Cinematica del punto materiale

Cinematica del punto materiale

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Definizione generale di velocità

o  la velocità è un vettore: v

la cinematica del punto materiale

o  cosa è un punto materiale ?

o  come descriviamo la posizione di tale

punto nello spazio al variare del tempo ?

n  definizione di traiettoria

o  definizione di vettore posizione r _p =r _p (t) o  definizione di spostamento

n  lo spostamento avviene in un intervallo di tempo finito: Δt = t _fin -t _ini = t ₂ – t ₁

n  spostamento Δr _p =r _p (t _fin ) - r _p (t _ini )=r ₂ – r ₁

Vettore posizione, spostamento, traiettoria

Lo spieghiamo nel piano, ma è la stessa cosa nello spazio

accelerazione

o  definizione analoga a quella di velocità

n  v _media =Δs/Δt [m/s] velocità media tra t ₂ e t ₁ n  v= ds/dt [m/s] velocità all’istante t

o  variazione della posizione (vettore) diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta la variazione

o  v=0 se il punto materiale non cambia posizione

o  accelerazione

n  a _med = Δv/Δt [m/s ² ] acc. media tra t ₂ e t ₁ n  a= dv/dt [m/s ² ] acc. istantanea al tempo t

o  variazione del vettore velocità diviso l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione

o  a≠0 perché varia (nel tempo) il modulo della

velocità, oppure la direzione del vettore velocità,

oppure entrambi

Esempio: moto circolare uniforme

o  la traiettoria è una circonferenza

o  il modulo del vettore velocità è costante

o  la direzione del vettore velocità cambia istante per istante

n  si ha un’accelerazione

P

cinematica unidimensionale

o  Moto unidimensionale

n  equazione oraria,

n  velocità ed accelerazione media e istantanea.

n  Concetto di traiettoria, ascissa curvilinea,

centro e raggio di curvatura.

Moto rettilineo

o  basta una sola coordinata.

n  la chiamiamo x, ma potremmo anche chiamarla y o z (od s)

n  è l’unico caso in cui “non c’è bisogno” di usare i vettori

o  r(t)= x(t) u _x o  v(t)= v _x (t) u _x

n  è sufficiente descrivere x=x(t), v=v(t) ed a=a(t)

0

1 m

x

v r

x>0

v>0

a<0 a

Esempi di moto rettilineo

o  punto materiale fermo

t x(t)

x 0

-3m

1 m

x(t) = x ₀

Esempi di moto rettilineo

o  velocità costante

t x(t)

x 0

-3m

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

x(t) = v*t

Esempi di moto rettilineo

o  velocità costante

t x(t)

x 0

-3m

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

x(t) = x ₀ + v*t

Esempi di moto rettilineo

o  accelerazione costante

x 0

1 m

t=0 t=2sec t=4sec

x(t) = x + v*t + ½ a t ²

Problema inverso

o  nota la velocità, possiamo ricavare la posizione ?

n  si, ma serve la posizione ad un dato istante (es. istante iniziale)

n  nel tempo infinitesimo dt, lo spostamento è dx = v(t) dt

n  nel tempo finito Δt = t-t ₀ lo spostamento vale

pertanto

Δx = dx

x

∫ x ⁼ t

^{v(t ')dt '}

∫ t

x(t) = x ₀ + ∫ ^t v(t ')dt ^'

o  velocità media

n  definizione:

o  accelerazione nel moto rettilineo v _m = x − x ₀

t − t ₀ v _m = 1

t − t ₀ v(t ')dt '

t

∫ t

è la definizione di valor medio di una funzione (continua)

Problema inverso

o  nota l’accelerazione a(t) e la velocità ad un dato istante (es. t=0, v ₀ ) possiamo ricavare la velocità ad ogni istante.

Stessa procedura:

n  dv=a(t) dt (variazione della velocità in dt) n  nel tempo finito Δt = t-t ₀ la variazione di

velocità vale

pertanto

Δv = dv

v

∫ v ⁼ t

^{a(t ')dt}

∫ t ^'

v(t) = v ₀ + a(t ')dt '

t

∫ t

moto rettilineo uniforme

’

’

Esercizio 1.1

Esercizio 1.1

o  grafici

moto rettilineo uniformemente accelerato: a(t)=cost=a

se t

=0

[ ]

’

’

’

’

’

’

cinematica unidimensionale

o  traiettoria definita: la strada

s=0 s=100 m

s=200 m s=300 m

s=300 m

s=-100 m

Legge oraria

o  s=s(t)

o  posso avere moto uniforme anche su una traiettoria che non è rettilinea:

n  s(t) =s ₀ + v ₀ *t

o  posso avere un moto uniformemente accelerato anche su una traiettoria curvilinea

n  s(t) = so + v ₀ *t + ½ a*t ²

o  v(t) = v ₀ + a*t

Esempi

o  impariamo a “leggere” il grafico della legge oraria

t

t<t

: unif. accelerato

t>t

: v=0

Problemi sul moto

uniformemente accelerato

Problemi sul moto

uniformemente accelerato

Esempio comune di moto uniformemente accelerato

o  punto materiale in “caduta libera” in prossimità della terra

n  soggetto ad accelerazione costante g=9.8m/s ² diretta verso il basso

y y(t) = y

+v

t- ½ g t

v(t) = v

-gt

Esercizio. A t=0 il corpo si trova ad altezza h e viene lasciato cadere. Calcolare in quanto tempo (a quale istante t*) raggiunge il suolo, e la velocità all’impatto con il suolo

Soluzione: t*=√(2h/g) ; v(t*)=-√(2gh)

Esercizio