono continue nel punto (0, 0)

a) f (x, y) =





x⁴− y²

x²+ y² , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)

b) g(x, y) =



 y²x

x²+ y² , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0)

4) Data la funzione f (x, y) = log(xy²) + arctan(2 − 4x − y³)

a) determinarne il dominio D;

b) calcolare le derivate direzionali di f nel punto P = (1

2, 1), nei versori individuati dalla direzione della retta y − x + 8 = 0;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (1 2, 1, f (1

2, 1)).

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