maFV xdtdxdtF VF  md mdVdt Cenni sulla soluzione di alcune EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1

Cenni sulla soluzione di alcune EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Lasciando ovviamente agli amici e colleghi Matematici il compito di sviluppare compiutamente e approfondire la teoria sull’integrazione delle equazioni differenziali, si vogliono qui soltanto introdurre e puntualizzare alcuni argomenti che si possono incontrare nella risoluzione e nella discussione dei problemi di Fisica (A.G.).

Affrontando la risoluzione di semplici problemi monodimensionali, si incontrano Equazioni del tipo:

1)- Moto uniformemente accelerato, (accelerazione a , velocità V , posizione x):

a g ov x

dt g

 Costante = g  dV    dt vero d

²

2 [1]

2)- Moto di un corpo di massa m , soggetto alla forza F (costante) , in un mezzo viscoso (coefficiente di viscosità ) :

ma F V x

dt

dx

dt F V F

    m d       

m dV dt

2

2 [2]

3)- Moto di una fune ideale, omogenea, lunga L , di massa m e densità lineare che "scivola giù" da un tavolo (senza attrito) (essendo x la lunghezza della fune già scivolata fuori dal tavolo):(Occorre ipotizzare un vincolo - piano liscio verticale - su cui la fune che cade si appoggi, onde evitare che, durante la "caduta", la fune assuma una componente orizzontale della quantità di moto)

ma xg x

   m d dt  

gx = 0

2

2 [3]

4)- Moto di un corpo di massa m collegato ad una molla ideale di costante elastica k, senza attrito (moto armonico) :

ma x

  kx  m d dt

+ kx = 0

2

2 [4]

Cerchiamo, come soluzione delle equazioni proposte, una X funzione della variabile indipendente t tale che, sostituendo X(t) e le sue derivate nell'equazione di partenza, quest'ultima si riduca ad una identità.

Equazioni differenziali.

Ordine : ordine massimo delle derivate di X (t).

{Es:

m d

+ kx = 0

2

x

dt

² è del 2° ordine ; mdx

dt x F è di 1° ordine}.

Grado: massimo grado della derivata di ordine massimo.

{Tutte le equazioni precedenti sono di 1° grado]}.

Omogenea: contiene solo termini dipendenti da X e dalle sue derivate (spesso i termini che non dipendono da X e dalle sue derivate, quando esistono, vengono posti al secondo membro, permettendo di individuarli più facilmente).

{Es. di equazione omogenea:

m d

+ kx = 0

2

x

dt

^{2 ;}

Es. di non omogenee: la [2] di pag.1

m d

m dV dt

2

x dt

dx

dt F V F

2

      

e la [8] di pag.7:

A d x dt

dx

dt t

2

2

+ B + C x = g( )

^}

Lineare: la variabile dipendente e le sue derivate figurano solo al primo grado, senza prodotti misti; in caso contrario la equazione si dice non lineare

{Le [1]-[4] e la [8] sono tutte lineari }.

In una equazione lineare la variabile indipendente può figurare ad ogni grado o essere argomento di funzioni trascendenti.

Ogni equazione lineare è automaticamente di primo grado ma una equazione di primo grado non è necessariamente lineare. {Esempio: d x

dt k dx

dt h

2 2

2

  0

 

   non è lineare perchè la derivata prima figura alla seconda potenza ma è di 1° grado perchè le derivata di ordine massimo figura alla prima potenza}.

La soluzione di una equazione di ordine n contiene n costanti arbitrarie.

Nella risoluzione dei problemi di Fisica queste costanti arbitrarie si determinano con i dati forniti dal problema per i valori che le grandezze fisiche assumono in particolari circostanze (valori al contorno o spesso iniziali: ad esempio la velocità che assume il corpo in un determinato istante - anche, eventualmente, nell’istante iniziale - per la [1]; la velocità in un certo istante e la lunghezza della fune che all’istante iniziale si trova già “penzolante”

dal tavolo, per la [3] ecc.).

Equazioni di 1° ordine a variabili separabili.

dx dt

f t

x C f t dt C

 _{g( )}^{( )}  g(x) dx = f(t) dt  g(x)dx



 ₁ 



^{( )}  ₂ [5]

o anche, posta C = C2 - C1 una costante arbitraria che terrà conto dei valori al contorno forniti dai singoli problemi, si può scrivere in definitiva:

g x dx( ) 



f t dt( ) C



^[5.a]

--- Rientrano in questo gruppo le equazioni del tipo [1] . ---

Digressione sulle costanti di integrazione.

L’equazione (del tipo [1]) F ma mdV

  dt è del tipo a variabili separabili [5] o [5.a].

Infatti la si può scrivere F

mdt dV . Integrando ambo i membri (con F e m costanti):

^F_m

 ^

^{dt C 1}



^

^

^{dV C 2 } _m^F

^

^{t C 1}

^

^{ V C2 [5.b]}

In alternativa, pensando che il moto venga studiato nell’intervallo di tempo da t0 at (durante il quale la velocità varia da V0 a V ), la soluzione [5], in termini di integrali definiti, potrebbe essere scritta come :

F

m dt dV

t t

V V

0 0



^



e, eseguendo gli integrali: ^F_m



^{t t} 0



^{V t}( )^V0 . [5.c]

Nella [5.c] l’assegnazione di un valore a t0 corrisponde alla scelta, arbitraria, dell’origine dei tempi (istante iniziale), cioè a stabilire l’istante in cui “scattare il cronometro”; detta scelta può essere effettuata una sola volta nella risoluzione di un problema; spesso (ma non sempre!) può convenire porre t0 = 0 .

La scelta di t0 nella [5.c] corrisponde alla scelta di un valore da assegnare a C1 nella [5.b].

L’istante iniziale viene quindi scelto arbitrariamente. Il nostro problema però, per essere univocamente determinato, deve anche fornire l’indicazione di quanto vale in detto istante la velocità V(t0) ; ciò permette di assegnare il valore appropriato al parametro V0 della [5.c].

Nella [5.c] la costante V0 rappresenta appunto il valore V(t0) assunto dalla velocità all’istante iniziale.

La determinazione di V0 nella [5.c] corrisponde alla determinazione di C2 nella [5.b] (C2 = - V0).

La forma [5.a] in cui compare solo la C , mette in evidenza il fatto che, una volta scelta arbitrariamente l’origine dei tempi, il problema può ulteriormente assegnare il valore di un solo parametro (nel nostro esempio V0 ).

Analoghe osservazioni valgono per la determinazione di S (t0) (strada già percorsa all’istante iniziale).

---

--- Altro esempio: moto di un corpo di massa m che parte dall’origine con velocità iniziale V0 e che si muove in un mezzo viscoso di coefficiente  ; unica forza applicata è Fa = -V , cioè quella provocata dall’attrito viscoso (conviene considerare incognita la velocità V ):

ma  V  mdV   V

 dt  [2.bis]

con i dati :



V(0) = V ; X 0 = S = 0₀

 

₀



Separando le variabili : mdV

V dt

t

  dt  m



dV 



t

V =

V V

0

 

0

   

m V

V

V

V t t

.log log

0 0

       0

t - t

0 m

  ^{ }

V t  V e

₀ ^{ m t t0}



L'argomento della funzione esponenziale deve essere un numero puro, pertanto il coefficiente   m deve avere dimensioni di un tempo ; la soluzione, di conseguenza, può essere scritta come

V t    V

₀

e

^{ }

t t₀

 che, per t0 = 0 , diviene:

V t    V

₀

e

^

t

 [2.ter]

Il significato del coefficiente  è ora evidente: esso rappresenta l'intervallo di tempo (calcolato a partire da t=0) durante il quale la velocità si riduce di un fattore 1/e.

Integrando ulteriormente si può, a questo punto, ottenere la strada percorsa S (t) (scritta ancora per t0 = 0):

   

dS V t dt V e e S e

S t t t

  





   

 

   

 



  

^{  } 

 S

t

0 t

0

t t

0

S t - S = ₀ . dt = V e V

0 0 0

0

1 1

. ^  ^  ^{ }

Il coefficiente

S

_

 . V

₀ ha le dimensioni di una lunghezza (tempo . velocità); esso rappresenta la strada che il punto materiale ha percorso dopo un tempo molto lungo (teoricamente infinito) se parte dall'origine all'istante iniziale (cioè, come detto, S0 = 0).

--- Rientra nel tipo a variabili separabili anche l'equazione del punto [2] (anche in questo caso conviene considerare come incognita la velocità V):

mdV

dt F  V cioè m dV

F V dt

 

 [2]

Conviene operare un cambiamento di variabile ponendo :

z F V dz

      

dz = dV dV  Allora sostituendo nella [2]:

mdV z

m dz

z dt dt

= dt dz

z =

     m





e quest'ultima, a variabili separate, si integra semplicemente membro a membro.

 

dz

z =

m z

z = m

Z

Z t

0 0 0



^{ }



_t^{dt  ln   t t} 0

Passando dai logaritmi ai numeri (e ponendo t0 = 0 )

z

z

^m

t 0

 e

^{ t}

 z = z e

0 ^m

 

Ritorniamo alla variabile di partenza V , (chiamando

z

₀

= F V  

₀ dove V0 = V (t0) ); quindi:

 

F  V t  F  V

^{ m}



 



 



( )

₀

e

^t

Riordinando, con passaggi successivi, si trova la soluzione V(t):

 

F  F  V

^

t



 



 



0

e

^{m t}

= V ( )

V t   F F

_m

   

  

 

^



 



 



V e

₀ ^{t [6]}

I limiti della soluzione [6] sono:

lim V = F

V

t    

0   0 0

F V ; lim

t V F Limite

  V



Dall’ultima relazione si vede che Vlimite è il valore assunto dalla velocità dopo un tempo molto lungo (teoricamente infinito) qualunque sia la velocità iniziale. Nei vari problemi può risultare Vlimite > = < V0

Anche qui si può introdurre il coefficiente  con significato analogo a prima (  m

) (vedi pag.4).

La soluzione ora diviene:

 

V t V_Limite V_Limite V V_Limite e

t t

( )     

 

 

  

0 e 1 V e0

t

   [6.bis] (vedi Nota a pag. 12)

Anche qui integrando si può ottenere dalla [6] un'espressione per la strada S(t), percorsa al tempo t :

   

dS S t S t dt V dt V e dt

t

Limite

t

  

t

 



₀

( ) 0 = V 

0

( ) 

0

V

_Limite 0



0 ^ t t



dove S(0) è la strada già percorsa all’istante iniziale; con alcuni passaggi algebrici, otteniamo :

 

 

S = V_Limite t + V_Limite V + S V t

t t

t   e ^  _Limite S e ^ S

 

    

 



 

0 1 ( )0 1 1 ( )0

avendo chiamato S1 il coefficiente ^



^VLimite  ^V₀



che ha dimensioni di una lunghezza.

In definitiva: dopo un tempo sufficientemente lungo, quando l'esponenziale si approssima a zero, il moto è praticamente uniforme, con velocità VLimite .

Esempi di applicazione fisica dell’equazione [2] sono la caduta di un sasso nell’acqua o di una goccia di pioggia (o un chicco di grandine) nell’aria ; in questi casi F è la forza peso e  rappresenta il coefficiente di viscosità del mezzo (aria o acqua).

---

Equazioni di 2° ordine, lineari, a coefficienti costanti.

A d x dt

dx dt

2

2

+ B + C x = 0

^{omogenea [7]}

A d x dt

dx

dt t

2

2

+ B + C x = g( )

non omogenea [8]

A , B , C costanti reali. (è consuetudine ridursi ad A >0 )

Studio della Omogenea. Valgono le regole:

1)-- Se X=f (t) è una soluzione, allora anche C1.X è una soluzione (con C1 costante).

2)-- Se X1 = f1 (t) e X2 = f2 (t) sono soluzioni indipendenti, allora anche una qualsiasi loro combinazione lineare C1 X1 + C2 X2 è una soluzione (dove C1 , C² sono costanti ).

Le proprietà 1) e 2) dipendono dal fatto che l'equazione è lineare ed omogenea.

Ipotizziamo una soluzione del tipo X = eZt :

X e Ze X

dt Z

Zt Z t Z t

  dX   

dt d

e

2 2

2

Sostituendo nella [7] troviamo i valori cui deve soddisfare Z affinché e^Zt sia soluzione della [7]:

AZ

²

e

^{Z t}

 BZe

^{Z t}

 C e

^{Z t}

= 0  AZ + BZ + C = 0

²

Z =

B B

= Z

B +

= Z

 

2



 





 



 



4 2

4 2

1

2

2

AC A

B AC

A

Quindi (usando la proprietà (2) ) si ha la soluzione generale

X C e 

₁ ^{Z1 t}

+ C

₂

e

^{Z2 t [9]}

con C1 e C2 costanti arbitrarie da determinare di volta in volta in base ai dati dei problemi.

Si presentano i tre casi

B

²

 4 AC

> 0 = 0 < 0



 

 

Caso DISCRIMINANTE

B

²

 4 AC

> 0 Casi particolari:

---Con A , B , C non nulli e tutti > 0 abbiamo : B² 4AC certamente < B quindi:

 

 

 

 

Z B < B

certamente < 0

Z B quantità < B

2A certamente < 0

1

2

   2

  





 



 



quantità A

quindi:

X  C

₁

e

^{Z1 t}

+ C e

₂ ^{Z2 t e anche}

lim

t

X

 

 0

_[10]

--- ---Con A = m ( > 0 ) ; B = 0 ; C = -g ( < 0 )

si ottiene la soluzione della [3] ("fune che scivola") (X è la coordinata dell’estremo destro della fune):

Z m g

1 2 m

4 4m g 2

2m = K ; Z = = K

     

X da cui anche dX

dt

= C e₁ ^{ K t} + C e₂ ^{ K t} = KC e KC e₁ K t  ₂ ^{ K t} [11]

Introducendo nelle [11] appropriati valori al contorno (valori iniziali) si ottengono le soluzioni per varie situazioni della fune:

--a)-- Con X0 = 0 ; V0 = 0 (per t= 0 ) si ottiene C1 = C2 = 0 (resta ferma !!!) --b)-- Con X0 = L / 2 (fune per metà sul tavolo) ; V0 = 0 (per t=0) , si ottiene:

L C C KC KC

2  ₁ ₂ ; 0 ₁ ₂ [11.bis]

Dalle [11.bis], con passaggi si ottiene: C L

C L

1  4 ; C2  1  4 . Ricordare: K m g

m

g

 4  m

2

  che, con   m

L , diviene K g

 L

La soluzione generale del sottocaso (b) per la posizione X , la velocità V e la accelerazione a diviene:

    _{ }

X L

e e L e e L

Kt Kt

Kt

Kt Kt

   







4 2 2 2 cosh

^[12]

  _{ }

V dX

dt

LK e e

sostituendo K L g

L Kt

Kt Kt

  

 



2 2 ... .... 2 senh ^[13]

    _{ }

a dV

dt

L K e e L g

L

e e g

Kt

Kt Kt Kt Kt

  

 



 

2 2 2 2 2

2

... sostituendo K ..=

²

cosh

^[14]

Da queste, ad esempio, per t = 0 (ricordiamo che, in questo sottocaso (b), metà della fune si trova all’inizio sul tavolo, metà “penzolante giù dal tavolo”) :

a g

 

g

 

2 0

cosh 2 (Forza peso mg/2 applicata all'intera massa m ).

Quando tutta la fune abbandona il tavolo ( X = L):

   

X L L

e^Kt e ^Kt e^Kt e ^Kt

   ^   ^ 

4 4 e sostituendo la parentesi nella [14] si ricava:

a g

 g

4( )4 cioè la fune è in caduta libera (ovvio!)

Per trovare la velocità ( sempre per X=L) si usano le [12] [13], innalzate al quadrato:

   

X L L

Kt V L

K Kt

2 2

2

2 2

2

2 2

4 4

  cosh ;  senh

   

4

²

2 2 2

 cosh Kt  senh

2

L K Kt

; 4 V

e sottraendo membro a membro:

cosh ( ) senh ( )

^{2 2}

2 2 2

1 4 4

2

3

Kt Kt V 4

L K Lg

     V 

---

Nota aggiuntiva . Nel problema della fune che "cade dal tavolo" occorre fare una precisazione.

Se si esclude l'istante iniziale, la fune si muove tutta con una velocità V che cresce nel tempo (in modo non lineare: si ricordi che anche l'accelerazione non è costante!). Nell'istante in cui un tratto infinitesimo (di massa dm) di fune abbandona il tavolo (e incomincia a cadere) possiede già una velocità, orientata secondo l'asse orizzontale (per es. asse Z) e quindi una quantità di moto secondo lo stesso asse. Una volta abbandonato il tavolo, le forze applicate al tratto dm non hanno componenti orizzontali (lungo l'asse Z), pertanto la componente orizzontale della quantità di moto del tratto di fune dm resta costante; in altre parole il pezzettino di fune, anche se perfettamente flessibile, "cade" come un corpo lanciato con una velocità iniziale orizzontale non nulla e tenderebbe quindi a scostarsi dal bordo del tavolo. Per obbligare la fune a piegarsi ad angolo retto iniziando la caduta, sarebbe necessario "costringerla" con un vincolo (un tubo fisso, piegato ad angolo retto verso il basso - tubo in cui far scorrere la fune senza attrito; oppure semplicemente un piano verticale fisso contro cui la fune urta e poi scorre verticalmente - sempre senza attrito): è quindi necessario un "vincolo" per

"assorbire" la componente orizzontale della quantità di moto della fune.

Caso DISCRIMINANTE = 0 cioè B2 - 4AC = 0 ; Z Z B

A Z

1  2  2

 La soluzione non è (come qualcuno potrebbe erroneamente pensare):

ERRATA ^X ^{C e}₁ ^Zt ^{C e}₂ ^Zt 



^C₁^{C e}₂



^Zt ERRATA

La soluzione corretta è :

X  C e

₁ ^Zt

 t C e

₂ ^{Zt [15]}

---

Caso DISCRIMINANTE < 0 (B² - 4AC) < 0

In questo caso, chiamando j la unità immaginaria, si può scrivere:

Z B j AC B

A

B

A j

1

4 2

2 2

   

    

= j 4AC - B

2A

2

 

Z B j AC B

A

B

A j

2

4 2

2 2

   

  j 4AC - B   2A =

2

 

avendo posto B

A A

2  4AC - B2 ² 

e con  e costanti reali positive.

A questo punto la [9] diviene:

X  C

₁

e

^{  j t}

+ C e

₂ ^{  j t [16]}

che, opportunamente trasformata, si può anche scrivere:

 

X  X

₀

e

^t

sen  t  

^[17]

Le costanti arbitrarie C1 , C² della [16] si trasformano nelle costanti X0 ,  della [17] ; tutte queste costanti sono da determinare con i valori al contorno forniti per i singoli problemi. La forma [17] evidenzia che siamo di fronte a un moto armonico smorzato.

I passaggi riportati qui di seguito suggeriscono un modo per passare dalla forma [16] alla forma [17] .

 

X  C e

₁ ^t

e

^{j t}

 C e

₂ ^{ t}

e

^{ j t}

 e

^{ t}

C

₁

e

^{j  t}

 C e

₂ ^{ j t [18]}

poniamo

C

₁

 K K

₁



₂

; C

₂

 K

₁

 K

₂ e la [18] diviene:

X  e

^{ t}

( K e

₁ ^{j  t}

 K e

₂ ^{j  t}

 K e

₁ ^{j t}

 K e

₂ ^{ j t}

)

Raccogliendo i termini K1 , K2 e moltiplicando una parentesi per 2/2 , l’altra per (2j/2j) :

X e K e e

j K e e

j

t

j j

  

 

  

 





 





 

t j t t j t

+



   

2 2 2

1 2 2 cioè:

 

X e^t 2K ₁ cos ( )t + 2jK ₂ sen ( ) t 

e ponendo infine 2K1 = X0 sen  e 2 j K2 = X0 cos X0 e opportune costanti ):

 

X  e^t X₀sen( ) cos( ) t + X₀cos( ) sen( ) t [17a]

cioè come apparirebbe la [17] dopo aver sviluppato sen



t



.

--- Il caso particolare con A = m ; B = 0 e C = k > 0 porta all'equazione del moto armonico: (vedi anche la [4])

 

X  X

₀

sen   t 

^[19]

Infatti se B = 0 , allora anche  e di conseguenza e^-t= 1

Il  che compare nella [19] coincide ora con quella che, a suo tempo, abbiamo chiamato la pulsazione del moto armonico.

   C  A

k m

--- Equazione non omogenea

La soluzione dell'equazione non omogenea [8] si ottiene dalla soluzione della equazione omogenea [7]

sommando a questa una soluzione particolare della non omogenea (l’Analisi Matematica insegna come trovare questa soluzione particolare).

Nota

Anche l’equazione [2] pag. [1] è non omogenea. Si può ora verificare che, anche per essa, la soluzione [6.bis] si poteva trovare molto semplicemente sommando alla soluzione della omogenea associata, una soluzione particolare della non omogenea.

La omogenea associata è proprio la [2.bis] di pag. [4] e la sua soluzione è la [2.ter] sempre di pag.[4]

mdV

dt F V dV

dt V F

   m   non omogenea [2]

mdV

dt  V  mdV  

dt V 0 omogenea associata [2.bis]

 

^{ }

V t  Ae

^{ m t t0} o anche

V t    A e

^{ t} soluz. della omogenea [2.ter]

dove A è una opportuna costante da determinare (equazione di 1° ordine = 1 costante arbitraria).

Una soluzione particolare della non omogenea [2] (per dV

dt  0) è certamente V F

  che sommata alla [2.ter] diviene:

V t F

Ae

t

( )  

^



^

Con la condizione iniziale V t V F A ( 0) ₀  

 ricaviamo A V F

 ₀

 e quindi

V t F

V F

e F

e V

t t t

( )    

  

    

  

  

  



⁰



^

 1

^{ 0}

e

^ che è la [6.bis] di pag.[6]

Con F=0 si ottiene di nuovo la [2.ter] (

F  0 comporta A = V

₀ ).