Esercitazioni di Meccanica (30 ore)

Esercitazioni di Meccanica (30 ore)

1-Esercitazione del 16 Marzo 2015 (2 ore)

Studio qualitativo del moto di un punto materiale soggetto a una forza posizionale: potenziali (1) V = ^x ₄

− ^x ₂

(doppia buca) e (2) V = ^x ₃

− ^x ₂

. Enunciato del teorema delle piccole oscillazioni e derivazione euristica. Applicazione al problema (1).

2-Esercitazione del 23 Marzo 2015 (2 ore)

Dimostrazione del teorema delle piccole oscillazioni e stima dei periodi. Studio qualitativo del moto di un punto materiale soggetto a una forza posizionale: potenziali (1) V = x ² exp(−x) e (2) V = x ³ . Descrizione delle curve di livello in prossimit` a della meta asintotica e del punto di inversione. Tempi di raggiungimento dell’infinito.

3-Esercitazione del 30 Marzo 2015 (2 ore)

Studio qualitativo del moto di un punto materiale soggetto a una forza posizionale di poten- ziale V = _1−x ¹

. Stime del periodo per V = ^x ₂

+ ^x ₁₂

.

Uso dei metodi variazionale per calcolare la brachistocrona in un campo di velocit` a scalare costante (caso bidimensionale, soluzione: linea retta). Brachistocrona in un campo di ve- locit` a scalare v(x, y) dipendente dalla posizione x, y (soltanto impostazione del problema e determinazione delle equazioni di Lagrange).

4-Esercitazione del 13 Aprile 2015 (2 ore)

Brachistocrona in un campo di velocit` a scalare v(x, y) dipendente dalla posizione x, y.

Soluzione completa per il caso lineare (v = A − Bx) e per la brachistocrona classica (v = √

2gy).

5-Esercitazione del 21 Aprile 2015 (2 ore)

Esercizi sulle equazioni di Lagrange. 1) Punto materiale pesante su a) circonferenza, b) parabola (appartenti ad un piano verticale): lagrangiana, equazioni, conservazione dell’energia, riduzione alle quadrature e piccole oscillazioni. 2) Due punti materiali pe- santi, connessi da una molla, su una circonferenza appartenente a) al piano verticale, b) al piano orizzontale: lagrangiana, equazioni, conservazione dell’energia e, nel caso b), cambio di variabili lagrangiane, ciclicit` a, secondo integrale del moto e riduzione alle quadrature.

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6-Esercitazione del 23 Aprile 2015 (2 ore)

Teorema di Noether e secondo integrale del moto per a) due punti materiali, connessi da una molla, su una circonferenza orizzontale; b) n punti materiali, connessi da molle, su una retta orizzontale; c) un punto materiale su una supeficie a simmetria cilindrica. Punto materiale su una circonferenza con raggio che dipende dal tempo: lagrangiana ed equazioni.

7-Esercitazione del 27 Aprile 2015 (2 ore)

Il problema di Newton. Il caso del momento angolare nullo. Momento angolare non nullo e determinazione delle orbite. Descrizione dettagliata nel caso di orbite chiuse. Prima legge di Keplero.

8-Esercitazione del 4 Maggio 2015 (2 ore)

Terza legge di Keplero. Distorsione del potenziale newtoniano con perturbazione /ρ ² : le orbite non si chiudono (orbite a rosetta).

Formalismo lagrangiano: piccole oscillazioni. Caso unidimensionale e caso bidimensionale (con matrice ˆ T e matrice ˆ V entrambe non diagonali): lagrangiana, equilibrio, stabilit` a, lagrangiana ridotta e pulsazioni proprie.

9-Esercitazione del 18 Maggio 2015 (2 ore)

Formalismo lagrangiano: piccole oscillazioni. Caso bidimensionale: soluzione e modi normali nei casi 1) pulsazioni proprie diverse, 2) pulsazioni proprie uguali.

10-Esercitazione del 25 Maggio 2015 (2 ore)

Dal formalismo lagrangiano a quello hamiltoniano. Costruzione della hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche: significato e criteri. Parentesi di Poisson.

Funzione generatrice.

11-Esercitazione dell’8 Giugno 2015 (3 ore)

Individuazione dei parametri per la canonicit` a di una trasformazione (con le parentesi di Poisson) e determinazione della funzione generatrice: caso uni e bidimensionale. Costruzione della hamiltoniana partire dalla lagrangiana e soluzione delle equazioni di Hamilton utiliz- zando una opportuna trasformazione canonica, caso uni e bidimensionale.

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12-Esercitazione del 12 Giugno 2015 (2 ore)

Test di autovalutazione. Sistema composto da due punti sulle curve z = 0 e z = −1−x ² /2 appartenenti al piano verticale y = 0. I due punti sono uniti da una molla elastica. La- grangiana, equazioni di Lagrange, posizioni di equilibrio e stabilit` a al variare dei parametri.

Piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile (parametri assegnati): pul- sazioni proprie e soluzione completa.

13-Esercitazione del 15 Giugno 2015 (3 ore)

Soluzione delle equazioni di Hamilton con il metodo di Hamilton-Jacobi. Variabili azione angolo: esercizi per il caso unidimensionale.

14-Esercitazione del 17 Giugno 2015 (2 ore)

Test di autovalutazione. Studio qualitativo e determinazione del periodo delle piccole oscillazioni per un punto materiale di massa m su una retta orizzontale soggetto alla forza f = −4x ³ + 5x ⁵ − x ⁷ . Lagrangiana e hamiltoniana di questo sistema unidimensionale.

Determinazione del parametro α perch´ e la trasformazione X = x ² , P = αp/x sia canonica.

Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton del sistema unidimensionale con le nuove variabili.

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