Elettrostatica 5
20 maggio 2011
Lavoro della forza elettrica Potenziale elettrico
Integrale di linea del campo elettrico Conservatività del campo elettrico
Relazione differenziale tra campo e potenziale Superfici equipotenziali
Lavoro della forza elettrica
• Lavoro (su di una
carica esploratrice q) di una forza generata da una distribuzione di carica
• Nel caso
particolarmente
semplice di una sola carica puntiforme
B
B
A B
A B
A AB
r qkQ r
qkQ r
r qkQ dr r
qkQ rdr
l d r r
k Q q L
1 1
1
2 3
3
B
A B
A
B
A AB
l d E q
l d E q
l d F L
Energia potenziale elettrica
• La variazione di energia potenziale è uguale al lavoro cambiato di
segno
• Nel caso particolare di una sola carica
puntiforme
L
ABA U
B
U ( ) ( )
A
B r
qkQ r A
U B
U 1 1
) ( )
(
Potenziale elettrico
• E’ l’energia potenziale per unità di carica
(esploratrice) q
• Nel nostro caso particolare vale
• E’ proporzionale alla carica Q che genera il campo
q
A U B
A U V
B
V ( ) ( )
) ( )
(
A
B r
kQ r A
V B
V 1 1
) ( )
(
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
• Possiamo riscrivere così il potenziale in un punto arbitrario B
• La costante C è uguale per tutti i punti dello
spazio
• In genere si usa scegliere C nulla, in modo che il
potenziale all’infinito sia nullo
• Possiamo dunque
esprimere il potenziale così
r C kQ B
V
B
1
) (
1 0 )
(
C r C
kQ V
kQ r r
V 1
)
(
Potenziale elettrico di una carica puntiforme. Forma alternativa
• La forma precedente
presume che la carica sia posta nell’origine delle
coordinate
• Lasciamo cadere questa posizione e riscriviamo in modo più generale il
potenziale elettrico
• Questa forma è
particolarmente utile quando abbiamo più di una carica
r kQ R
r R
V
1
R
r
R r
Potenziale di più cariche
• Usiamo il principio di sovrapposizione per E: troviamo un
analogo principio per V
• Nel caso particolare di cariche puntiformi
• Se non vi sono cariche all’infinito
possiamo scegliere la costante C nulla, così che il potenziale è
nullo all’infinito
n j
j j
n j
B
A j
B
A n j
j B
A
A V
B V l
d E
l d E
l d E A
V B
V
1 1
1
) ( )
( )
( )
(
n
j A j
j j
B j
r R
kQ r
R kQ
A V B
V
1
) ( )
(
n
j j
j
r R
R kQ V
1
)
(
7
Distribuzione continua
• Possiamo considerare ogni volume infinitesimo di carica come una carica puntiforme e poi
sommare i contributi al potenziale di tutte le infinite cariche (integrare sul volume)
• Possibili problemi matematici di convergenza
V
V R A r
r k dQ
r B
R
r k dQ
A V B
V
) ( )
) ( ( )
(
V R r
r k dQ
R
V () )
(
Dimensioni e unità del potenziale
• Dalla definizione segue che le dimensioni del potenziale sono quelle di un’energia diviso una carica
• L’unità di misura è il volt pari a
– joule diviso coulomb: J/C oppure a
– newton volte metro diviso coulomb: Nm/C
Q L F V EQ
Potenziale elettrico
• Riassumendo:
• Abbiamo così ottenuto l’importante relazione
integrale tra potenziale elettrico e campo elettrico
• Vale solo per campi statici
• verrà generalizzata da Faraday a campi elettrodinamici (3° legge dell’e.m.)
B
A B
A
AB F dl E dl
q q
L
q
A U B
A U V B
V
1
) ( )
) ( ( )
(
Conservatività della forza elettrica
• L’espressione:
• afferma che la ddp dipende solo dai punti iniziale e finale, non dal cammino seguito
• Quindi
• E siccome
B
A
l d E A
V B
V
) ( )
(
B A
C B
A
C
l d E l
d E
2 1
B A
C B
A
C
l d E l
d
E
Conservatività della forza elettrica
• Possiamo riscrivere:
• Cioè l’integrale di linea del campo E (statico) su di una linea chiusa è nullo
2 1
2 1
2 1
0
C C A
B
C B
A
C B
A
C B
A
C
l d E l
d E l
d E l
d E l
d
E
• Trasformiamo la circuitazione di E mediante il teorema di Stokes
• Assegnato C, l’integrale di destra e` nullo
qualunque sia la superficie S che poggia su C
• Ne segue che vale identicamente
C S C
a d E l
d
E 0
0
E
Forma differenziale della
conservativita` del campo elettrico
Relazione differenziale tra campo e potenziale
• La relazione tra campo e potenziale che abbiamo espresso in forma integrale, può
essere anche espressa in forma differenziale
k k
z y
x
x E V
z dz dy V
y dx V
x dV V
dz E
dy E
dx E
l d E
dV
3 , 2 ,
1
k
Relazione tra campo e potenziale
• Ovvero:
• Questa formula ci può anche essere utile per trovare il campo elettrico, calcolando prima il potenziale
• Dobbiamo calcolare un solo integrale invece di tre, e poi dobbiamo fare tre derivate parziali
V x e
e V E E
k
k k k
k
k
ˆ ˆ
Significato del gradiente
• Dall’espressione infinitesima
• Vediamo che la massima variazione di potenziale si ha quando =0 cioe` lo
spostamento e` parallelo al gradiente del potenziale (ovvero al campo elettrico)
• Il gradiente di un campo indica dunque la direzione in cui il campo varia piu`
velocemente
dl V dl
V l
d V l
d E
dV
cosRotazione di un gradiente
• Partiamo dall’equazione
• Facciamo il rotore di entrambi i membri
• Studiamo una qlq.
componente del secondo membro
• Ne segue che la rotazione di un gradiente è
identicamente nulla
A
A
0
2
2
y z z
y
y z
z
x y
0
Rotazione del campo elettrico (statico)
• Poiche’ il campo elettrico si
puo` scrivere come il gradiente del potenziale
• Per quanto appena visto sulla rotazione, ne segue che la
rotazione del campo elettrico
(statico) e` nulla
E 0
V
E
Superfici equipotenziali
• Sono superfici perpendicolari al campo elettrico
• Equipotenziale significa infatti che V è costante sulla
superficie, quindi dV=0
• Dalla relazione tra campo e
potenziale segue che il campo elettrico è perpendicolare a
qualunque vettore che giace su una tale superficie
