Corso di Laurea in Tecnologie per l’Innovazione Parziale di CALCOLO II

Università degli Studi di Camerino

Corso di Laurea in Tecnologie per l’Innovazione Parziale di CALCOLO II

20 marzo 2007

SOLUZIONE

1) Deve essere ₂ ² 3 2 0

x x 0

x x

e e

 − + >

 − ≥

 da cui segue

( )

1 2

1 0

x x

x , x e e

< >

 

− ≥

 , 1 2

0 x , x x

< >

 

 ≥

per cui D = { x ∈ » / 0 ≤ x < 1 , x > 2 } ^.

2) A) ^{3 2 2} ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

x x x

x x x x

x x x

lim lim lim

x x

→ → →

− − − −

− − +

= =

− −

( ^{2 1} )

2 x x

−

− = 3

B) _{2 2}

0 0 0

3 4 3

3 4 4 3 4

3 7

3 1

x x x

senx x cos x senx

cos x

senx x cos x x x

lim lim lim

tgx x tgx

tgx x

x x x

→ → →

+ +

+ +

= = = =

−

− −

3) La funzione ( )

1

f x = e x non è definita per x = 0; poiché

0

1

x

lim ^→

^±

x = ±∞ e

x 0

x

lim e se x

se x

→±∞

 → −∞

= 

+∞ → +∞

 si ha

1 0

0 0

0

x x

lim e se x

se x

−

→ +

 →

= 

+∞ →

 , quindi la retta x = 0 (ovvero l’asse y) è un asintoto verticale a destra. Inoltre la funzione ha per asintoto orizzontale la retta y = 1 in quanto

1

0 1

x x lim e e

→±∞

= = .

4) La funzione è sempre definita e la sua derivata è: ^{f ' x} ( ) ^{= 2 xe − x}

²

( ^{1 − x 2} ) . Lo studio del segno porta al seguente grafico:

Si ha pertanto che la funzione è crescente negli intervalli x < − 1 0 , < x < 1 ; è decrescente negli intervalli 1 − < x < 0 , x> 1 . Si hanno massimi nei punti (-1; 1/e) e (1; 1/e); si ha un minimo nell’origine degli assi (0; 0).

5) ^{D =} { ^{x ∈} » ^{/ x ≠ ± 1} } . La funzione è negativa per x < − 1 0 , < x < 1 e positiva per 1 x 0 , x> 1

− < < . f(x) = 0 per x = 0. Ha asintoti verticali: x = -1 e x = 1; infatti

3 1 1 2 x

lim x x

→±

= ∞

− ; asintoto obliquo y = x; infatti:

3 2 1

x

lim x x

→±∞

= ±∞

− ,

3 2

1 1

1

x

lim x

x x

→±∞

⋅ =

− e

3 3

2 1

x x

x x

lim x lim

x

→±∞ →±∞

 

− =

 

 − 

x 3

−

2 2 0

1 ^x 1

x x

x lim ^→±∞ x

+ = =

− − .

La derivata prima è ( ) ( )

( )

2 2 2 2

3 1

x x

f ' x x

−

=

−

ed è negativa per − 3 < x < − 1 , 1 − < x < 0 , 0 < x < 1 ,

1 < x < 3 , è positiva per x < − 3 e x > 3 ed è nulla per x = ± 3 e x = 0 . Il punto 3 3 3

, 2

 

− −

 

 

  è un massimo, il punto 3 3

3 , 2

 

 

 

  è un minimo. L’origine degli assi (0,0) è un flesso, infatti la derivata seconda è ( ) ( )

( )

2 2 3

2 3

1 f " x x x

x +

=

−

che è negativa per x < − 1 e 0 < x < 1 ,

positiva per 1 − < x < 0 e x > 1 ; la derivata seconda è nulla per x = 0.