Esercizio 1. Sia R 2 il piano vettoriale euclideo, munito di base canonica e, e prodotto scalare standard. Siano v = (1, 2) e w = (−1, −1) due vettori espressi in componenti rispetto alla base canonica e.

Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell’Edilizia)

FORMULE DI GEOMETRIA IN R ² . TRASFORMAZIONI DI R ² . CIRCONFERENZE.

Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti

Esercizio 1. Sia R ² il piano vettoriale euclideo, munito di base canonica e, e prodotto scalare standard. Siano v = (1, 2) e w = (−1, −1) due vettori espressi in componenti rispetto alla base canonica e.

(i) Calcolare l’orientazione della coppia ordinata {v, w}, i.e. Or(v, w);

(ii) Sia S ₀ la riflessione rispetto all’asse x ₁ . Calcolare Or(S ₀ (v), S ₀ (w));

(iii) Sia S ϕ la riflessione rispetto alla retta vettoriale passante per l’origine e formante un angolo convesso ϕ con l’asse x 1 . Calcolare Or(S ϕ (v), S ϕ (w));

(iv) Sia R _ψ la rotazione di centro l’origine e angolo ψ. Calcolare Or(R _ψ (v), R _ψ (w)).

Svolgimento. (i) Osserviamo che det

 1 −1 2 −1



= 1 = Or(v, w) percio’ la coppia ordinata e’ orientata positivamente.

(ii) Or(S ₀ (v), S ₀ (w)) = det(S ₀ )Or(v, w) = −1 = −Or(v, w).

(iii) Come prima Or(S ϕ (v), S _ϕ (w)) = det(S _ϕ ) = −1 = −Or(v, w).

(iv) Or(R ψ (v), R ψ (w)) = det(R ψ ) = 1 = Or(v, w).

Esercizio 2. Nel piano cartesiano R ² , con riferimento cartesiano ortonormale (O; x 1 , x ₂ ), siano assegnati i punti

P = (1, 2), Q = (2, −1), R = (1, 0), le cui coordinate sono scritte per comodita’ per riga.

Trovare il punto Q ⁰ simmetrico di Q rispetto a P e la retta r simmetrica rispetto a P della retta r _RQ .

Svolgimento. Il punto Q ⁰ e’ il punto, diverso da Q, che giace sulla retta per P e Q e che’ e’ a distanza pari a d(P, Q) da P . La retta r e’ la retta parallela alla retta per R e Q e che passa per Q ⁰ trovato precedentemente.

1

Esercizio 3. Nel piano cartesiano R ² , con riferimento cartesiano ortonormale (O; x 1 , x 2 ), sia Q il trapezio di vertici: (1, 1), (6, 1), (2, 3), (3, 3).

(i) Disegnare l’immagine di Q dopo la traslazione T _p , dove il vettore p = (0, −1);

(ii) Disegnare l’immagine di Q dopo la riflessione S 0 rispetto all’asse x 1 ; (iii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R π di angolo π.

Svolgimento: (i) Si tratta del trapezio Q ⁰ di vertici (1, 0), (6, 0), (2, 2), (3, 2).

(ii) La matrice di S 0 e’ data da

A :=

 1 0 0 −1

 .

Percio’ A(Q) e’ il trapezio di vertici (1, −1), (6, −1), (2, −3), (3, −3).

(iii) La matrice di R π e’ data da

B :=

 −1 0 0 −1

 .

Percio’ B(Q) e’ il trapezio di vertici (−1, −1), (−6, −1), (−2, −3), (−3, −3).

Esercizio 4. Sia Q il quadrato in R ² di vertici: (1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1).

(i) Per quali angoli ϕ la rotazione R _ϕ manda il quadrato Q in se stesso?

(ii) Disegnare l’immagine di Q dopo la rotazione R _π/4 .

Svolgimento. (i) Sono tutti gli angoli della forma ϕ = k ^π ₂ , con k un numero intero.

(ii) La matrice della rotazione R _π/4 e’ data da:

A :=

 √

2/2 − √

√ 2/2 2/2 √

2/2

 .

Percio’ A(Q) e’ il quadrato di vertici (− √

2, 0), (0, √

2), (0, − √

2), ( √ 2, 0).

Esercizio 5. Sia R ² il piano cartesiano con riferimento cartesiano ortonormale (O; x 1 , x 2 ).

(i) Scrivere le equazioni della rotazione R _P

_,π/6 di centro il punto P ₀ = (1, 2) ed angolo π/6;

(ii) Scrivere le equazioni della simmetria S r rispetto alla retta

r : x ₁ − x ₂ + 1 = 0;

(iii) Verificare che la retta s, passante per P 0 e di equazione cartesiana (2 − √

3)x ₁ − x ₂ + √ 3 = 0 e’ tale che S r ◦ S _s = R _P

_,π/6 .

Svolgimento: (i) La matrice della rotazione di angolo π/6 attorno all’origine e’:

A =

 √

3/2 −1/2 1/2 √

3/2

 .

Percio’, le formule di rotazione sono, in forma vettoriale, date da x ⁰ = A(x) + P 0 − A(P ₀ ), equivalentemente in forma cartesiana

x ⁰ ₁ = 1/2(

√

3x 1 − x ₂ + 4 −

√

3) x ⁰ ₂ = 1/2(x 1 +

√

3x 2 + 3 − 2

√ 3).

(ii) Sia P = (α, β). La retta n passante per P e perpendicolare a r ha equazione carte- siana

x 1 + x 2 = α + β.

Sia N = r ∩ n, che ha coordinate N = ( 1

2 (α + β − 1), 1

2 (α + β + 1)).

Allora P ⁰ sara’ il simmetrico di P rispetto a r se e solo se P ⁰ = 2N −P = (β −1, α+1).

Questo significa che le equazioni della simmetria sono x ⁰ ₁ = x ₂ − 1 x ⁰ ₂ = x ₁ + 1.

(iii) Se deve essere S r ◦ S _s = R _P

_,π/6 , allora S s = S _r ⁻¹ ◦ R _P

_,π/6 = S r ◦ R _P

_,π/6 , perche’ S r = S _r ⁻¹ . Le equazioni di S s sono quindi:

x ⁰ ₁ = 1/2( √

3x ₁ + x ₂ ) − √

3/2 x ⁰ ₂ = 1/2(x ₁ − √

3x ₂ + 3) + √ 3.

Mediante questa trasformazione, notiamo che il luogo fissato da S s e’ proprio la retta s, come volevasi dimostrare.

Esercizio 6. Nel piano cartesiano R ² , con riferimento cartesiano standard RC(O; x ₁ , x ₂ ), sia data la retta

r : X 1 + 2X 2 − 3 = 0.

(i) Determinare le formule di riflessione rispetto a r.

(ii) Determinare l’equazione cartesiana della circonferenza C ottenuta per riflessione rispetto a r della circonferenza di centro C = 2

1

!

e raggio 2.

Svolgimento. (i) Sia P = (a, b) il punto generico di R ² . La retta perpendicolare a r passante per P ha equazioni parametriche

X ₁ = a + t, X ₂ = b + 2t.

L’intersezione con r determina

t = − 2 5 a − 4

5 b + 6 5 . Pertanto le formule di riflessione sono

f x 1

x ₂

!

= 3/5 −4/5

−4/5 −3/5

! x 1

x ₂

!

+ 6/5

12/5

! .

(ii) Poiche’ una riflessione e’ un’isometria, e sufficiente conoscere le coordinate del rif- lesso di C, visto che il raggio rimarra’ invariato. Pertanto, poiche’ f (C) = −36/5

1/5

! , l’equazione cartesiana della riflessa di C e’

(X 1 + 36/5) ² + (X 2 − 1/5) ² = 4.

Esercizio 7. Nel piano cartesiano R ² , con riferimento cartesiano standard RC(O; x 1 , x ₂ ), sia data la circonferenza C di centro C = 3

1

!

e raggio 1. Sia inoltre P =

6+ √ 2 2 2+ √

2 2

!

∈ C.

(i) Determinare l’equazione cartesiana della retta ` tangente alla circonferenza C in P . (ii) Scrivere l’equazione del fascio (proprio) di rette di centro Q = 4

3

!

e determinare l’unica retta del fascio parallela a `.

(iii) Data l’affinita’

f x ₁ x ₂

!

= 2 0

0 3

! x ₁ x ₂

!

+ 1

5

! ,

disegnare nel piano f (C).

Svolgimento. (i) Un vettore normale a C in P e’ dato dal vettore P − a C =

√ 2

√ 2 2 2

! . In altre parole, un’equazione cartesiana per ` e’ data da

1(X ₁ − ( 6 + √ 2

2 )) + 1(X ₂ − ( 2 + √ 2 2 )) = 0 che fornisce X ₁ + X ₂ − 4 − √

2 = 0.

(ii) L’equazione del fascio di rette e’ λ(X 1 − 4) + µ(X ₂ − 3) = 0, cioe’ λX 1 + µX ₂ − 4λ + 3µ = 0. La condizione di parallelismo con ` fornisce che λ

µ

!

deve essere

proporzionale a 1 1

!

, i.e. λ = µ, che determina X ₁ + X ₂ − 7 = 0.

(iii) Notiamo che f (C) non e’ altro che l’ellisse con centro di simmetria 7 8

!

e semi- assi rispettivamente 2 e 3.

Esercizio 8: Siano r 1 ed r 2 due rette passanti ambedue per il punto p 0 = (2, −1) e rispettivamente per q 1 = (18/5, 1/5) la prima e per q 2 = (2, 1) la seconda. Assumiamo che tali rette siano tangenti ad una circonferenza C rispettivamente in q ₁ ed in q ₂ . (i) Determinare il centro C, il raggio r e l’equazione cartesiana di C;

(ii) Disegnare la circonferenza C.

Svolgimento. (i) Denotiamo con n _i la retta perependicolare alla retta r _i e passante per il punto q i , 1 ≤ i ≤ 2. Allora, il centro C sara’ determinato dall’intersezione n 1 ∩ n ₂ mentre il raggio sara’ dato dalla distanza d(C, q i ), per uno qualsiasi dei due punti q i , 1 ≤ i ≤ 2.

Un vettore direttore di r 1 e’ (4, 3), percio’ la retta n 1 ha equazione cartesiana 4x 1 + 3x 2 − 15 = 0. Un vettore direttore di r 2 e’ (0, 1), percio’ la retta n 2 ha equazione cartesiana x ₂ − 1 = 0. Allora C = (3, 1) mentre r = d(C, q ₁ ) = d(C, q ₂ ) = 1.

L’equazione cartesiana della circonferenza C e’ data da (x 1 − 3) ² + (x ₂ − 1) ² = 1, cioe’:

x ² ₁ + x ² ₂ − 6x ₁ − 2x ₂ + 9 = 0.

(ii) Per disegnare la circonferenza, basta considerare C e r.

Esercizio 9: Nel piano cartesiano R ² sono dati i tre punti non allineati di coordinate:

P = 2

1

!

Q = 1

2

!

R = 1

−1

! .

(i) Determinare l’equazione cartesiana dell’unica circonferenza C passante per i tre punti dati.

(ii) Disegnare la circonferenza C.

(iii) Determinare l’equazione cartesiana della retta tangente a C nel punto P ∈ C.

Svolgimento. (i) Il centro della circonferenza da determinare e’ il punto C intersezione degli assi delle due corde

−−−

P Q e

−−−

QR. Percio’, il punto medio di

−−−

P Q e’ M P Q = 3/2

3/2

!

, mentre il punto medio di

−−−

QR e’ M QR = 1 1/2

!

. Invece, la direzione del vettore

→

P Q= (−1, 1), mentre la direzione del vettore

→

QR= (0, −3) = (0, −1).

Quindi, l’asse del segmento

−−−

P Q e’ la retta per M _{P Q} con parametri direttori determi- nati da un vettore normale a

→

P Q, per esempio (1, 1). Un’equazione cartesiana di tale asse e’ quindi:

x 1 − x ₂ = 0.

Analogamente, l’asse del segmento

−−−

QR e’ la retta per M _QR con parametri direttori de- terminati da un vettore normale a

→

QR, per esempio (1, 0). Un’equazione cartesiana di tale asse e’:

2x ₂ − 1 = 0.

Il loro punto di intersezione e’ il punto C di coordinate C = 1/2 1/2

!

. Il raggio della circonferenza e’ dato da

r = d(C, P ) = √ 10/2.

Percio’, l’equazione della circonferenza voluta si determina con (x ₁ − 1/2) ² + (x ₂ − 1/2) ² = 10/4.

(ii) Per disegnare la circonferenza, basta considerare il centro ed il raggio determinati al

punto (i).

(iii) L’equazione della tangente a C in P e’ data dalla formula (2 − 1/2)(x ₁ − 2) + (1 − 1/2)(x ₂ − 1) = 0 cioe’:

3x 1 + x 2 − 7 = 0.