Analisi Matematica 1 11 febbraio 2011 COMPITO 1
Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .
Corso di Laurea: ♦ AMBLT ♦ AUTLT ♦ CIVLT ♦ GESLT ♦ MATLT ♦ MECLT Sezione: ♦ SEZIONE I ♦ SEZIONE II
Istruzioni
1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.
2. Per lo studio di funzione: SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”
vicino alla risposta scelta.
4. PUNTEGGI per i quesiti a risposta chiusa: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data
= 0.
5. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.
6. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
A A A A A A A
B B B B B B B
C C C C C C C
D D D D D D D
Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:
f (x) = x exp x + 2 x − 2
.
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
(b) Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzon- tali, obliqui) per f .
Risposta [punti 2]:
(c) Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 1]:
(d) Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
(e) Calcolare limx→2−f0(x).
Risposta [punti 1]:
(f) Tracciare un grafico della funzione f , in accordo con i risultati ottenuti.
Risposta [punti 2]:
Analisi Matematica 1 11 febbraio 2011 COMPITO 1
1. Il luogo geometrico
A =
z ∈ C : Re z + i z − i
< 0 e Im(z + iz) ≥ 0
`
e dato da
Risp.: A : un semicerchio B : un cerchio C : una retta D : un’ellisse
2. Il limite
n→+∞lim
[(n + 3)! − n!]en sin(2/n2) (e1/n+ 1)(n3− 1)(n! − log n) vale
Risp.: A : 0 B : e22 C : 12 D : 1
3. Dato α ∈ R, la serie numerica
+∞
X
n=1
n3n (n!)αen converge se e solo se
Risp.: A : α ≥ 3 B : α > 3 C : per ogni α D : α < 3
4. Data la funzione f (x) = 3+ln x sull’intervallo [1, 3], il punto che soddisfa il teorema di Lagrange
`
e dato da
Risp.: A : 2 B : 3 C : il teorema non `e applicabile D : ln 32
5. Il limite
x→0lim 4 log
1 +sin(xx22)−x2
1 − 2x2− cos(2x) vale
Risp.: A : −2 B : 0 C : 1 D : 4
6. L’integrale Z 2
1
arctan x
x2 dx vale Risp.: A : −arctan 22 +ln√
2 B : ln√2
5+π4 C : −arctan 22 +ln√2
5+π4+ln√
2 D : −arctan 22 + ln√2
5
7. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy
y00+ 2y0+ y = 2x2 y(0) = 12
y0(0) = 0 Allora y(1) vale
Risp.: A : 2(4e−1− 3) B : e−1+ 3 C : 2e−1− 3 D : 2(4e−1+ 3)
