1.1 Proiezione ortogonale su un vettore

Esercizi di Algebra Lineare

Proiezione e procedura di Gram-Schmidt

Anna M. Bigatti 8-9 aprile 2013

1 Basi ortogonali

Definizione 1.

• Una base `e ortogonale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali.

• Una base `e ortonormale se `e ortogonale e i vettori sono di lunghezza 1.

Osservazione: Dalla definizione segue che una base G = (g₁, g₂, ..., g_s) `e ortogonale (risp.

ortonormale) se e solo se g_i· g_j= 0 per i 6= j (e g_i· g_j = 1 ). Quindi, in notazione matriciale, abbiamo che

(M_G^E)^tr· M_G^E

`e una matrice diagonale (risp. identica), e gli elementi sulla diagonale sono i quadrati delle lunghezze dei g_i.

NB: attenzione alla non commutativit`a: (M_G^E)^tr· M_G^E6= M_G^E· (M_G^E)^tr

Come possiamo calcolare una base ortogonale? Iniziamo con queste definizioni....

1.1 Proiezione ortogonale su un vettore

Abbiamo visto che, in un sistema di coordinate cartesiane ortogonale monometrico, si ha u · v =

|u| · |v| · cos(θ) dove |u| · cos(θ) `e la lunghezza della proiezione ortogonale di u su v , allora il vettore proiezione ortogonale di u su v `e

pv(u) := u · v

|v|² · v equivalentemente u · v

v · v · v se v `e versore pv(u) := (u · v) · v Notate bene il diverso significato dei due segni di moltiplicazione!!

Esercizio 2. Dati v = (1, 3) e u = (5, 2) trovare u1 e u2, con u1 k v e u2 ⊥ v tali che u = u1+ u2.

Soluzione

|v|²= 10

u1= pv(u) = (1,3)·(5,2)

10 · (1, 3) = (11/10, 33/10)

u2= u − pv(u) = (5, 2) − (11/10, 33/10) = (39/10, −13/10) .

NB: Osserviamo che {v, u} e {v, u2} sono basi dello stesso sottospazio. ut

1

1.2 Proiezione ortogonale su un sottospazio

Definizione 3. Sia G = (g₁, . . . , g_s) una base di un sottospazio W di Rⁿ e u un vettore di Rⁿ.

Se G `e una base ortonormale la proiezione ortogonale di u su W `e

pW(u) := pg₁(u) + pg₂(u) + .. + pg_s(u) = (u · g1) · g1+ (u · g2) · g2+ .. + (u · gs) · gs

Se G `e una base ortogonale la proiezione ortogonale di u su W si calcola cos`ı pW(u) := pg₁(u) + pg₂(u) + .. + pg_s(u) = u · g1

|g₁|² · g1+u · g2

|g₂|² · g2+ .. + u · gs

|g_s|² · gs

2 Ortonormalizzazione di una base:

la procedura di Gram-Schmidt

Esercizio 4. Sia W il sottospazio di R⁴ generato da F = ((1, 1, 0, 0), (1, 2, 1, 0), (1, 0, 0, −1)) . Trovare una base ortonormale di W .

Soluzione

Costruiamo una base ortogonale (che normalizzeremo alla fine).

1^◦ vettore: g₁= f₁= (1, 1, 0, 0)

2^◦ vettore: g2= f2− p<g₁>(f2) , cio`e g2= f2− (<sup>3</sup><sub>2</sub>,<sup>3</sup><sub>2</sub>, 0, 0) = (−<sup>1</sup><sub>2</sub>,<sup>1</sup><sub>2</sub>, 1, 0) . 3<sup>◦</sup> vettore: g3= f3− p<g<sub>1</sub>,g<sub>2</sub>>(f3) , cio`e g3= f3− (²₃,¹₃, −¹₃, 0) = (¹₃, −¹₃,¹₃, −1) . Verifico l’ortogonalit`a:

M_G^E :=









1 −1/2 1/3 1 1/2 −1/3

0 1 1/3

0 0 −1









(M_G^E)^tr M_G^E =





2 0 0

0 3/2 0

0 0 4/3





Quindi G = ((1, 1, 0, 0), (−1/2, 1/2, 1, 0), (1/3, −1/3, 1/3, −1)) `e una base ortogonale di W . Per calcolare i versori basta dividere gli elementi di G per le loro lunghezze.

M_H^E =











√2

2 −

√6 6

√3

√ 6 2 2

√6

6 −

√3 6

0

√6 3

√3 6

0 0 −

√3 2











(M_H^E)^tr M_H^E=





1 0 0 0 1 0 0 0 1





NB attenzione alla non commutativit`a:

M_H^E (M_H^E)^tr=









3/4 1/4 −1/4 −1/4 1/4 3/4 1/4 1/4

−1/4 1/4 3/4 −1/4

−1/4 1/4 −1/4 3/4









Quindi H = ((

√2 2 ,

√2

2 , 0, 0), (−

√6 6 ,

√6 6 ,

√6 3 , 0), (

√3 6 , −

√3 6 ,

√3 6 , −

√3

2 )) `e una base ortonormale

del sottospazio W . ut

2

3 Proiezione e proiettore

3.1 Prodotto scalare per un vettore e proiezione su un vettore

Fissiamo il vettore v ∈ Rⁿ. Sia W = hvi e G = (v) , base di W .

Il prodotto scalare per v `e una funzione lineare πv: R<sup>n</sup>−→R , e la matrice associata `e M_π^E1

v(E_n)= (M_v^En)^tr

Esempio 5. Siano v = (1, 2, 0, 5) in R⁴, W = hvi , e G = (v) base di W . Allora:

πv(u) = v · u = v · (a, b, c, d) = a + 2b + 5d ∈ R M_π^E1

v(E4) = (1 2 0 5) = (M_G^E4)^tr∈ Mat1 4(R) M_π^E1

v(u) = M_π^E1

v(E₄)M_u^E4 = (1 2 0 5)(a b c d)^tr= (a + 2b + 5d) ∈ Mat1(R)

La proiezione p_v `e una funzione lineare p_v: Rⁿ−→W e le matrici associate sono M_p^G

v(En)= 1

|v|² · (M_v^En)^tr M_p^En

v(En)= 1

|v|² · M_v^En· (M_v^En)^tr Esempio 6.

pv(u) = (v · u) v

|v|² = (a + 2b + 5d)

30 (1, 2, 0, 5) ∈ R M_p^G_v(E4) = (1

30 1 15 0 1

6) ∈ Mat1 4(R) M_p^G

v(u) = M_p^G

v(E₄)M_u^E4= (1 30

1 15 0 1

6)(a b c d)^tr = (a 30+ b

15+d

6) ∈ Mat₁(R)

M_p^E4

v(E₄) = M_G^E4M_p^G

v(E₄)= M_G^E4(M_G^E4)^tr= (1 2 0 5)^tr( 1 30

1 15 0 1

6) =









1 30

1 15 0 ¹₆

2 30

2 15 0 ⁵₆

0 0 0 0

5 30

5 15 0 ⁵₆









3.2 Proiezione su un sottospazio

Fissiamo una base ortogonale G di un sottospazio W di Rⁿ.

La proiezione pW `e una funzione lineare pW : R<sup>n</sup>−→W e, se G `e ortonormale, le matrici associate sono

M_p^G_W(En)= (M_G^En)^tr M_p^En

W(En)= M_G^En(M_G^En)^tr

3

Esempio 7. Siano f1= (1, 0, −1) e f2= (2, 1, 2) in R³ e W = hf1, f2i . Allora G = (^√1

2f1,¹₃f2) `e base ortonormale.

pW(u) = (v · g1) · g1+ (v · g2) · g2= u · f1

2 · f1+u · f2

9 · f2=

= a − c

2 (1, 0, −1) +2a + b + 2c 9 (2, 1, 2)

= (¹⁷₁₈a +²₉b − ₁₈¹c, ²₉a +₉¹b +²₉c, −₁₈¹a +²₉b +¹⁷₁₈c) ∈ R³ M_p^G_v(E3) =

√1

2 0 −^√1

2 2 3

1 3

2 3



∈ Mat2 3(R)

M_p^G

v(u) = M_p^G

v(E₃)M_u^E3 =

√1

2 0 −^√1

2 2 3

1 3

2 3





 a b c



=

 √1 2a −^√1

2c

2

3a +¹₃b + ²₃c



∈ Mat2 1(R)

M_p^E3

v(E3) = M_G^E3M_p^G_v(E3)= M_G^E3(M_G^E3)^tr=





17/18 2/9 −1/18 2/9 1/9 2/9

−1/18 2/9 17/18





Definizione 8. La matrice M_p^En

W(E_n) si dice proiettore e ha le seguenti propriet`a:

• simmetrica

• idempotente

• semidefinita positiva (vedremo in seguito)

Si pu`o dimostrare che vale anche il viceversa, cio`e una matrice con tali propriet`a `e un proiettore!

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