(2;−13)

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 2 febbraio 2018

Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 8 febbraio 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Calcolare la distanza tra il punto A e il punto B nel piano cartesiano, per ciascuno dei seguenti casi

a)

A( 4

5 ; 0) B( 1 5 ; 4

5 )

b)

A( 11 10 ;− 1

2 ) B( 1 2 ; 3

10 )

c)

A(− 13

15 ; 1

3 ) B( 1 3 ; 29

15 )

d)

A( 9

5 ;− 13

15 ) B(5 ;− 49 15 )

2

Calcolare le coordinate del punto medio dei punti A e B nel piano cartesiano, per ciascuno dei casi

alla domanda n.1

3

Verificare graficamente e algebricamente che, nel piano cartesiano, i punti

P (3 ;2) Q(− 1 3 ;− 2

9 )

sono allineati con l'origine.

4

Rappresentare graficamente la retta r di equazione:

x= 3 5 y−9

Qual è l'equazione della retta passante per l'origine e parallela a r?

Indicare poi con A il punto di intersezione di r con l'asse y e con B il punto di r che ha ascissa uguale a 1. Calcolare la misura dell'area del quadrilatero OABH, dove H è la proiezione ortogonale di B sull'asse x.

5

Scrivere l'equazione della retta che passa per il punto

(2 ;− 1

3 )

ed è perpendicolare alla retta di equazione:

3 x−2 y−77=0

.

Argomenti di geometria analitica: punti nel piano cartesiano, distanza tra due punti, coordinate del punto medio, equazione esplicita della retta, equazione intrinseca della retta, coefficiente angolare, quota, rette parallele, rette perpendicolari. (Capitolo 1

volume Algebra 2)

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it

Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

1

Calcolare la distanza tra il punto A e il punto B nel piano cartesiano, per ciascuno dei seguenti casi

a)

A( 4

5 ; 0) B( 1 5 ; 4

5 )

b)

A( 11 10 ;− 1

2 ) B( 1 2 ; 3

10 )

c)

A(− 13

15 ; 1 3 ) B( 1

3 ; 29

15 )

d)

A( 9

5 ;− 13

15 ) B(5 ;− 49 15 )

a)

A( 4

5 ; 0) B( 1 5 ; 4

5 )

AB= √ ^{( 4 5 − 1 5 )}

²

^{+(0− 5 4 )}

²

⁼ √ ^{25 9 + 16 25 = √ 1=1}

b)

A( 11

10 ;− 1

2 ) B( 1 2 ; 3

10 )

AB= √ ^{( 10 11 − 1 2 )}

²

^{+(− 1 2 − 10 3 )}

²

⁼ √ ^{100 36 + 100 64 = √ 1=1}

c)

A(− 13

15 ; 1

3 ) B( 1 3 ; 29

15 )

AB= √ ^{(− 13 15 − 1 3 )}

²

^{+( 1 3 − 15 29 )}

²

⁼ √ ^{36 25 + 64 25 =} √ ^{100 25 = √ 4=2}

d)

A( 9

5 ;− 13

15 ) B(5 ;− 49 15 )

AB= √ ^{( 9 5 −5)}

²

^{+(− 13 15 + 15 49 )}

²

⁼ √ ^{256 25 + 144 25 = √ 16=4}

2

Calcolare le coordinate del punto medio dei punti A e B nel piano cartesiano, per ciascuno dei casi alla domanda n.1

a)

A( 4

5 ; 0) B( 1 5 ; 4

5 )

x

_M

= 4 5 + 1

5 2 = 1

2 ; y

_M

= 0+ 4

5 2 = 2

5 ; M ( 1 2 ; 2

5 )

b)

A( 11

10 ;− 1

2 ) B( 1 2 ; 3

10 )

x

_M

= 11 10 + 1

2 2 = 4

5 ; y

_M

=

− 1 2 + 3

10 2 =− 1

10 ; M ( 4 5 ;− 1

10 )

c)

A(− 13

15 ; 1

3 ) B( 1 3 ; 29

15 )

x

_M

=

− 13 15 + 1

3 2 =− 4

15 ; y

_M

= 1 3 + 29

15 2 = 17

15 ; M (− 4 15 ; 17

15 )

d)

A( 9

5 ;− 13

15 ) B(5 ;− 49 15 )

x

_M

= 9 5 +5

2 = 17 5 ; y

_M

=

− 13 15 − 49

15

2 =− 31

15 ; M ( 17 5 ;− 31

15 )

3

Verificare graficamente e algebricamente che, nel piano cartesiano, i punti

P (3 ;2) Q(− 1 3 ;− 2

9 )

sono allineati con l'origine.

Per quanto riguarda la verifica grafica qui propongo il disegno realizzato con GeoGebra. Il segmento f formato da P e Q contiene anche l'origine O.

Ci viene chiesta anche una verifica algebrica, ovvero attraverso considerazioni sulle proprietà di numeri ed equazioni nel contesto del piano cartesiano.

Dobbiamo tradurre la questione geometrica in una questione algebrica. Geometricamente P e Q definiscono una retta, alla quale dovrebbe appartenere anche l'origine O. In termini algebrici, tramite le coordinate di P e Q potrò scrivere l'equazione della retta da loro determinata, in seguito verificherò che le coordinate dell'origine O(0,0) soddisfano tale equazione.

Per determinare l'equazione della rette per P e Q posso usare la formula specifica:

y−2

− 2 9 −2

= x−3

− 1

3 −3

che manipoliamo per arrivare alle forma esplicita:

y−2

− 20 9

= x−3

− 10 3

ovvero

y−2= x−3 10

3

× 20

9

ovvero

y= 2

3 x−2+2

ovvero

y= 2

3 x

che è proprio l'equazione di una retta contenente l'origine (l'intercetta q=0).

Conclusione, la retta determinata da P e Q ha equazione

y= 2

3 x

e quindi contiene anche l'origine O.

4

Rappresentare graficamente la retta r di equazione:

x= 3 5 y−9

Qual è l'equazione della retta passante per l'origine e parallela a r?

Indicare poi con A il punto di intersezione di r con l'asse y e con B il punto di r che ha ascissa uguale a 1.

Calcolare la misura dell'area del quadrilatero OABH, dove H è la proiezione ortogonale di B sull'asse x.

Attenzione ai tranelli. L'equazione che ci è stata fornita non è in una forma standard, non è né in forma esplicita y=mx+q e nemmeno in forma intrinseca ax + by +c=0.

La cosa può essere assolutamente irrilevante se traccio il grafico scegliendo due punti facili da disegnare, per esempio i punti P(-9;0) e Q(-6;5).

Se invece volessi utilizzare le proprietà geometriche di coefficiente angolare ed intercetta dovrei convertire l'equazione nella forma esplicita standard:

y= 5 3 x+15

Per il disegno potrei poi individuare tra i quadretti l'inclinazione positiva, cioè a salire da sinistra verso destra, con 5 quadretti su 3, passando per il punto di coordinate (0,15).

L'equazione esplicita in forma standard va comunque ricavata per rispondere alla domanda successiva: dobbiamo scrivere l'equazione di una retta contenente l'origine (quindi del tipo y=mx) e parallela a quella data (cioè con lo stesso coefficiente angolare m.). L'equazione richiesta è

y= 5

3 x

.

Passiamo adesso all'ultima parte delle richieste: anche se non ci è stato richiesto, un disegno può esserci utile per riflettere.

È pure abbastanza facile determinare le coordinate dei nuovi punti chiamati in causa. Ovviamente

A(0 ;15)

mentre per quanto riguarda B sostituisco x=1 nell'equazione della retta, ottenendo

y= 5

3 +15= 50

3

^{. Dunque}

B(1 ; 50

3 )

. Ovviamente

H (0 ; 50

3 )

. La figura OABH è un trapezio rettangolo: possiamo considerare come base minore OA, come base maggiore HB e come altezza OH. Non c'è bisogno di fare calcoli per rendersi conto che

OA=15 ; HB= 50

3 ;OH =1

e quindi l'area richiesta è

(OA+HB)×OH

2 =

(15+ 50 3 )×1 2 = 95

6 =15,8 3

5

Scrivere l'equazione della retta che passa per il punto

(2 ;− 1

3 )

ed è perpendicolare alla retta di equazione:

3 x−2 y−77=0

.

Per determinare la retta perpendicolare ci occorre il coefficiente angolare della retta che ci è stata assegnata. Per questo motivo passo dall'equazione intrinseca all'equazione esplicita:

3 x−77=2 y

ovvero

y= 3 2 x− 77

2

. Dunque il coefficiente angolare è

3 2

^.

Le rette perpendicolari avranno come coefficiente angolare l'opposto del reciproco, ovvero

− 2

3

. Rimane da determinare l'intercetta, ma per questo ho a disposizione l'ipotesi che la retta passa per un certo punto. Sostituendo le sue coordinate nell'equazione della retta perpendicolare posso ricavare l'intercetta.

y=− 2

3 x+q

. Sostituendo le variabili con le coordinate

(2 ;− 1

3 )

otteniamo

− 1 3 =− 2

3 ×2+q

da cui ricaviamo

q=− 1

3 + 4 3 =1

.

Conclusione, l'equazione richiesta è

y=− 2 3 x +1

Se poi qualcuno volesse scrivere (chissà perché) l'equazione in forma intrinseca:

2 x+3 y−3=0