Catena che cade ??

5.14. CATENA CHE CADE??

PROBLEMA 5.14

Catena che cade ??

Un filo perfettamente flessibile, di massa m e lunghezza`è vincolato a muoversi sulla superficie in Figura 5.6, e pende inizialmente verticalmente per un tratto x₀. Determinare il suo moto.

ℓ− x0

x0

g

Figura 5.6.: Il filo nella sua posizione iniziale.

Soluzione

Detta x la lunghezza del tratto verticale della catena possiamo scrivere l’energia cinetica del sistema nella forma

T= ^m 2 ˙x² e l’energia potenziale gravitazionale come

U=−^mx`

 g x

2



dove il termine nella prima parentesi è la massa del tratto verticale, e quello nella se- conda la posizione verticale del centro di massa rispetto al piano orizzontale. L’energia totale sarà

E= ^m 2 ˙x²− ¹

2 mg

` ^x

2

Derivando rispetto al tempo otteniamo dE

dt =m˙x ¨x− ^mg` ^x˙x= ˙x

m¨x−^mg` ^x

=0

da cui l’equazione del moto

¨x− ^g`^x=0 (5.14.1)

Questa è un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, cerchiamo quindi soluzioni della forma

x= e^αt (5.14.2)

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5.14. CATENA CHE CADE??

Sostituendo la (5.14.2) nella (5.14.1) troviamo l’equazione α²= ^g

` da cui la soluzione generale

x= Ae√g

`t+Be⁻√g

`t

Imponiamo le condizioni al contorno

x(0) = A+B=x0

v(0) = rg

`(A−^B) =0 da cui A=B= x0/2. Quindi

x= x₀cosh rg

`^{t .}

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