Secondo compitino di Geometria 1

Secondo compitino di Geometria 1

Anno Accademico 2013/2014

13 Gennaio 2014

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Sia n ≥ 1 un intero e sia A ⊂ R

tale che R

6= A 6= ∅. Si doti R

della topologia euclidea e si indichi con R

/A lo spazio quoziente ottenuto identificando fra loro i punti di A. Provare o confutare le seguenti affermazioni:

(a) R

/A ` e di Hausdorff se e soltanto se R

/A ` e T

; (b) se R

/A ` e compatto allora A non ` e compatto;

(c) se A non ` e limitato allora R

/A ` e compatto;

(d) se A ` e compatto allora R

/A ` e 1-numerabile;

(e) (facoltativo) se A ` e compatto allora R

/A ` e metrizzabile.

(Suggerimento: Tenere presente che, in uno spazio metrico, la distanza fra un chiuso e un compatto non vuoti e disgiunti ` e positiva: come mai questo ` e vero?)

2. Sia X := {2, 3, 4, . . . } l’insieme dei numeri interi ≥ 2 e per a, b ∈ X si ponga a ∼ b se e solo se esiste c ∈ N tale che a · b = c

.

(a) Provare che ∼ ` e una relazione di equivalenza su X.

(b) Si doti X della topologia discreta. Descrivere la topologia di X/ ∼.

(c) Si doti X della topologia cofinita. Descrivere la topologia di X/ ∼.

(d) Si doti X della topologia indotta dalla topologia della semicontinuit` a inferiore su R. Descrivere la topologia di X/ ∼.

Per ogni n ∈ X si definisca U

:= m ∈ X | m divide n .

(e) Mostrare che la famiglia {U

}

` e base per una topologia su X.

(f) Si doti X della topologia di cui al punto (e). Descrivere la topologia di X/ ∼.

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.