prontuario-serieipergeometricheefunzionispeciali CapitoloW60:

Capitolo W60:

prontuario - serie ipergeometriche e funzioni speciali

Contenuti delle sezioni

a. serie e funzioni ipergeometriche p.2 b. sistemi di funzioni ortogonali p.3 c. polinomi ortogonali p.4

d. funzioni speciali p.10

17 pagine

W60:a. serie e funzioni ipergeometriche

Nel seguito assumiamo a, b, c ∈ C

W60:a.01 serie e funzioni ipergeometriche2F1

Equazione differenziale ipergeometrica di Gauss x(1 − x) y⁰⁰+ (c − (1 + a + b)x) y⁰− a b y = 0

punti singolari regolari 0, 1, ∞ nei cui intorni si hanno due soluzioni indipendenti intorno di x = 0 se c 6∈ Z^{<,0 2}F1(a, b; c; x)

se c 6∈ P x^1−c2F1(1 + a − c, 1 + b − c; 2 − c; x)

intorno di x = 1 se c − a − b 6∈ Z ²F1(a, b; 1 + a + b − c; 1 − x) e (1 − x)^c−a−b2F1(c − a, c − b; 1 + c − a − b; 1 − x)

intorno di x = ∞ se a − b 6∈ Z x^−a2F1(a, 1 + a − c; 1 + a − b; 1/x) e x^−b2F1(b, 1 + b − c; 1 + b − a; 1/x)

Propriet`a della funzione2F1(a, b; c; x) per |x| < 1

2F1(a, b; c; x) = 2F1(b, a; c; x)

2F1(a, b; c; x) = Γ(c) Γ(a) Γ(c − a)

Z 1 0

dt t^a−1(−t)^c−a−1(1 − xt)^−b se c > a > 0

2F1(a, b; c; x) = (1 − x)^c−a−b2F1(c − a, c − b; c; x)

2F1(a, b; c; x) = Γ(c) Γ(c − a − b)

Γ(c − a) Γ(c − b) se c − a − b > 0

2F1(a, n; a; x) = (1 + x)⁻ⁿ , 2F1(1, 1; 2; x) = −ln(1 − x) x

2F₁(1/2, n1/2; 3/2; x) = arcsin(x) x

W60:a.02 serie e funzioni ipergeometriche confluenti

Equazione differenziale ipergeometrica confluente di Kummer x y⁰⁰+ (c − x) y⁰− a y = 0

punto singolare regolarei 0 nei cui intorni si hanno due soluzioni indipendenti

W60:a.03 serie e funzioni ipergeometrichepFq

W60:b. sistemi di funzioni ortogonali

In seguito con P oln_≤k(x) denotiamo un imprecisato polinomio nella x di grado minore o uguale a k ∈ N e con P oln=k(x) un imprecisato polinomio di grado uguale a k.

W60:c. polinomi ortogonali

Su questo argomento il riferimento attualmente pi`u aggiornato e completo `e

Digital Library of Mathematical Functions(wi) (http://dlmf.nist.gov/) . Una successione di polinomi reali hn ∈ N :| pn(x)i si dice graduata sse ∀n ∈ N deg(p_n(x)) = n . Sia [a, b] un intervallo reale limitato o illimitato; si dice funzione peso su [a, b] ogni funzione del genere {[a, b] 7−→ R+}; denotiamo con FunWt_a,bl’insieme delle funzioni peso su [a, b] e con FunWt l’insieme delle funzioni peso su un intervallo reale qualsiasi.

Sia w(x) ∈ FunWt; si dice sistema di polinomi ortogonali su [a, b] rispetto al peso w(x) ogni successione graduata di polinomi reali tali che

Z b a

dx w(x) pn(x) pm(x) = Nnδm,n .

In un sistema di polinomi ortogonali talora conviene includere il polinomio nullo come polinomio di grado −1.

Chiaramente Nn = Z b

a

dx w(x) pn(x)².

Denotiamo con SysPolOrt_w(x)(a, b) l’insieme o schieramento dei polinomi ortogonali rispetto al peso w(x) su [a, b];

Un hn ∈ N :| pⁿ(x)i ∈ SysPolOrt_w(x)(a, b) si dice sistema di polinomi ortonormali sse ∀n ∈ N Nn= 1

Denotiamo con SysPolOrtN_w(x)(a, b) l’insieme dei sistemi di polinomi ortonormali su [a, b]

siano f (x) e g(x) funzioni definite in [a, b]; nell’ipotesi che il seguente integrale esista, introduciamo il funzionale bilineare f (x) | g(x) :=i∃

Z b a

dx w(x) f (x) g(x)

Facendo riferimento a un P := hn ∈ N :| pⁿ(x)i ∈ SysPolOrt_w(x)(a, b) ed alle notazioni precedente- mente introdotte, denotiamo con z_i⁽ⁿ⁾ per i = 1, 2, ..., n gli zeri di pn(x); questi zeri sono tutti distinti e appartengono tutti ad (a, b)

Scriviamo h_n il coefficiente di grado n di p_n(x) e conveniamo di supporre sia h_n > 0

Esistono tre successioni di reali hn ∈ N :| ani, hn ∈ N :| bni e hn ∈ N :| cni tali che vale la formula di ricorrenza

∀n ∈ N x pn(x) = anpn+1+ bnpn+ cnpn−1(x) con an= h_n hn+1

> 0 e cn = N_nh_n−1 Nn−1hn

> 0 . formula di Christoffel-Darboux

Teniamo presenti le notazion precedenti e consideriamo x e y variabili in ha, bi; allora:

∀n ∈ N

n

X

i=0

p_i(x) p_i(x) Ni

= h_n

Nnhn+1

· p_n+1(y) p_n(x) − p_n+1(x) p_n(y) y − x

disuguaglianza di Bessel consideriamo un qualsiasi hn ∈ N :| uⁿ(x)i ∈ SysPolOrtN_w(x)(a, b) ed una f (x) opportunamente integrabile in [a, b] e poniamo per ogni i ∈ N cⁱ := f | ui; allora:

∀n ∈ N

n

X

i=0

ci2 ≤ Z b

a

dx w(x) f (x)
² .

Di conseguenza ∀hn ∈ N :| pn(x)i ∈ SysPolOrt_w(x)(a, b) lim

n→+∞

√1 N_n

Z b a

dx w(x) f (x) p_n(x) = 0

W60:c.01 polinomi di Legendre

Successione di polinomi che si possono definire equivalentamente mediante la relazione generatrice

√ 1

1 − 2 x t + t² =:

+∞

X

n=0

Pn(x) tⁿ o con la espressione esplicita Pn(x) :=

bn/2c

X

k=0

(−1)^k(1/2)ⁿ(2x)^n−2k k! (n − 2k)! . Dunque hn ∈ N :| Pⁿ(x)i `e una successione graduale di polinomi per la quale:

P_n(−x) = (−1)ⁿP_n(x) P_n(1) = 1 P_n(−1) = (−1)ⁿ P_2n+1(0) = 0 P2n(0) = (−1)ⁿ(1/2)ⁿ

n! P2n0(0) = 0 P2n+10(0) = (−1)ⁿ (3/2)ⁿ n!

formula di Rodrigues P_n(x) = 1

(2n)!!D_xⁿ(x²− 1)ⁿ

W60:c.02 funzioni associate di Legendre

Funzioni dipendenti dal parametro n ∈ N e dal parametro m ∈ [0 : n] definibili equivalentemente con una espressione esplicita alla Rodrigues o con una relazione generatrice

P_n^m(x) := (1 + x²)^m2 D_x^mP_n(x) (2m − 1)!! (1 − x²)^m2 t^m(1 − 2 x t + t²)^−m−1/2 =

+∞

X

n=m

P_n^m(x) tⁿ

ogni y(x) := P_n^m(x) soddisfa l’equazione (1 − x²) y⁰⁰− 2 x y +



n(n + 1) − m² 1 − x²

 y = 0 (n − m + 1) P_n+1^m (x) = (2n + 1)x P_n^m(x) − (n + m) P_n−1^m (x)

P_n^m+1(x) = m x(1 − x²)^−1/2P_n^m(x) − (n − m + 1)(n + m) P_n^m−1(x) Z +1

−1

dx P_n^m(x) P_k^m(x) = δ_n.k (n + m)!

(n − m)!

2 2n + 1

quindi {n ∈ N ∧ m ∈ [0 : n] :| Pn^m(x)} ∈ SysPolOrt e

∀f (x) ∈ FunSqsum(−1, +1) f (x) =

+∞

X

n=m

cn,mP_n^m(x) con cn,m= 2n + 1 2

n − m)!

(n + m)!

Z +1

−1

dx f (x) P_n^m(x)

W60:c.03 armoniche sferiche di superficie

consideriamo gli interi l ∈ N ed m ∈ [ − l, l] e le coordinate di un punto sulla sfera di raggio 1 θ e φ;

sono dette armoniche sferiche di superficie le funzioni Yl,m(θ, φ) := (−1)^|m|+m2

s 2l + 1

4π

(l − |m|)!

(l + |m|)!P_l^|m|(cos θ) ei^{m φ}

= (−1)^|m|+m2 s

2l + 1 4π

(l − |m|)!

(l + |m|)! sin^|m|θ d^|m|

d(cos θ)^|m|P_l^|m|(cos θ) ei^{m φ} Y0,0(θ, φ) = 1

2√

π , Y1,0(θ, φ) = r 3

4πcos θ , Y1,±1(θ, φ) = ∓ r 3

8π sin θ e^±iφ , Y2,0 =

r 5

16π(3 cos²θ − 1) , Y2,±1 = ∓ r15

8π sin θ cos θ e^±iφ , Y2,±2 = r 15

32π sin² θ e^±2iφ

Z 2π 0

dφ Z π

0

dθ sin θ Yl,m∗(θ, φ) Yl0,m⁰∗(θ, φ) = δm,m⁰δl,l⁰

consideriamo le due direzioni hθ_i, φ_ii per i = 1, 2 e l’angolo α da esse definito

2 l + 1

4 π P_l(cos α) =

+l

X

m=−l

Y_l,m^∗(θ₁, φ₁) Y_l,m(θ₂, φ₂) formula di addizione

ei^{k z} =

+∞

X

l=0

(2l + 1) i^ljl(k r) Pl(cos θ) sviluppo dell’onda piana

W60:c.04 polinomi di Chebyshev

polinomi di Chebyshev di prima specie Tn(x) := cos(n arccos x) ovvero Tn(cos θ) = cos(n θ) definibili anche per ricorrenza T0(x) := 1 , T1(x) := x , Tn(x) := 2 x Tn−1(x) − Tn−2(x) , con la relazione generatrice 1 − x t

1 − 2 x t + t² =

+∞

X

n=0

Tn(x) tⁿ (convergente per |x|, |t| < 1)

e con l’espressione esplicita T_n(x) :=

bn/2c

X

k=0

(−1)^k

 n 2/k



x^{n−2 k}(1 − x²)^k

T0(x) = 1 , T1(x) = x , T2= 2 x²− 1 , T3(x) = 4 x³− 3 x , T4(x) = 8 x⁴− 8 x²+ 1 polinomi di Chebyshev di seconda specie U_n(x) := sin (n + 1) arccos x

ovvero U_n(cos θ) = sin(n + 1) θ sin θ definibili anche per ricorrenza U0(x) := 1 , U1(x) := 2 x , Un(x) := 2 x Un−1(x) − Un−2(x) , con la relazione generatrice 1 − x t

1 − 2 x t + t² =

+∞

X

n=0

U_n(x) tⁿ (convergente per |x|, |t| < 1)

e con l’espressione esplicita Un(x) :=

n

X

k=0

(−2)^k (n + k − 1)!

(n − k)! (2 k + 1)! (1 − x)^k per n > 0 U₀(x) = 1 , T₁(x) = 2 x , U₂= 4 x²− 1 , U3(x) = 4 x³− 3 x , U4(x) = 16 x⁴− 12 x²+ 1 Tn(−x) = (−1)ⁿTn(x) , Un(−x) = (−1)ⁿUn(x)

U_n(x) ha n zeri semplici in ( − 1, +1): x_k = cos 2k − 1 2n π



per k = 1, ..., n Tn(x) ha n zeri semplici in ( − 1, +1): xk= cos

 k n + 1π



per k = 1, ..., n gli estremi di Tn(x) in [ − 1, +1] si trovano per x = cos k

nπ



per k = 0, 1, ..., n; Tn(x) ed Un(x) presentano estremi in −1 e +1: Tn(1) = 1 , Tn(−1) = (−1)ⁿ, Un(1) = n + 1 , Un(−1) = (−1)ⁿ(n + 1) polinomi di Chebyshev di terza specie Vn(cos θ) :=sin (2n + 1) θ/2

sin(θ/2) polinomi di Chebyshev di quarta specie W_n(cos θ) := cos (2n + 1) θ/2

cos(θ/2)

W60:c.05 polinomi di Hermite

successione di polinomi che si possono definire equivalentamente mediante la relazione generatrice e^{2 x t−t2} =:

+∞

X

n=0

H_n(x)tⁿ

n! o con la espressione esplicita H_n(x) :=

bn/2c

X

k=0

(−1)^kn! (2x)^n−2k k! (n − 2k)!

Hn(x) = 2ⁿxⁿ+ P oln=n−2 , Hn(−x) = Hn(x)

H2k(0) = (−1)^k2^2k(1/2)^k , H2k+1(0) = 0 , H_2k+1⁰ (0) = (−1)^k2^2k+1(3/2)^k , H_2k⁰ (0) = 0 H0(x) = 1 , H1(x) = 2x , H2(x) = 4x²− 2 , H3(x) = 2x = 8x²− 12x ,

H4(x) = 16x⁴− 48x²+ 12 , H5(x) = 32x⁵− 160x³+ 120x , H6(x) = 64x⁶− 480x⁴+ 720x²− 120 Hn0(x) = 2 n Hn−1(x) , Hn(x) = 2 x Hn−1(x) − Hn−10(x)

Hn(x) = 2 x Hn−1− 2(m n − 1) Hn−2(x) , Hn00− 2 x Hn0(x) + 2 n Hn(x) = 0 Hn(x) = (−1)ⁿe^x2Dxn

e^−x2 (formula alla Rodrigues) P_n(x) = 2

n!√ π

Z +∞

0

dt e^−t2H_n(x t) , H_n(x) = 2ⁿ⁺¹e^x2 Z +∞

0

dt e^−t2tⁿ⁺¹P_nx t



Hn(x) = (2x)ⁿ−2F1



−n 2, −n

2 +1

2; −; −1 x²



Z +∞

−∞

dx e^−x2H_n(x) H_m(x) = δ_n,m√

π e^{2 t2} quindi n ∈ N :| Hn(x) ∈ SysPolOrte^−x2(−∞, +∞)

Hn(x) =

bn/2c

X

k=0

(−1)^kn! (2n − 4k + 1)

k! (3/2)^{n−2k 1}F2(−k, 3/2 + n − 2k; 1) Pn−2k(x)

W60:c.06 polinomi di Laguerre

sia α ∈ ( − 1, +∞); per ogni n ∈ N si definisce polinomio di Laguerre di grado n Ln(α) := (1 + α)ⁿ

n! ¹F1(−n; 1 + α; x) = (1 + α)ⁿ(x) n!

n

X

k=0

(−n)^kx^k (1 + α)^kk!

se α = 0 scriviamo Ln(x) := Ln(0)

(x) = 0F1(, 1, ; x) L₀^(α)(x) = 1 , L₁^(α)(x) = −x + 1 + α , L₂^(α)(x) = 1

2x²− (2 + α)x +1

2(1 + α)(2 + α) , L₃^(α)(x) = −1

6x³+1

2(3 + α) − 1

2(2 + α)(3 + α) +1

6(1 + α)(2 + α)(3 + α) e^t0F1(, 1 + α; −x t) = Γ(1 + α)(x t)^−α/2e^tJα 2√

x t

=

+∞

X

n=0

L^(α)_n (t) tⁿ (1 + α)^k 1

(1 − t)^1+α e− x t 1 − t =

+∞

X

n=0

L^(α)_n (x) tⁿ

x D_xL^(α)_n (x) = n L^(α)_n (x) − (n + α) L^(α)_n−1(x) , D_xL^(α)_n (x) = D_xL^(α)_n−1(x) − L^(α)_n−1(x) = −

n−1

X

k=0

L^(α)_k (x) n L^(α)n (x) = (2n − 1 + α − x) L^(α)_n−1(x) − (n − 1 + α) L^(α)_n−2(x)

L^(α)n (x) = L^(α)_n−1(x) + L^(α−1)n (x) , (n − x) L^(α)n (x) = (α + n) L^(α)_n−1(x) − x L^(α+1)n (x) (1 + α + n) L^(α)n (x) = (n + 1) L^(α)_n+1(x) + x Ln^(α+1)(x) , L^(α+1)n (x) = Pn

k=0L^(α)_k (x)

L^(α)_n (x) = x^−αe^x

n! Dxn e^−xx^n+α

formula alla Rodrigues Z +∞

0

dx x^αe^−xL^(α)_n (x) L^(α)_m (x) = δm,n

Γ(1 + α + n)

n! per <(α) > −1 quindi se <(α) > −1 ,n ∈ N :| L^(α)n (x) ∈ SysPolOrt_xαe^−x(0, +∞) xⁿ =

+∞

X

k=0

−1)ⁿn!

(n − k)! (1 + α)ⁿL^(α)_k (x) Hn(x) = 2ⁿ(1 + α)ⁿ

n

X

k=0 2F2

 −¹₂(n − k), −¹₂(n − k − 1);

−¹₂(α + n), −¹₂(α + n − 1);

1 4



·(−n)^kL^(α)_k (x) (1 + α)^k Pn(z) = 2ⁿ(1/2)ⁿ(1 + α)ⁿ

n! ²F3

 −¹₂(n − k), −¹₂(n − k − 1);

1

2− n, ¹

2(α + n), −¹₂(α + n − 1);

1 4



· (−n)^kL^(α)_k (x) (1 + α)^k L^(α)_n (x) =

n

X

k=0

(α − β)^k

k! L^(β)_n−k(x) , L^(α+β+1)_n (x + y) =

n

X

k=0

L^(α)_n (x) L^(β)_n−k(x)

L^(α)_n (x y) =

n

X

k=0

(1 + α)ⁿ

(n − k)! (1 + α)^k (1 − y)^n−ky^kL^(α)_k (x)

∀c ∈ R \ Z−0 L^(α)_n (x) = (1 + α)ⁿ cⁿ

n

X

k=0

(1 + α − c)^k

cⁿ L^(α)_n (−x) L^{(2 c−α−2)}_n−k (x)

+∞

X

n=0

(n + k)!

N ! k! L^(α)_n+ktⁿ = (1 − t)^{−1−k−α} exp



− x t 1 − t

 L^(α)_k

 x 1 − t



W60:c.07 polinomi di Jacobi

successione graduale di polinomi che si possono definire equivalentemente mediante la relazione gene- ratrice

∀|x| < 1 ∧ |t| < 1 u⁻¹(1 − t + u)^−α(1 + t + u)^−β =

+∞

X

n=0

2^−α−βP_n^(α,β)(x) tⁿ ove u := √

1 − 2xt + t²

o con la espressione esplicita P_n^(α,β)(x) := 1 2ⁿ

n

X

k=0

n + α k

 n + β n − k



(x + 1)^k(x − 1)^n−k

P_n^(α,β)(x) = (−1)ⁿ

(2n)!! (1 − x)^−α(1 + x)^−βDxn (1 − x)^n+α(1 + x)^n+β

formula alla Rodrigues Z +1

−1

dx (1 − x)^α(1 + x)^βP_n^(α,β)(x) P_m^(α,β)(x) = δm,n

2^α+β+1Γ(n + α + 1) Γ(n + β + 1) (2 n + α + β + 1) n! Γ(n + α + β + 1) quindi n ∈ N :| P^n(α,β)(x) ∈ SysPolOrt

y = Pn^(α,β)(x) soddisfa l’equazione (1 − x²), y⁰⁰+ (β − α − (α + β + 2)x) y⁰+ n(n + α + β + 1) y = 0

W60:c.08 polinomi di Gegenbauer e ultrasferici

si dicono polinomi ultrasferici i particolari polinomi di Jacobi Pn^(α,α)(x) per i quali vale la relazione di generazione (1 − 2 x t + t²)^−12−α =

+∞

X

n=0

(1 + 2α)ⁿPn^(α,α)

(1 + α)ⁿ tⁿ

si dicono polinomi di Gegenbauer e si denotano con Cnν

(x) le generalizzazioni dei polinomi di Legendre che definiamo con la relazione di generazione (1 − 2 x t + t²)^−ν =

+∞

X

n=0

Cnν

(x) tⁿ i due tipi di polinomi sono strettamente collegati:

C_n^ν(x) = (2 ν)ⁿP(ν−1/2,ν−1/2)

n (x)

(ν + 1/2)ⁿ P_n^(α,α)(x) = (1 + α)ⁿC_n^α+1/2(x) (1 + 2, α)ⁿ

ciascuno di essi presenta vantaggi parziali; nel seguito ci concentreremo sui Cnν

(x) Pn(x) = Cn1/2

, Cnν

(x) = 2ⁿνⁿ

n! xⁿ+ P oln=n−2 , Cnν

(−x) = (−1)ⁿCnν

(x)

e^{x t}0F1

 ; ν + ¹₂;

t²(x²− 1) 4



=

+∞

X

n=0

Cnν

(x) 2νⁿ tⁿ

∀γ (1 − xt)^−γ₂F₁

γ

2, ^γ₂+¹₂; ν + ¹₂;

t²(x²− 1) (1 − x t)2



=

+∞

X

n=0

γⁿC_n^ν(x) (2ν)ⁿ (1 − x²) Dx2

Cnν

(x) − (2 ν + 1)x DxCnν

(x) + n(2 ν + n) Cnν

(x) = 0 Cnν(x) = (2ν)ⁿ

n! ²F1 −n, 2ν + n;

ν + ¹₂;

1 − x 2



=

n

X

k=0

(2 ν)^n+k k! (n − k)! (ν + 1/2)^k

0F1

 ; ν + ¹₂;

t(x − 1) 2



0F1

 ; ν +¹₂;

t(x − +) 2



=

+∞

X

n=0

Cnν(x) tⁿ

(2 ν)ⁿ(ν + 1/2)ⁿ (rel. di Bateman)

2F1

 γ, 2ν − γ;

ν + 1/2;

1 − t − ρ 2



2F1

 γ, 2ν − γ;

ν + 1/2;

1 + t − ρ 2



=

+∞

X

n=0

γⁿ(2 ν − γ)ⁿCnν

(x) tⁿ (2 ν)ⁿ(ν + 1/2)ⁿ dove ρ :=√

1 − 2 x t + t² (relazione generatrice di Brafman)

W60:d. funzioni speciali

Anche su questo argomento il riferimento attualmente pi`u aggiornato e completo `e

Digital Library of Mathematical Functions(wi) (http://dlmf.nist.gov/) .

W60:d.01 funzione Gamma e collegate

funzione Gamma funzione analitica tale che Γ(z) :=

Z +∞

0

dt e^−tt^z−1 per <(z) > 0 per <(z) ≤ 0 possiede poli per ogni z ∈ Z−

1

Γ(z) `e funzione intera Γ(z) =

Z +∞

1

dt t^z−1e^−t+

+∞

X

n=0

−1ⁿ

n! (z + n) per z ∈ C \ Z−0 Γ(z) = lim

n→+∞

n^zn!

zⁿ⁺¹

∀z ∈ C \ Z−0 Γ(z + 1) = z Γ(z) ∀n ∈ P γ(n) = (n − 1)! Γ 1 2



= √ π

∀n ∈ P Γ

 n +1

2



= (2 n − 1)!!√ π

2ⁿ , Γ



−n +1 2



= (−1)ⁿ2ⁿ√ π (2 n − 1)!!

Γ(z) Γ(1 − z) = π

sin π z , Γ 1 2 + z

 Γ 1

2 − z



= π

cos π z Γ(2 z) = 1

p(π 2^{2 z−1}Γ(z) Γ

 z +1

2



, Γ⁰(1) = −γem

[v.a. I38:j.02]

funzione Psi ψ(z) := Γ⁰(z)

Γ(z) per ogni z ∈ C \ Z−0

ψ(z) = −1

z − γem+

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n! (z + n)

funzione Beta funzione analitica tale che B(z, w) :=

Z 1 0

dt t^z−1(1 − t)^w−1) per < z , < w > 0

B(z, w) = Γ(z) Γ(w) Γ(z + w) = 2

Z π/2 0

dt sin^{2 z−1} t cos^2w−1 t per < z , < w > 0

W60:d.02 funzioni di Bessel

Introdurremo prima le funzioni di Bessel cilindriche Jp(x), Yp(x), Hp⁽¹⁾(x) e Hp⁽²⁾(x), poi le funzioni di Bessel sferiche j_p(x), y_p(x), h⁽¹⁾p (x) e h⁽²⁾p (x)

nel seguito utilizzeremo i numeri armonici H₀:= 0 e H_k :=

k

X

h=1

1 h funzioni di Bessel J

∀p ∈ C \ Z , x ∈ R+ J_p(x) :=

+∞

X

k=0

(−1)^k k! Γ(p + k + 1)

x 2

^{p+2 k}

∀n ∈ N Jn(x) :=

+∞

X

k=0

(−1)^k k! (n − k)!

x 2

^{n+2 k}

∀n ∈ P J_n(x) = 1 π

Z π 0

dφ cos(x sin φ − n φ) = 1 2 π

Z π

−π

dφ ei(x sin φ−n φ)

∀n ∈ P Jn(x) = (−1)ⁿYn(x) J0(x) = 1 −x²

2² + x⁴

2²4² − x⁶

2²4²6²+ · · · , J1(x) = x 2 − x³

2²4+ x⁵

2²4²6 − x⁷

2²4²6²8+ · · · J_1/2(x) =

r 2

π x sin x , J_−1/2(x) = r 2

π x cos x J₀⁰(x) = −J₁(x)

funzioni di Weber-Neumann

∀p ∈ C \ Z Y_p(x) := Jp(x) cos p π − J_−p(x) sin p x

∀n ∈ P Yn(x) := lim

p→nYp(x)

= 2 π

γ_em+ lnx 2

J_n(x) − 1 n

n−1

X

k=0

(n − k − 1)!

k!

x 2

^2k−n

− 1 π

+∞

X

k=0

(H_k+ H_k+n) (−1)^k k! (n + k)!

x 2

^2k+n

= 1 π

Z π 0

dt sin(x sin t − n t) −1 π

Z +∞

0

dt e^{n t}+ (−1)ⁿe^{−n t}
e^{−x sinh t}

∀n ∈ P Y_n(−x) = (−1)ⁿY_n(x) funzioni di Hankel

Hp⁽¹⁾(x) := Jp(x) + i Yp(x) Hp⁽²⁾(x) := Jp(x) − i Yp(x) funzioni di Bessel modificate

In(x) := i⁻ⁿJn(i x) =

+∞

X

k=0

1 k! (n + k)!

x 2

^n+2k

= 1 π

Z π 0

dt e^{x cos t} cos n t

I0(x) = 1 +x² 2² + x⁴

2²4²+ x⁶

2²4²6² + · · · , I1(x) = x 2 + x³

2²4 + x⁵

2²4²6 + x⁷

2²4²6²8 + · · · I₀⁰(x) = I₁(x)

K_n(x) := π

2 iⁿ⁺¹H_n⁽¹⁾(ix) = π

2iⁿ⁺¹(J_n(ix) + i Y_n(ix)) = Z +∞

0

dt e^{−x cosh t} cosh n t =

(−1)ⁿ⁺¹ lnx

2 + γ_em

I_n(x) +1 2

n−1

X

k=0

(−1)^k(n − k − 1)!x 2

2k−n

+(−1)ⁿ 2

+∞

X

k=0

Hk+ Hn+k

k! (n + k)!

x 2

2k+n

I_1/2(x) = r 2

π x sinh x , J_−1/2(x) = r 2

π x cosh x funzioni di Kelvin

Ber(x) :=

+∞

X

k=0

(−1)^k ((2 k)!)²

x 2

^4k

, Bei(x) :=

+∞

X

k=0

(−1)^k ((2 k + 1)!)²

x 2

^4k+2

Ker(x) := − lnx

2 + γem



Ber(x) +π

4Bei(x) + 1 +

+∞

X

k=1

(−1)^k ((2 k)!)²H2k

x 2

^4k

Kei(x) := − lnx

2 + γem



Bei(x) −π

4Ber(x) + 1 +

+∞

X

k=0

(−1)^k

((2 k + 1)!)²H2k+1

x 2

4k+2

Ber(x) + i Bei(x) = J0(e³iπ/4x) , Ker(x) + i Kei(x) = K0(ei^{π /4}x) equazioni differenziali per le funzioni di Bessel

x²y⁰⁰+ x y⁰+ (a²x²− p²) y = 0 ⇐⇒ y⁰⁰+y⁰ x +

 a²−p²

x²

 y = 0

⇐⇒ 1

x(x y⁰)⁰+

 a²− p²

x²



y = 0 =⇒ y = α J_p(a x) + β Y_p(a x)

x²y⁰⁰+ x y⁰− (a²x²+ n²) y = 0 ⇐⇒ y⁰⁰+y⁰ x −

 a²+p²

x²

 y = 0

⇐⇒ 1

x(x y⁰)⁰−

 a²+n²

x²



y = 0 =⇒ y = α I_p(a x) + β K_p(a x) x²y⁰⁰+ x y⁰− i a²x²y = 0 ⇐⇒ 1

x(x y⁰)⁰− i a²y = 0

=⇒ y = α Ber(a x) + i Bei(a x)
+ β Ker(a x) + i Kei(a x)

funzioni generatrici delle funzioni di Bessel exp x

2

 t − 1

t



=

+∞

X

n=−∞

Jn(x) tⁿ , e^{i x sin φ} =

+∞

X

n=−∞

Jn(x) e^{i n φ} ,

exp x 2

 t + 1

t



=

+∞

X

n=−∞

I_n(x) tⁿ

relazioni di ricorrenza per le funzioni di Bessel q Assumiamo che sia F_p(x) ∈n

J_p(x), Y_p(x), Hp⁽¹⁾(x), Hp⁽²⁾(x)o . Fp−1(x) + Fp+1(x) = 2 p

x Fp(x) , Fp−1(x) − Fp+1(x) = 2 Fp0(x) x Fp0(x) = p Fp(x) − x Fp+1(x) = x Fp−1(x) − p Fp(x)

x^pFp(x)
0

= x^pFp−1(x) , x^−pFp(x)
0

= −x^−pFp+1(x) (ricordando che J₀⁰(x) = −J₁(x) , Y₀⁰(x) = −Y₁(x) ) Z

dx F_n²(x) x = 1

2x², F_n⁰(x)
2

+1

2(x²− n²) F_n²(x) Z

dx x¹⁺ⁿFn(x) = x¹⁺ⁿFn+1(x) = −x¹⁻ⁿ

Fn0(x) −n

xFn(x) Z

dx x¹⁻ⁿFn(x) = x¹⁻ⁿFn−1(x) = −x¹⁻ⁿ

Fn0(x) + n

xFn(x) Z

dx xⁿF₀(x) = xⁿF₁(x) + (n − 1) xⁿ⁻¹F₀(x) − (n − 1)² Z

dx xⁿ⁻²F₀(x)

Fn(a x) Fn(b x) x = x a F_n(b x) F_n⁰(a x) − b F_n(a x) F_n⁰(b x)
b²− a²

Z

dx Fn2

(a x) x = x² 2



Fn0(a x)²+



1 − n² a²x²



Fn(a x)²



I_n+1(x) = I_n−1(x) − 2n

x I_n(x) = 2 I_n⁰(x) − I_n−1(x) Kn+1(x) = Kn−1(x) +2 n

x Kn(x) = −2 Kn0(x) − Kn−1(x) sistemi ortogonali di funzioni di Bessel

consideriamo p ∈ R⁰⁺, L ∈ R⁺, l’intervallo I := [0, L] e la funzione peso w(x) = x;

gli zeri positivi di J_p(x) costituiscono una successione che scriviamoi ∈ P :| zi

 Z L

0

dx x Jp

zix L

 Jp

zjx L



= δi,j

L² Jp+1(zi)
² 2 e la successione D

i ∈ :| J_pzix L

E

costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]

rispetto alla funzione peso w(x) = x; quindi

∀x ∈ [0, L] f (x) =

+∞

X

i=0

ciJp

zix L



con ci := 2 L²Jp+12

Z L 0

dx x f (x) Jp

zix L



gli zeri positivi della c Jp(x) + x Jp0(x) = 0 per c > −p costituiscono una successione che scriviamo i ∈ P :| vi

 Z L

0

dx x J_pv_ix L

J_pv_jx L

 = δ_i,jL²(v_i²− p²+ c²) J_p(v_i)² 2 vi2

e la successione D

i ∈ P :| J^pvix L

E

costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]

rispetto al peso w(x) = x; quindi

∀x ∈ [0, L] f (x) =

+∞

X

i=0

ciJp

v_ix L



con ci := 2 v_i²

L²(vi2− p²+ c²)(Jp(vi))² Z L

0

dx x f (x) Jp

v_ix L



gli zeri positivi della −p Jp(x) + x Jp0(x) = 0 costituiscono una successione che scriviamoi ∈ P :| ui

 Z L

0

dx x Jp

uix L

 Jp

ujx L



= δi,j

L²Jp(vi)² 2 e la successione i ∈ :| Jp uix

L

 costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]

rispetto alla w(x) = x; quindi

∀x ∈ [0, L] f (x) = c0x^p+

+∞

X

i=1

ciJp

uix L



con c₀ := 2p + 2 L^2p+2

Z L 0

dx f (x) x^p+1 e ∀i ∈ P c_i := 2 u_i² L²Jp+1(ui)²

Z L 0

dx x f (x) J_pu_ix L



funzioni di Bessel sferiche jn(x) := r π

2 xJn+1/2(x) = xⁿ



−1 x

d dx

n

sin x

x = xⁿ

2ⁿ⁺¹n!

Z π 0

dt cos(x cos t) sin^{2 n+1}t

y_n(x) := (−1)ⁿ⁺¹r π

2 xJ_−n−1/2(x) = r π

2 xY_n+1/2(x) = −xⁿ



−1 x

d dx

n

cos x x h⁽¹⁾_n (x) := j_n(x) + i y_n(x) = r π

2 xH_n+1/2⁽¹⁾ (x)

h⁽²⁾_n (x) := jn(x) − i yn(x) = r π

2 xH_n+1/2⁽²⁾ (x) j0(x) = sin x

x , j1(x) = sin x

x² −cos x

x , j2(x) =



− 3 x³ +1

x



sin x − 3 x² cos x y₀(x) = −cos x

x , y₁(x) = −cos x

x² −cos x

x , j₂(x) =



− 3 x³ +1

x



cos x − 3 x² sin x ricorrenze ∀fn(x) ∈ {j_n(x), j_n(x), h⁽¹⁾_n (x), h⁽²⁾_n (x)} f_n+1(x) = (2n + 1)f_n(x)

x − fn−1(x) , f_n⁰(x) = n

2n + 1f_n−1(x) − n + 1

2n + 1f_n+1(x) = f_n−1(x) −n + 1

n f_n(x) = n

xf_n(x) − f_n+1(x) equazione differenziale x²y⁰⁰+ 2 y⁰+ a²x²− n(n + 1)
y = 0 =⇒ y = α jn(a x) + β yn(a x)

W60:d.03

integrali ellittici

integrali ellittici del primo tipo F (k, φ) :=

Z φ 0

d θ p1 − k² sin² θ

= Z x

0

dt 1

p(1 − t²)(1 − k²t²) per k²< 1 integrali ellittici del secondo tipo

E(k, φ)) :=

Z φ 0

d θp

1 − k² sin² θ = Z x

0

dt

r(1 − k²t²)

1 − t² per k²< 1 integrali ellittici del terzo tipo

π(k, n, φ) :=

Z φ 0

d θ (1 − n sin² θ)p

1 − k² sin²θ

= Z x

0

dt 1

(1 − n t²)p(1 − t²)(1 − k²t²) per k²< 1

integrali ellittici completi K(k) := F

k,π 2

 = Z π/2

0

d θ p1 − k² sin²θ

per k²< 1

E(k) := E k,π

2



= Z π/2

0

dθp

1 − k² sin² θ per k²< 1 relazione di Legendre posto k⁰:=√

1 − k² si ha E(k) K(k⁰) + E(k⁰) K(k) − K(k) K(k⁰) = π 2 equazioni differenziali k(1 − k²)d²K(k)

dk² + (1 − 3 k²)dK(k)

dk − k K(k) = 0 k(1 − k²)d²E(k)

dk² + (1 − k²)dE(k)

dk + k E(k) = 0

W60:d.04 dilogaritmo e polilogaritmi

si dice dilogaritmo la funzione analitica definita dalla serie di potenze Li2(x) :=

+∞

X

n=1

xⁿ

n! convergente per x ≤ 1

∀x ∈ C \ [1, +∞) Li2(x) = − Z x

0

dt ln(1 − t) t

nel suddetto insieme quindi si ha una funzione univoca Li2(x) = x3F2 1, 1, 1

2, 2; x



, Li2(x) + Li2

 x x − 1



= −1

2 ln(1 − x)
²

∀n ∈ P ∧ ω ωⁿ= 1 Li₂(xⁿ) =

n−1

X

i=0

Li₂(ωⁱx) , Li₂(x) − Li₂(1 − x) = π²

6 − ln(1 − x) 1

2Li2(x²) = Li2(x) + Li2(−x) Li₂(0) = 0 , Li₂(1) = π²

6 , Li₂(−1) = −π²

12 , Li₂ 1 2



= π² 12 −1

2(ln 2)² Li₂

 x

1 − x· y 1 − y



= Li₂

 x 1 − y

 + Li₂

 y 1 − x



Li₂(x) − Li₂(y) ln(1 − x) ln(1 − y)

si generalizza il dilogaritmo definendo per ogni s ∈ C come polilogaritmo di ordine s la funzione analitica definita dalla serie Lis(x) :=

+∞

X

n=1

xⁿ

n^s convergente per |x| ≤ 1 Li3(x) viene chiamata anche trilogaritmo

DxLis(x) = 1

xLis−1(x) ovvero Lis(x) = Z x

0

dt Lis−1(t) t per ogni s ∈ Z⁻⁰ Lix(x) `e una funzione razionale; in particolare Li₁(x) = − ln(1 − x) , Li₀(x) = x

x − 1 , Li₋₁(x) = x (1 − x)² , Li₋₂(x) = x(1 + x)

(1 − x)³ , Li₋₃(x) = x(1 + 4 x + x²)

(x − 1)⁴ , Li₋₄(x) =x(1 + x)(1 + 10 x + x²) (1 − x)⁵ Lis(x) = xs+1Fs 1, 1, ..., 1;

2, ..., , 2 : x



∀n ∈ N Li_−n=

 x d

dx

ⁿ x 1 − x



=

n

X

i=0

i! StrnII(n + 1, i + 1)

 x 1 − z

ⁱ⁺¹

W60:d.05 altre funzioni da integrali trascendenti integrali esponenziali

E₁(x) :=

Z +∞

x

dt e^−t

t =

Z +∞

1

dt e^{−x t}

t = −γ_em− ln x −

+∞

X

n=1

(−1)ⁿxⁿ

n n! per x > 0

∀n ∈ P E_n(x) :=

Z +∞

1

dt e^{−x tn}

t per x > 0 ∀n ∈ P E_n+1(x) = 1

n e^−x− x En(x)
Ei(x) :=

Z x

−∞

e^t

t = γ_em+ ln x +

+∞

X

n=1

xⁿ n n!

ove se x > 0 si assume il valore principale dell’integrale secondo Cauchy Li(x) :=

Z x 0

dt 1

ln t = Ei(ln x) se x > 1 si assume il valore principale funzione degli errori e sua complementare

erf(x) := 2

√π Z x

0

dt e^−t2 = 2

√π

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n! (2 n + 1) x^{2 n+1} erfc(x) := 1 − erf(x)

funzione di Whittaker W_k,m := −1 2 pi i Γ

 k +1

2 − m



e^−x/2x^k Z 0+

∞

dt (−t)^−k−1/2+m

 1 + t

x

k−1/2+m

e^−t

seno integrale Si(x) :=

Z x 0

dt sin t

t =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx^{2 n+1} (2n + 1)(2n + 1)!

coseno integrale Ci(x) := − Z +∞

x

dt cos t

t = γ_em+ ln x +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿx^{2 n}

2n(2n)! per x > 0

integrali di Fresnel C(x) :=

Z x 0

dt cos π t²

2 =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(π/2)²ⁿ (2n)! (4 n + 1)x⁴ⁿ⁺¹ S(x) :=

Z x 0

dt sin π t²

2 =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(π/2)²ⁿ⁺¹ (2n + 1)! (4 n + 3)x⁴ⁿ⁺³

Testi dell’esposizione in http://www.mi.imati.cnr.it/alberto/ e in http://arm.mi.imati.cnr.it/Matexp/