EQUAZIONI DIFFERENZIALI Definizione 1

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Definizione 1: si definisce equazione differenziale ordinaria (ordinary differential equation) una equazione funzionale che abbia come incognita una funzione y=ƒƒƒ(x) della variabile reale ‘x’ e ƒ che stabilisca un legame fra ‘x’ e ‘y’ e almeno una delle sue derivate.

Definizione 2: si definisce ordine di una equazione differenziale il massimo ordine delle derivate che compaiono in essa. Un’equazione differenziale di ORDINE ‘n’ si indica nella seguente forma:

F(x, y, y’, y”, … , y

⁽ⁿ⁾

) = 0

Esempio:

3 y ' − 2 y + 3 x − 4 = 0

equazione differenziale ordinaria del 1° ordine

0 2 5 ''

2 y + y + =

equazione differenziale ordinaria del 2° ordine

Esistono diversi metodi che consentono di determinare le funzioni

y = y(x)

che insieme alle loro derivate soddisfino l’equazione differenziale.

Definizione 3: si definisce SOLUZIONE o INTEGRALE di una equazione differenziale OGNI funzione

y = y(x)

, definita in un intervallo D di R e derivabile in D con sue derivate successive fino a quella di ordine ‘n’, tale che in D sia verificato che:

F[x, y(x), y’(x), y”(x), … , y

⁽ⁿ⁾

(x)] = 0

Il grafico di

y = y(x)

si dice CURVA INTEGRALE.

È bene osservare che in generale la soluzione di una equazione differenziale NON È UNICA.

Esercizio EQ1: Stabilire se la funzione

y = 2 x

²

+ 5x

è soluzione dell’equazione differenziale

y’ = 4x + 5

La funzione

y = 2 x

²

+ 5x

è definita su tutto R, ivi differenziabile e la sua derivata è

y’ = 4x + 5

Sostituendo nell’equazione differenziale ordinaria assegnata si ottiene:

5 4 5 4 5

4 ) 5 2

( 5

4

' = + ⇒ x

²

+ x = x + ⇒ x + = x + dx

x d y

Poiché si ottiene una identità è stabilito che

y = 2 x

²

+ 5x

è soluzione dell’equazione differenziale

y’ = 4x + 5

Esercizio EQ2: Verificare che la funzione

y = 2·e

^{−−x−−} è la soluzione dell’equazione differenziale ordinaria

y’”−−−− y’ = 0

.

La funzione

y = 2·e

^{−−−−x} è definita su tutto R e ivi derivabile insieme alle sue derivate successive che assumono la forma seguente:

x x

dx e e d dx

x

y dy

⁻

−

−

=

=

= ( ) ( 2 ) 2

'

⇒ ^{x x}

x

e dx e

e d dx

x

y dy

^{− −}

−

=

−

−

− =

=

= ' ( ) ( 2 ) 2 ( 1 ) 2

"

x x

dx e e d dx

x

y dy

⁻

−

−

=

=

= " ( ) ( 2 ) 2

"

'

Sostituendo le sole derivate di interesse nell’equazione differenziale ordinaria assegnata si ottiene:

x x

x x

x

x

e e e e e

e y

y ' " − ' = 0 ⇒ − 2

⁻

− ( − 2

⁻

) = 0 ⇒ − 2

⁻

+ 2

⁻

= 0 ⇒ 2

⁻

= 2

⁻

Poiché si ottiene una identità si conclude verificando che la funzione

y(x) = 2 e

^-x è soluzione della equazione differenziale ordinaria

y’” − − − − y’ = 0

.

Esercizio EQ3: Stabilire se la funzione

y = k e

^x è soluzione dell’equazione differenziale

y’ = y

. La funzione

y = k e

^x è definita su tutto R, ivi derivabile, e la sua derivata prima è

y’ = k e

^x. Sostituendo nell’equazione differenziale ordinaria assegnata, si ottiene:

x x x

x

ke ke ke

dx ke y d

y ' = ⇒ ( ) = ⇒ =

relazione che rappresenta una identità; pertanto,

y = k e

^x è soluzione dell’equazione differenziale

ordinaria

y’ = y

. Inoltre la soluzione costituisce una famiglia di soluzioni, al variare di k.

Si è già affermato che la soluzione di una equazione differenziale non è unica, ma è costituita da una famiglia di funzioni che dipendono da costanti; il numero delle costanti è pari all’ordine dell’equazione differenziale ordinaria. Nell’esempio riportato con l’esercizio EQ3 si è visto che le funzioni

y = k e

^x costituiscono una famiglia di soluzioni.

Definizione 4: l’insieme di tutte le soluzioni definisce l’INTEGRALE GENERALE dell’equazione differenziale ordinaria.

Definizione 5: attribuendo alle costanti i valori numerici si passa da un integrale generale a un INTEGRALE PARTICOLARE.

In talune circostanze può verificarsi che l’integrale generale NON contenga tutte le soluzioni che l’equazione differenziale ordinaria può ammettere.

Definizione 6: si chiama INTEGRALE SINGOLARE una soluzione dell’equazione differenziale ordinaria NON ottenibile dall’integrale generale per particolari valori del parametro (anche eventualmente infinito).

Esercizio EQ4: Sia assegnata l’equazione differenziale ordinaria del primo ordine

y '= 4 x y

a) verificare che

y = 0

è una soluzione dell’equazione differenziale data;

b) verificare che

y = (x

²

+ k)

² è una famiglia di soluzioni dell’equazione data;

c) verificare che

y = (x

⁴

+ 2x

²

+ 1)

è una soluzione dell’equazione assegnata e che si ottiene per k= 1;

d) verificare che la soluzione

y = 0

non si può ricavare dall’integrale generale.

y = 0

è un integrale singolare?

a) la funzione

y = 0

è definita su tutto R ed ivi derivabile, la sua derivata è

y’ = 0

. Sostituendola nell’equazione differenziale assegnata si ottiene la scrittura:

0 4

0 = x

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

0 = 0

⇒⇒⇒⇒

y = 0

è soluzione dell’equazione differenziale assegnata b) la funzione

y = (x

²

+ k)

^{2 èdefinitasututtoReivi}derivabile,lasua derivata assumelaforma

y’ = 2(x

²

+ k)2x = 4x(x

²

+ k)

. Sostituendola nell’equazione differenziale assegnata si ottiene la scrittura seguente:

2 2

2

) 4 ( )

(

4 x ⋅ x + k = x ⋅ x + k

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_{4 x ⋅ ( x}

²

_{+ k ) = 4 x ⋅ ( x}

²

_{+ k )}

, pertanto si conclude che

y = (x

²

+ k)

² è una famiglia di soluzione dell’equazione differenziale assegnata;

c) la funzione

y = (x

⁴

+ 2x

²

+ 1)

puòessereriscritta nella forma

y = (x

²

+ 1)

²che appuntosiottiene dall’integrale generale ponendo k=1;

d)

y = 0

è soluzione dell’equazione differenziale data ma non esiste k tale che

∀ x ∈ R

si abbia

2

2

)

(

0 = x + k

. Pertanto,

y = 0

è un integrale singolare.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

La forma tipica di una equazione differenziale lineare del primo ordine è espressa dalla seguente relazione:

F(x, y, y’) = 0

È sempre conveniente, dove risulti possibile, esplicitare la derivata prima y’ al fine di ottenere l’equazione differenziale nella forma normale che di seguito si evidenzia:

y’ = ƒ ƒ ƒ ƒ (x, y)

Si può affermare che il suo integrale generale è costituito dalla famiglia di funzioni

y = y(x, C)

in cui C rappresenta il parametro che descrive appunto la famiglia di soluzioni.

Vale il seguente teorema di Cauchy, noto come Esistenza e Unicità Locale:

Sia y’ = ƒƒƒƒ(x, y) una equazione differenziale ordinaria del primo ordine e sia D un insieme aperto di R² in cui ƒƒƒƒ è definita e per ipotesi si supponga che ƒƒƒƒ’y sia continua in D. Sia inoltre P(xO, y_O) ∈∈∈ D; ∈ allora l’equazione differenziale ordinaria del primo ordine y’ = ƒƒƒƒ(x, y) ammette una e una sola soluzione y = y(x) tale che in x_O si ha che y(x_O) = y_O. La condizione y(x_O) = y_O si conosce come CONDIZIONE INIZIALE e permette di passare dall’INTEGRALE GENERALE all’integrale PARTICOLARE.

Il teorema di Cauchy si caratterizza per i seguenti significati:

• dal punto di vista grafico, afferma che per ogni punto P(xO, y_O) del dominio D delle funzioni di due variabili passa una e una sola curva integrale appartenente alla famiglia di soluzioni descritta dall’integrale generale;

• dal punto di vista analitico esso garantisce l’esistenza e l’unicità delle soluzioni nei punti dello insieme aperto D. Può verificarsi l’esistenza di soluzioni in corrispondenza dei punti della frontiera dell’insieme aperto D; se tali curve attraversano D si trovano come integrali particolari, se NON attraversano D allora esse stanno interamente sul bordo dell’insieme D e costituiscono, pertanto, gli integrali singolari.

Si consideri l’equazione differenziale lineare del primo ordine completa a coefficienti costanti, scritta in forma normale, e il relativo problema di Cauchy afferente le condizioni iniziali:

t

y y

O

t y t f t y a t

y ' ( ) = · ( ) + ( ) ( )

₌₀

= ( 0 ) =

in cui ƒƒƒƒ(t) e y(t) sono funzioni della variabile reale t∈∈∈∈R. È definito integrale generale l’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale; per determinare l’integrale generale bisogna dapprima risolvere l’equazione differenziale omogenea associata che si ottiene ponendo ƒƒƒƒ(t)=0, ovvero:

0 ) (

· ) (

' t = a y t = y

Si perviene a una equazione differenziale a variabili separate che può esprimersi nella forma:

dt t a

y t t dy

y dt a

t

dy ·

) (

) ) (

( ) ·

( ₌ ⇒ =

a cui corrisponde la procedura di integrazione membro a membro come di seguito esplicitato:

t a c c t

a

e e

e t y c

t a t y dt

t a y

t

dy

_{( · ) ·}

· )

(

· )]

( ln[

) · (

)

( ₌ ∫ _{= +} ⇒ =

⁺

=

∫

DefinitalanuovacostanteC_Omediantelaposizioneseguente:

C

_O

= e

^c, l’integrale generale della equazione omogenea associata è dato da:

t a O

g

t C e

y

O

·

·

) ( =

Si tratta ora di determinare una soluzione particolare yP(t) dell’equazione differenziale completa atta a soddisfare la tipologia del termine noto ƒƒƒƒ(t). A tale riguardo si osserva che:

••••

^ƒƒƒ(t) è una costante, cioè: ƒ^ƒ ƒƒƒ(t) = K.

In questo caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione costante yP(t)=K_P. Sostituendo yP(t) = K_P, nell’assegnata equazione differenziale completa si ottiene:

) (

· 0

· )

( dK

_P

dt = a K

_P

+ K ⇒ = a K

_P

+ K ⇒ K

_P

= − K a

⇒

y

_P

( t ) = − K a

L’integrale generale y_g(t) si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

P t a O P

g

g

t y t y t C e K

y ( ) =

O

( ) + ( ) = ·

^·

+

⇒

a e K C t

y

_g

( ) =

_O

·

^a·t

−

La funzione temporale y(t) soluzione dell’equazione differenziale lineare assegnata atta al soddisfacimento della condizione afferente il problema di Cauchy è determinata imponendo che per t=0 sia yg(0)=y_O. Si perviene al seguente risultato:

a C K a y

e K C a y

e K C t

y

_g

( ) =

_O

·

^a·t

− ⇒

_g

( 0 ) =

_O

·

⁰

− ⇒

_O

=

_O

−

Si conclude, pertanto, che:

C

_O

= y

_O

+ ( K a )

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia assume la seguente forma:

a e K a y K t

y

_O



^at

+



 



 +

= ·

^·

) (

••••

^ƒƒƒ(t) è una funzione esponenziale, cioè: ^ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ (t) = A

·

e

^ββββ·t, con

β β β β ≠ ≠ ≠ ≠ a

In tale caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione esponenziale yP(t)=K_P

e

^ββββ·t. Sostituendo yP(t) = K_P

e

^ββββ·t, nell’assegnata equazione differenziale completa si ottiene:

t t

P t

P t

t P t

P

e a K e A e K e a K e A e

dt K

d

_{· · · · · ·}

·

·

·

·

·

·

· )

·

(

^β

=

^β

+

^β

⇒ β

^β

=

^β

+

^β

Ricordando che ·

e

^ββββ·t≠≠≠≠0 ∀∀∀∀t∈∈∈∈R, si ottengono le scritture di seguito esplicitate:

A K a A

K a K e

A K a e

K

_P

·

^·t

= ( ·

_P

+ )·

^·t

⇒ β

_P

= ·

_P

+ ⇒ ( β − ) ⋅

_P

=

β

^{β β}

Si conclude, pertanto, che:

)

( a

K

_P

A

= −

β

, da cui consegue, ovviamente:

) (

· · )

(

· ·

a e e A

K t y

t t

P

P

= = −

β

β β

L’integrale generale yg(t) si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

) (

· · )

( )

( )

(

· ·

a e e A

C t y t y t y

t t

a O P

g

g _O

+ −

= +

= β

β

Si deve imporre, ora, il soddisfacimento della condizione iniziale dettata dal problema di Cauchy ottenendo quanto segue:

) (

) (

· · )

0 ) (

(

· · )

(

0 0

· ·

a C A

a y e e A

C a y

e e A

C t

y

_{g O O O}

t t

a O

g

⇒ = + −

+ −

⇒ = + −

= β β β

β

Si conclude, pertanto, col calcolo della costante CO fornito dalla relazione:

)

( a

y A C

_{O O}

− −

= β

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia nel caso specifico assume la seguente forma:

) (

· · )

(

· ·

a e e A

a y A

t y

t t

a

O

 + −



 





− −

= β β

β

••••

^ƒƒƒ(t) è una funzione esponenziale, cioè: ^ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ(t) = A

·

e

^ββββ·t, con

β β β β = a

, ovvero:

ƒ(t) ƒ ƒ ƒ = A

·

e

^a·t

In tale caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione esponenziale yP(t)=K_Pt·

e

^a·t. Sostituendo yP(t) = K_Pt·

e

^a·t, nell’assegnata equazione differenziale completa si ottiene:

t a t

a P t

a P t

a P t

a t

a P t

a

P

t e a K t e A e K e a K t e a K t e A e

dt K

d

_{· · · · · · ·}

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

· )

·

·

( = + ⇒ + = +

Ricordando che ·

e

^a·t≠≠≠≠0 ∀∀∀∀t∈∈∈∈R, si ottengono le scritture di seguito esplicitate:

A K A

t K a t K a

K

_P

+ ·

_P

· = ·

_P

· · + ⇒

_P

=

Si conclude, pertanto, che:

y

_P

( t ) = K

_P

· t · e

^a·t

= A · t · e

^a·t

L’integrale generale yg(t) si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

t a t

a O P

g

g

t y t y t C e A t e

y

O

·

·

· ·

· )

( )

( )

( = + = +

Si deve imporre, ora, il soddisfacimento della condizione iniziale dettata dal problema di Cauchy ottenendo quanto segue:

0 0

·

·

· · ( 0 ) · · 0 ·

· )

( t C e A t e y C e A e

y

_g

=

_O ^at

+

^at

⇒

_g

=

_O

+

⇒

y

_O

= C

_O

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia nel caso specifico assume la seguente forma:

t a O

t a t

a

O

e A t e y A t e

y t

y ( ) = ·

^·

+ · ·

^·

= ( + · )·

^·

••••

ƒƒƒ(t) è un polinomio di grado n, cioè: ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ(t) = u

n·

t

ⁿ

+ u

n-1·

t

^n-1

+…+ u

O,

Come caso di studio teorico si esamina la funzione polinomiale di grado n=1, cioè la funzione

ƒ ƒ ƒ

ƒ(t) = u

·

t + v

. In tale caso anche la soluzione particolare è costituita da un polinomio di grado n=1; sia, per tanto, yP(t)=h·t + k. Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

v t u k t h a h v

t u k t h a dt k t h

d ( · + ) = ·( · + ) + ( · + ) ⇒ = ·( · + ) + · +

, ovvero:

0 )·

·

( a h + u t + ak + v − h =

a cui corrispondono, in ossequio al principio di identità dei polinomi, le seguenti scritture:

 



=

− +

= +

0 0 h v ak

u

ah

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 



= +

+

−

=

0 ) ( a u v

ak

a u

h

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 



−

−

=

−

=

) ( )

( u a

²

v a k

a u h

Si conclude, pertanto, che la soluzione particolare è fornita dalla relazione:

 

 



 +

−

⋅

−

= a

v a t u a t u

y

_P

( )

₂

L’integrale generale yg(t) si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

 

 



 +

−

⋅

−

= +

= a

v a t u a e u C t y t y t

y

_{g g P O} ^at

O 2

·

·

) ( )

( )

(

Si deve imporre, ora, il soddisfacimento della condizione iniziale dettata dal problema di Cauchy ottenendo quanto segue:

 

 



 +

−

⋅

−

⇒ =

 

 



 +

−

⋅

−

= a

v a

u a

e u C a y

v a t u a e u C t

y

_g

( )

_O

·

^a·t _{2 g}

( 0 )

_O

·

⁰

0

₂ , ovvero:

 

 



 +

+

⇒ =

 

 



 +

−

= a

v a y u

a C v a C u

y

_{O O 2 O O 2}

L’integrale particolare y(t) richiesto dalla traccia nel caso specifico assume la seguente forma:

 

 



 +

−

 −



 



 + +

=

⁻

a v a t u a e u

a v a y u t

y ( )

_{O 2}

·

^a·t

·

₂

Selafunzionepolinomialefossedigrado n=2,ovverolafunzione

ƒ(t) ƒ ƒ ƒ = u

·

t

²

+ v

·

t + w

,anche la soluzioneparticolaresarebbecostituita daun polinomiodigrado n=2; pertanto, si avrebbe:

y

P

(t) = h·t

²

+ k·t + q

.

••••

ƒƒƒ(t) è una funzione trigonometrica, cioè: ^ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ(t) = αsin(ωt) + βcos(ωt)

In tale caso una soluzione particolare è costituita dalla funzione

y

P

= Asin(ωt) + Bcos(ωt)

Esercizio EQ5: Si vuoledeterminarela soluzione dell’equazione differenziale ordinarialineare del primo ordine,acoefficienti costanti, y’=3y + 1 e che soddisfi il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y(0)=1.

Dall’espressione classica y’=ay+ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a=3, f(t)=1=cost=K e y(0)=y_O =1. L’equazione omogenea associata è data da:

y

y '= 3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

λ = 3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y

_go

( t ) = C

_O

e

^λt

= C

_O

e

^3t

Il termine notoƒƒƒƒ(t)=1 rappresentaunpolinomiodigradozero nella variabileindipendente t;ciò consente di affermare che la soluzione particolare è costituita da un polinomio di grado n=0; sia, per tanto, yP(t)=K_P. Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

3 1 1

3 0 1

· 3 )

( dK

_P

dt = K

_P

+ ⇒ = K

_P

+ ⇒ K

_P

= −

⇒

y

_P

( t ) = − 1 3

L’integrale generale yg(t) si determina sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

3 1

· )

( )

( )

( =

_g

+

_P

=

_O ^3t

−

g

t y t y t C e

y

O

Al variare di CO ∈∈∈∈R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completaacoefficienticostantiassegnata;nonrestaorache

imporreilsoddisfacimentodelproblema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0)=1; si ottiene:

1 ) 0 ( =

y

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 3

0

1

3^⋅

− = e

C

_O

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 1 1

0

= +

e C

_O

3

4

O

= C

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente:

( ^{4 1} )

3 · 1 3

· 1 3 4 3

· 1 )

( t = C

_O

e

^3t

− = e

^3t

− = e

^3t

− y

Esercizio EQ6: Si vuoledeterminarela soluzione dell’equazione differenziale ordinarialineare del primo ordine,acoefficienti costanti, y’=2y+5e^-3t e che soddisfi il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y(0)=2.

Dall’espressione classica y’=ay+ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a=2, y(0)=y_O =2, f(t)=5e^{−−3t−−} e pertanto A=5 e β=−−−−3≠≠≠≠a. L’equazione omogenea associata è definita dalla scrittura:

y

y '= 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

λ = 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y

_go

( t ) = C

_O

e

^λt

= C

_O

e

^2t

Il termine notoƒƒƒƒ(t)=5e^{−−3t−−} definisceuna funzione esponenziale con β≠≠≠≠a, quindi β≠≠≠≠λλ;λλ ciò consente di affermare che la soluzione particolare y_P(t) è costituita dalla funzione temporale yP(t)=K_Pe^βt, ovvero: y_P(t)=K_Pe^{−−−−3t} . Sostituendo y_P(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

t t

P t

t P P

P

K e e

dt e K e d

t dt y

t

dy

₃ ³ _{3 3}

5

· ) 2 5 (

) (

· ) 2

(

₋ ⁻ _{− −}

+

⇒ = +

=

L’attivazione dell’operatore di derivazione consente di ottenere le scritture di seguito riportate:

t t

P t

t P t

P

e K e e K e e

K

³

2 ·

³

5

³

5

³

5

³

3

⁻

=

⁻

+

⁻

⇒ −

⁻

=

⁻

−

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− 5 K

_P

= 5

⇒

K

_P

= − 1

L’integrale particolare assume, pertanto, la forma:

y

_P

( t ) = K

_P

e

^−βt

= − 1 e

^−3t ⇒

y

_P

( t ) = − e

^−3t

L’integrale generale y_g(t) si determina sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

t t

O P

g

g

t y t y t C e e

y

O

3

·

2

) ( )

( )

( = + = −

⁻

Al variare di C_O ∈∈∈∈R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completaacoefficienticostantiassegnata;nonrestaorache imporreilsoddisfacimentodelproblema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0)=2; si ottiene:

2 ) 0

y ( =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

e

^2⋅0

− e

^−3⋅0

= 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

e

⁰

− e

⁻⁰

= 2

da cui, ricordando che

e

^±±±±0

= 1

, si ottiene per la costante CO il seguente valore:

C

_O

− 1 = 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

= 3

La funzione costituente la soluzione cercata è, quindi, espressa dalla relazione seguente:

t t t

t

O

e e e e

C t

y ( ) = ·

²

−

³

= 3 ·

²

−

³

Nella figura a lato si sono evidenziati gli andamenti temporali sia della soluzione cercata y(t), sia delle due componenti che la costituiscono.

Esercizio EQ7: Si desideradeterminarela soluzione della equazione differenziale ordinarialineare del primo ordine, acoefficienti costanti, 2y’+4y−−−−6e^{−−2t−−} =0 e che soddisfi:

a) il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y₁(0)= −−−−1;

b) il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y₂(0)=1;

È necessario esprimere l’equazione differenziale assegnata in forma classica al fine di individuare i relativi parametri.

In tale ottica si ottiene la seguente scrittura:

0 6

4 '

2 y + y − e

^{− t2}

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

2 y ' = − 4 y + 6 e

^−2t

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y ' = − 2 y + 3 e

^−2t

Dall’espressione classica y’=ay+ƒƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si evince che a=−2, y(0)=y_O =−−−−1, f(t)=3e^{−−−−2t} e pertanto A=3 e β=a=−2. L’equazione omogenea associata è definita dalla scrittura:

y

y ' − = 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

λ = − 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y

_go

( t ) = C

_O

e

^λt

= C

_O

e

^−2t

Il termine notoƒƒƒ(t)ƒ =3e^{−−−−2t} definisceuna funzione esponenziale con β=a, quindi β=λλ;λλ ciò consente di affermare che la soluzione particolare yP(t) è costituita dalla funzione temporale yP(t)=K_Pte^βt, ovvero: yP(t)=K_Pte^{−−2t −−} . Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

t t

P t

t P P

P

K te e

dt te K e d

t dt y

t

dy

₂ ² _{2 2}

3

· ) 2 3 (

) (

· ) 2

(

₋ ⁻ _{− −}

+

−

⇒ = +

−

=

L’attivazione dell’operatore di derivazione consente di ottenere le scritture di seguito riportate:

t t

P t

P t

P t

t P t

P t

P

e K te K te e K e K te K te e

K

⁻²

− 2

⁻²

= − 2

⁻²

+ 3

⁻²

⇒

⁻²

− 2

⁻²

+ 2

⁻²

= 3

⁻²

0

) 3 (

0 )

3

( K

_P

− e

^−2t

= 

^e



^−2t>



^0∀



^t



^∈R

→ K

_P

− =

⇒

K

_P

= 3

L’integrale particolare assume, quindi, la seguente forma:

y

_P

( t ) = K

_P

te

^−βt

= 3 te

^−2t

L’integrale generale yg(t) si determina sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

t t

O P

g

g

t y t y t C e te

y ( ) =

_O

( ) + ( ) = ·

⁻²

+ 3

⁻²

Al variare di CO ∈∈∈∈R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completaacoefficienticostantiassegnata;nonrestaorache imporreilsoddisfacimentodelproblema di Cauchy.

a) relativamente alla condizione iniziale y(0)=−−−−1; si ottiene:

1 ) 0

1

( = −

y

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

e

^2⋅0

+ 3 ⋅ 0 ⋅ e

^−2⋅0

= − 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

e

⁰

= − 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

= − 1

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente:

t t

t t

t

O

e te e te t e

C t

y

₁

( ) = ·

²

+ 3

⁻²

= −

⁻²

+ 3

⁻²

= ( 3 − 1 ) ⋅

⁻²

b) relativamente alla condizione iniziale y(0)=1; si ottiene:

1 ) 0

2

( =

y

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

e

^2⋅0

+ 3 ⋅ 0 ⋅ e

^−2⋅0

= 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

e

⁰

= 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

_O

= 1

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente:

t t

t t

t

O

e te e te t e

C t

y

₂

( ) = ·

²

−

⁻²

=

⁻²

+ 3

⁻²

= ( 1 + 3 ) ⋅

⁻²

Esercizio EQ8: Si vuoledeterminarela soluzione dell’equazione differenziale ordinarialineare del primo ordine, acoefficienti costanti, y’+4y=3sin2t e che soddisfi il problema di Cauchy espresso dalla condizione iniziale y(0)= −−−−1;

È necessario esprimere l’equazione differenziale assegnata in forma classica al fine di individuare i relativi parametri. In tale ottica si ottiene la seguente scrittura:

t y

y ' + 4 = 3 sin 2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y ' = − 4 y + 3 sin 2 t

Dall’espressione classica y’=ay+ƒƒƒ(t) dell’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti ƒ si evince che a=−4, y(0)=yO =−1, f(t)−−− =3sin2t e pertanto α=3, ββββ=0 e ω=2.

L’equazione omogenea associata è definita dalla scrittura:

y

y ' − = 4

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

λ = − 4

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y

_go

( t ) = C

_O

e

^λt

= C

_O

e

^−4t

Il termine notoƒƒƒƒ(t)=3sin2t definisceuna funzione trigonometrica con α=3 e ω=2;ciò consente di affermare che la soluzione particolare yP(t) è costituita dalla combinazione lineare delle funzioni temporali trigonometriche yP(t)=Asin2t+Bcos2t. Sostituendo yP(t) nell’equazione differenziale completa, si ottiene:

t t

dt y t dy

P

P

( ) 4 ( ) 3 sin 2

+

−

=

t t

B t dt A

t B t A

d ( sin 2 cos 2 ) 4 ( sin 2 cos 2 ) 3 sin 2 +

+

⋅

− + =

L’attivazione dell’operatore di derivazione consente di ottenere le scritture di seguito riportate:

t t

B t A t

B t

A cos 2 2 sin 2 4 sin 2 4 cos 2 3 sin 2

2 − = − − +

t t

B t A t B t

A cos 2 2 sin 2 4 sin 2 4 cos 2 3 sin 2

2 − + + =

t t

B A t

B

A 4 ) cos 2 ( 4 2 ) sin 2 3 sin 2 2

( + + − =

Applicando il principio di identità dei polinomi si giunge alle due relazioni seguenti la cui validità deve essere contemporaneamente verificata; si ottiene, pertanto, il seguente sistema lineare:

 



=

−

= +

3 2 4

0 4 2

B A

B

A

⇒

 



=

−

= +

3 2 4

0 2

B A

B

A

⇒

 



=

−

−

−

=

3 2 8

2 B B

B

A

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 



=

−

−

= 3 10

2 B

B

A

⇒

10 3 5 3

−

=

= B A

L’integrale particolare assume, quindi, la seguente forma:

t t

t B t A t

y

_P

cos 2

10 2 3 5 sin 2 3

cos 2

sin )

( = + = −

⇒





 



 −

= t t

t

y

_P

cos 2

2 2 1 sin 5 · ) 3 (

L’integrale generale y_g(t) si determina sommando l’integrale generale dell’equazione omogenea associata ygo(t) con la soluzione particolare yP(t); si ottiene, pertanto:

 

 



 −

+

= +

= y t y t C e

⁻

t t

t

y

_{g g P O} ^t

O

cos 2

2 2 1 sin 5 ·

· 3 )

( )

( )

(

⁴

Al variare di CO ∈∈∈∈R si determina la famiglia delle soluzioni dell’equazione differenziale ordinaria completaacoefficienticostantiassegnata;nonrestaorache imporreilsoddisfacimentodelproblema di Cauchy relativo alla condizione iniziale y(0)=−−1; si ottengono le seguenti scritture: −−

1 ) 0 ( = −

y

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 

 

− +

=

−

⁻

cos( 2 · 0 )

2 ) 1 0

· 2 sin(

5 ·

· 3 1 C

_O

e

^4·0

 

 

− +

=

− cos( 0 )

2 ) 1 0 sin(

5 ·

· 3

1 C

_O

e

⁰

⇒





 



 − +

=

− 2

0 1 5 ·

1 C

_O

3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

10 1 = − 3

− C

_O

Pertanto, la costante CO assume il valore:

10 7 10

1 + 3 = −

−

O

= C

La funzione costituente la soluzione cercata è, pertanto, espressa dalla relazione seguente:

 

 



 −

+

−

= e

⁻

t t

t

y

^t

cos 2

2 2 1 sin 5 ·

· 3 10 ) 7

(

⁴

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y ( t ) = − 0 , 7 · e

^−4t

+ 0 , 6 ·(sin 2 t − 0 , 5 cos 2 t )

OSSERVAZIONE: volendo confrontare l’espressione trigonometrica dell’integrale particolare yP(t)