Cinematica del punto materiale

(1)

Cinematica del punto materiale

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2018-2019

(2)

Definizione generale di velocità

o  la velocità è un vettore: v

(3)

la cinematica del punto materiale

o  cosa è un punto materiale ?

o  come descriviamo la posizione di tale

punto nello spazio al variare del tempo ?

n  definizione di traiettoria

o  definizione di vettore posizione r _p =r _p (t) o  definizione di spostamento

n  lo spostamento avviene in un intervallo di tempo finito: Δt = t _fin -t _ini = t ₂ – t ₁

n  spostamento Δr _p =r _p (t _fin ) - r _p (t _ini )=r ₂ – r ₁

(4)

Vettore posizione, spostamento, traiettoria

Lo spieghiamo nel piano, ma è la stessa cosa nello spazio

(5)

(6)

(7)

accelerazione

o  definizione analoga a quella di velocità

n  v _media =Δr/Δt [m/s] velocità media tra t ₂ e t ₁ n  v= dr/dt [m/s] velocità all’istante t

o  variazione della posizione (vettore) diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta la variazione

o  v=0 se il punto materiale non cambia posizione

o  accelerazione

n  a _med = Δv/Δt [m/s ² ] acc. media tra t ₂ e t ₁ n  a= dv/dt [m/s ² ] acc. istantanea al tempo t

o  variazione del vettore velocità diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione

o  a≠0 perché varia (nel tempo) il modulo della

(8)

Esempio: moto circolare uniforme

o  la traiettoria è una circonferenza

o  il modulo del vettore velocità è costante

o  la direzione del vettore velocità cambia istante per istante

n  si ha un’accelerazione

P

(9)

cinematica unidimensionale

o  Moto unidimensionale

n  equazione oraria,

n  velocità ed accelerazione media e istantanea.

n  Concetto di traiettoria, ascissa curvilinea,

centro e raggio di curvatura.

(10)

Moto rettilineo

o  basta una sola coordinata.

n  la chiamiamo x, ma potremmo anche chiamarla y o z (od s)

n  è l’unico caso in cui “non c’è bisogno” di usare i vettori

o  r(t)= x(t) u _x o  v(t)= v _x (t) u _x

n  è sufficiente descrivere x=x(t), v=v(t) ed a=a(t)

0 1 m

x

v r

x>0

v

_x

>0

a

_x

<0 a

(11)

Esempi di moto rettilineo

o  punto materiale fermo

t x(t)

x 0

-3m

1 m

x(t) = x ₀

(12)

Esempi di moto rettilineo

o  velocità costante

t x(t)

x 0

-3m

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

x(t) = v ₀ *t

(13)

Esempi di moto rettilineo

o  velocità costante

t x(t)

x 0

-3m

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

(14)

Esempi di moto rettilineo

o  accelerazione costante

x 0

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

x(t) = x + v *t + ½ a t ²

in questo grafico:

x

₀

>0 v

₀

=0 x(t)

in questo grafico:

v

₀

=v(t=0)>0

(15)

Problema inverso

o  nota la velocità, possiamo ricavare la posizione ?

n  si, ma serve la posizione ad un dato istante (es. istante iniziale)

n  nel tempo infinitesimo dt, lo spostamento è dx = v _x (t) dt

n  nel tempo finito Δt = t-t ₀ lo spostamento vale

Δx = dx

x

₀

∫ x ⁼ t

₀

^v ^x ^{(t ')dt '}

∫ t

(16)

o  velocità media

n  definizione:

o  accelerazione nel moto rettilineo v _m = x − x ₀

t − t ₀ v _m = 1

t − t ₀ v(t ')dt '

t

₀

∫ t

è la definizione di valor medio di una funzione (continua)

(17)

Problema inverso

o  nota l’accelerazione a _x (t)=a(t) e la

velocità ad un dato istante (es. t=0, v ₀ ) possiamo ricavare la velocità ad ogni

istante. Stessa procedura:

n  dv=a(t) dt (variazione della velocità in dt) n  nel tempo finito Δt = t-t ₀ la variazione di

velocità vale

pertanto

Δv = dv

v

₀

∫ v ⁼ t

₀

^{a(t ')dt}

∫ t ^'

t

(18)

moto rettilineo uniforme

’

(19)

Esercizio 1.1

(20)

Esercizio 1.1

o  grafici

(21)

moto rettilineo uniformemente accelerato: a(t)=cost=a

se t

₀

=0

[ ]

’

(22)

cinematica unidimensionale

o  traiettoria definita: la strada

s=0 s=100 m

s=200 m s=300 m

s=300 m

s=-100 m

(23)

Legge oraria

o  s=s(t)

o  posso avere moto uniforme anche su una traiettoria che non è rettilinea:

n  s(t) =s ₀ + v ₀ *t

o  posso avere un moto uniformemente accelerato anche su una traiettoria curvilinea

n  s(t) = so + v ₀ t + ½ at ²

o  v(t) = v ₀ + a*t

(24)

Esempi

o  impariamo a “leggere” il grafico della legge oraria

t

_stop

t<t

_stop

: unif. accelerato

t>t

_stop

: v=0

(25)

(26)

Problemi sul moto

uniformemente accelerato

fonte: materiale didattico del Prof. Giglietto

(27)

Problemi sul moto

uniformemente accelerato

fonte: materiale didattico del Prof. Giglietto

(28)

Esempio comune di moto uniformemente accelerato

o  punto materiale in “caduta libera” in prossimità della terra

n  soggetto ad accelerazione costante g=9.8m/s ² diretta verso il basso

y y(t) = y

₀

+v

₀

t- ½ g t

²

v(t) = v

₀

-gt

Esercizio. A t=0 il corpo si trova ad altezza h e viene lasciato cadere. Calcolare in quanto tempo (a quale istante t*) raggiunge il suolo, e la velocità all’impatto con il suolo

Soluzione: t=√(2h/g) ; v(t)=-√(2gh)

(29)

Problemi ( fonte: materiale didattico del Prof. Giglietto )

(30)

Problemi ( fonte: materiale didattico del Prof. Giglietto )

(31)

Problemi ( fonte: materiale didattico del Prof. Giglietto )

(32)

Problemi ( fonte: materiale didattico del Prof. Giglietto )

verticalmente

(33)

Cinematica del punto materiale

Cinematica del punto materiale

Testo di riferimento:

• “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2018-2019

Definizione generale di velocità

o la velocità è un vettore: v

la cinematica del punto materiale

o cosa è un punto materiale ?

o come descriviamo la posizione di tale

punto nello spazio al variare del tempo ?

n definizione di traiettoria

o definizione di vettore posizione r p =r p (t) o definizione di spostamento

n lo spostamento avviene in un intervallo di tempo finito: Δt = t fin -t ini = t 2 – t 1

n spostamento Δr p =r p (t fin ) - r p (t ini )=r 2 – r 1

Vettore posizione, spostamento, traiettoria

Lo spieghiamo nel piano, ma è la stessa cosa nello spazio

accelerazione

o definizione analoga a quella di velocità

n v media =Δr/Δt [m/s] velocità media tra t 2 e t 1 n v= dr/dt [m/s] velocità all’istante t

o variazione della posizione (vettore) diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta la variazione

o v=0 se il punto materiale non cambia posizione

o accelerazione

n a med = Δv/Δt [m/s 2 ] acc. media tra t 2 e t 1 n a= dv/dt [m/s 2 ] acc. istantanea al tempo t

o variazione del vettore velocità diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione

o a≠0 perché varia (nel tempo) il modulo della

Esempio: moto circolare uniforme

o la traiettoria è una circonferenza

o il modulo del vettore velocità è costante

o la direzione del vettore velocità cambia istante per istante

n si ha un’accelerazione

P

cinematica unidimensionale

o Moto unidimensionale

n equazione oraria,

n velocità ed accelerazione media e istantanea.

n Concetto di traiettoria, ascissa curvilinea,

centro e raggio di curvatura.

Moto rettilineo

o basta una sola coordinata.

n la chiamiamo x, ma potremmo anche chiamarla y o z (od s)

n è l’unico caso in cui “non c’è bisogno” di usare i vettori

o r(t)= x(t) u x o v(t)= v x (t) u x

n è sufficiente descrivere x=x(t), v=v(t) ed a=a(t)

0

1 m

x

v r

x>0

v

>0

a

<0 a

Esempi di moto rettilineo

o punto materiale fermo

t x(t)

x 0

-3m

1 m

x(t) = x 0

Esempi di moto rettilineo

o velocità costante

t x(t)

x 0

-3m

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

x(t) = v 0 *t

Esempi di moto rettilineo

o velocità costante

t x(t)

x 0

-3m

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

Esempi di moto rettilineo

o accelerazione costante

x 0

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

o  la velocità è un vettore: v

o  cosa è un punto materiale ?

o  come descriviamo la posizione di tale

n  definizione di traiettoria

o  definizione di vettore posizione r _p =r _p (t) o  definizione di spostamento

n  lo spostamento avviene in un intervallo di tempo finito: Δt = t _fin -t _ini = t ₂ – t ₁

n  spostamento Δr _p =r _p (t _fin ) - r _p (t _ini )=r ₂ – r ₁

o  definizione analoga a quella di velocità

n  v _media =Δr/Δt [m/s] velocità media tra t ₂ e t ₁ n  v= dr/dt [m/s] velocità all’istante t

o  variazione della posizione (vettore) diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta la variazione

o  v=0 se il punto materiale non cambia posizione

o  accelerazione

n  a _med = Δv/Δt [m/s ² ] acc. media tra t ₂ e t ₁ n  a= dv/dt [m/s ² ] acc. istantanea al tempo t

o  variazione del vettore velocità diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione

o  a≠0 perché varia (nel tempo) il modulo della

o  la traiettoria è una circonferenza

o  il modulo del vettore velocità è costante

o  la direzione del vettore velocità cambia istante per istante

n  si ha un’accelerazione

o  Moto unidimensionale

n  equazione oraria,

n  velocità ed accelerazione media e istantanea.

n  Concetto di traiettoria, ascissa curvilinea,

o  basta una sola coordinata.

n  la chiamiamo x, ma potremmo anche chiamarla y o z (od s)

n  è l’unico caso in cui “non c’è bisogno” di usare i vettori

o  r(t)= x(t) u _x o  v(t)= v _x (t) u _x

n  è sufficiente descrivere x=x(t), v=v(t) ed a=a(t)

o  punto materiale fermo

x(t) = x ₀

o  velocità costante

x(t) = v ₀ *t

o  velocità costante

o  accelerazione costante

x(t) = x + v *t + ½ a t ²

o  nota la velocità, possiamo ricavare la posizione ?

n  si, ma serve la posizione ad un dato istante (es. istante iniziale)

n  nel tempo infinitesimo dt, lo spostamento è dx = v _x (t) dt

n  nel tempo finito Δt = t-t ₀ lo spostamento vale

∫ x ⁼ t

^v ^x ^{(t ')dt '}

o  velocità media

n  definizione:

o  accelerazione nel moto rettilineo v _m = x − x ₀

t − t ₀ v _m = 1

t − t ₀ v(t ')dt '

o  nota l’accelerazione a _x (t)=a(t) e la

velocità ad un dato istante (es. t=0, v ₀ ) possiamo ricavare la velocità ad ogni

n  dv=a(t) dt (variazione della velocità in dt) n  nel tempo finito Δt = t-t ₀ la variazione di

∫ v ⁼ t

^{a(t ')dt}

∫ t ^'

o  grafici

o  traiettoria definita: la strada

o  s=s(t)

o  posso avere moto uniforme anche su una traiettoria che non è rettilinea:

n  s(t) =s ₀ + v ₀ *t

o  posso avere un moto uniformemente accelerato anche su una traiettoria curvilinea

n  s(t) = so + v ₀ t + ½ at ²

o  v(t) = v ₀ + a*t