x 0 Utilizzando la formula di Mason e le seguenti variabili ausiliarie G1 = Kv, G2 = 1 Cms, G3 = 1 b + mps, G4 = Km s si ottiene la funzione di trasferimento G(s) del sistema: G(s

Frizione idraulica

Si consideri il seguente modello idraulico semplificato di una frizione:

P Pressione di alimentazione

Q Portata volumetrica nella valvola Kv Costante di prop. della valvola Cm Capacit`a idraulica del cilindro P1 Pressione all’interno del cilindro A Sezione del pistone

x Posizione del pistone

˙x Velocit`a del pistone mp Massa del pistone

b Attrito lineare del pistone Km Rigidit`a della molla

Fm Forza della molla sul pistone

Valvola (Kv) mp

b, A Km

P R = 0 x

P1

Cm

Qx

Q

Il corrispondente modello dinamico POG `e il seguente:

P

Q

- 

Kv

?

?

 -

 -

1 Cms

6

6

P1

-  ^ A ^ Qx

- A ^-Fx _{- }

1 b+mps

?

?

 ˙x -

 -

6

1s

6

Km

6

Fm

- 

x

0 Utilizzando la formula di Mason e le seguenti variabili ausiliarie

G1 = Kv, G2 = 1

Cms, G3 = 1

b + mps, G4 = Km

s si ottiene la funzione di trasferimento G(s) del sistema:

G(s) = Fm(s)

P (s) = A G1G2G3G4

1 + G1G2 + A²G2G3 + G3G4 + G1G2G3G4

che sostituendo diventa:

G(s) = AKmKv

Cmmps³ + (Cmb + Kvmp)s² + (A² + CmKm + Kv b)s + KmKv

Le equazioni che caratterizzano il sistema sono le seguenti:

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

Q = Kv(P − P1) Cm ˙P1 = Q − Qx

mp¨x = Fx − b ˙x − Fm

⎧⎪

⎨

⎪⎩

Fm = Km x Fx = A P1

Qx = A ˙x

Quando le equazioni vengono scritte in modo “non organizzato” non `e facile capire qual `e l’ordine dinamico del sistema e se sono state scritte tutte le equazioni necessarie per la completa definizione del sistema. Se si introduce il seguente “vettore di stato”

x = 

P1 ˙x x T

le equazioni del sistema possono essere strutturate nel modo seguente:

⎡

⎣ Cm ˙P1

mp ¨x

˙x

⎤

⎦ =

⎡

⎣ −Kv −A 0

A −b −Km

0 1 0

⎤

⎦

⎡

⎣ P1

x˙x

⎤

⎦ +

⎡

⎣ Kv

00

⎤

⎦ P

y = Fm

dove P `e la pressione di controllo in ingresso e y = Fm `e la forza misurata in uscita. Tale sistema di equazioni pu`o essere riscritto nella forma seguente:

⎡

⎣ ˙P1

¨x˙x

⎤

⎦   

˙x

=

⎡

⎢⎣

−_C^K_m^v −_C^A_m 0

mA_p −_m^b_p −^K_m^m_p

0 1 0

⎤

⎥⎦

  

A

⎡

⎣ P1

x˙x

⎤

⎦   

x

+

⎡

⎣

K_v Cm

00

⎤

⎦   

B

 P

u

y = 

0 0 Km 

  

C

x

che in forma compatta diventa (descrizione nello spazio degli stati):

 ˙x = A x + B u

y = C x dove

A `e la matrice di sistema B `e la matrice degli ingressi C `e la matrice delle uscite

˙x = 0 e u0 = P :

x0 = −A⁻¹B u0, y0 = C x0

Nel caso in oggetto si ottiene:

x0 =

⎡

⎣ P1

x˙x

⎤

⎦

0

=

⎡

⎣ P

A P0

Km

⎤

⎦ , y0 = [Fm]0 = A P

La funzione di trasferimento G(s) di un sistema lineare descritto nello spazio degli stati si ottiene anche utilizzando la seguente relazione:

G(s) = C(sI − A)⁻¹B

Il risultato che si ottiene `e identico a quello ottenuto con la formula di Mason.

Se il sistema `e non lineare si deve procedere in modo diverso. Supponiamo, per esempio, che nel caso in esame sia la valvola che la molla siano elementi non lineari: Φv(∆P ) e Φm(x).

P

Q

- 

Φv(∆P )

?

?

 -

∆P

 -

1 Cms

6

6

P1

-  ^ A ^ Qx

- A ^-Fx _{- }

1 b+mps

?

?

 ˙x -

 -

6

1s

6

Φm(x)

6

Fm

- 

x

0

La descrizione nello spazio degli stati `e ora la seguente:

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎣

˙P1

¨x

˙x

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎦ =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

−Φv(P1 − P )

Cm − A ˙x Cm

A P1

mp − b ˙x

mp − Φm(x) mp

˙x

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

, Fm = Φm(x)

Posto x1 = P1, x2 = ˙x, x3 = x, x = [x1 x2 x3]^T, u = u = P e y = Fm, la descrizione nello spazio degli stati `e ora la seguente:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎡

⎣ ˙x1

˙x2

˙x3

⎤

⎦   

˙x

=

⎡

⎢⎢

⎣

Φ_v(u−x₁)

Cm − ^{A x}_Cm²

A x₁

m_p − ^{b x}_mp² − ^Φm_m^(x_p³⁾ x2

⎤

⎥⎥

⎦

  

f(x, u)

y =

Φm(x3)   

h(x)

↔

 ˙x = f(x, u) y = h(x)

In questo caso h(x) `e funzione del solo vettore di stato x. Nel caso pi`u generale la funzione h(x, u) dipende anche dal vettore degli ingressi u. Anche in questo caso il punto di lavoro ¯x associato all’ingesso u = ¯u si determina imponendo

˙x = 0:

f(¯x, ¯u) = 0 →

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

Φ_v(¯u−¯x₁) Cm = 0

A ¯x₁

m_p − ^Φm_m^(¯x_p³⁾ = 0

¯x2 = 0

→

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

¯x1 = ¯u − Φ⁻¹_v (0)

¯x2 = 0

¯x3 = Φ⁻¹_m (A ¯x1)

Nel caso di sistemi non lineari possono esistere pi`u punti di lavoro associati alo stesso valore del vettore di ingresso u.

La linearizzazione del sistema nell’intorno del punto di lavoro si opera nel modo seguente:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

˙x = ∂f(x, u)

∂ x^T



(¯x,¯u) (x − ¯x) + ∂f(x, u)

∂ u^T



(¯x,¯u)(u − ¯u) y = ∂h(x)

∂ x^T



(¯x) (x − ¯x)

Posto ˜x = x − ¯x e ˜u = u − ¯u, si ottiene il sistema linearizzato

 ˙˜x = A ˜x + B ˜u y = C ˜x

dove

Nel vaso in esame si ha:

A =

⎡

⎢⎢

⎣

−_C^K_m^v −_C^A_m 0

mA_p −_m^b_p −^K_m^m_p

0 1 0

⎤

⎥⎥

⎦ , B =

⎡

⎢⎢

⎣

Kv

Cm

0 0

⎤

⎥⎥

⎦ , C = 

0 0 Km 

dove

Kv = −∂Φv(u − x1)

∂ x1



(¯x₁,¯u) = ∂Φv(u − x1)

∂ u



(¯x₁,¯u) = ∂Φv(w)

∂ w



w=Φ⁻¹_v (0)

Km = ∂Φm(x3)

∂ x3



x₃=¯x₃

dove ¯x3 = Φ⁻¹_m (A (¯u − Φ⁻¹_v (0)))

In questo modo si ottiene formalmente lo stesso modello dinamico lineare considerato inizialmente.