Pi`u produco e pi`u guadagno? Una breve introduzione al Teorema di Nash versione provvisoria

(1)

Pi` u produco e pi` u guadagno?

Una breve introduzione al Teorema di Nash versione provvisoria

Marino Belloni – marino.belloni@unipr.it

Marino Belloni – marino.belloni@unipr.it () Una breve introduzione al Teorema di Nashprovvisorio 1 / 25

(2)

Nella produzione di qualsiasi manufatto, intervengono le seguenti quantit`a c: il costo unitario di produzione

p: il prezzo di vendita unitario del prodotto q: la quantit`a di oggetti prodotti

G = q(p − c): il guadagno (totale) del produttore Saremmo tentati di concludere con il seguente

Teorema

Se il prezzo di vendita unitario p `e maggiore del costo unitario di produzione, ovvero p > c

allora più è elevata la produzione q e più è elevato il guadagno G .

Se cos`ıfosse, avremmo risolto il problema del lavoro in quanto ogni abitante del pianeta avrebbe la sua fabbrica!!!!

Il teorema deve necessariamente essere falso: vediamo perch`e .

(3)

Osservazione

Prima di tutto, il numero dei possibili ”consumatori” del prodotto non `e infinito, ma limitato. Questo significa che quando la produzione q eccede una certa soglia q, ovvero

q > q

il prodotto non viene pi`u acquistato (neppure se il suo costo fosse nullo).

Questo spiega il motivo per cui le case produttrici propongono sempre nuovi modelli!

Osservazione

Inoltre, per avere una platea di consumatori non vuota, ci si convince senza problemi che il prezzo di vendita unitario p non pu`o eccedere un valore massimo a, ovvero

p ≤ a.

Se il prezzo `e troppo elevato, il prodotto non si vende. Quando si ha un pezzo unico, il prezzo `e molto alto (si pensi a un dipinto di Picasso).

Osservazione

Riassumendo, il prezzo unitario deve risultare funzione della quantit`a q, in particolare p decresce al crescere di q.

(4)

p p = a − qb a

q q

Fig. 1: Una possibile dinamica prezzi–produzione.

Osservazione

Nella Figura 1 vediamo una possibile dinamica prezzi – produzione di tipo lineare, dove a, b > 0. Si ha che q = a/b. Dunque la retta `e univocamente determinata una volta che siano noti

il prezzo massimo a

il numero q (p = 0 quando q > q)

(5)

Osservazione

Nel modello prezzi-produzione visto in precedenza, `e chiaro che esiste un valore 0 < qs< q tale che

quando q > qs si ha che p < c

ovveroil profitto diventa negativo. Va da s`e che non conviene produrre pi`u di qs pezzi.

Anzi, conviene distruggere i pezzi in eccedenza piuttosto che commerciarli!!

p p = a − qb a

c

qs q q

Fig. 2: Quando q > qs, il profitto unitario diventa negativo.

(6)

A questo punto sorge la domanda FONDAMENTALE:

Problema

Quale prezzo devo dare al prodotto in modo da massimizzare il guadagno?

(7)

Da un punto di vista matematico, questo `e un problema di massimo vincolato infatti si pu`o leggere come

Problema

Trovare il massimo della funzione G = G (p, q) delle due variabili p, q G = q(p − c)

quando

le due variabili soddisfano i vincoli

I p = a − qb

I 0 ≤ q

I q ≤ q

(8)

Ma il problema `e , tutto sommato, semplice: se infatti si prende p = a − qb, ovvero l’andamento del prezzo al variare della produzione, e si va a sostituire questa espressione nella legge che governa il profitto si ottiene

G = qp − qc

= q(a − qb) − qc

= −bq²+ (a − c)q

= f (q)

Dunque il guadagno `e diventato funzione della una sola variabile q (il vincolo ha dato luogo ad una semplificazione del problema).

che risulta essere una parabola, concava, con vertice nel punto qm= a − c

2b e che interseca gli assi nei punti q = 0 e q = ^a−c_b .

(9)

p G = −bq²+ (a − c)q

q_m q

Fig. 2: Il massimo guadagno!

Il massimo guadagno, che si ottiene in corrispondenza ad una produzione di qm= (a − c)/2b pezzi e ad un prezzo

pm= a − bqm = a − ba − c 2b

= a + c 2 risulta essere

Gm= f (qm) = −b“a − c 2b

”²

+ (a − c)“a − c 2b

”

= (a − c)²

Marino Belloni – marino.belloni@unipr.it () Una breve introduzione al Teorema di Nash4b provvisorio 9 / 25

(10)

Abbiamo dimostrato il seguente ”Teorema del monopolista”

Teorema

Sia data una produzione di oggetti di costo unitario c

con dinamica dei prezzi p = a − bq, con a, b > 0.

Allora in corrispondenza ad un costo unitario pm= a + c

2 insieme ad una produzione di qm= (a − c)

2b oggetti si ottiene il massimo guadagno Gm=(a − c)² 4b . Osservazione

E’ sorprendente (ma è già avvenuto in passato), il seguente fenomeno: quando la produzione è troppo elevata (maggiore di qm), conviene distruggere o nascondere l’eccesso.

Questo teorema è basato sul fatto chenon c’e’ concorrenza, ovvero abbiamo un solo produttore. Per il consumatore, questa è la situazione più svantaggiosa: il

monopolista potr`a fissare il prezzo a tavolino.

(11)

Il duopolio

(2 produttori)

(12)

Andiamo a esaminare il caso in cui i produttori di un certo bene siano due, Impresa 1 e Impresa 2. La dinamica dei prezzi rimane la stessa vista in precedenza, ovvero

p = a − bq

dove a, b > 0, ma adesso il numero q rappresenta la quantit`a totale prodotta, ovvero q = q1+ q2.

dove q1e q2sono rispettivamente le quantit`a prodotte dall’Impresa 1 dall’Impresa 2, e dunque

p = a − bq1− bq2.

Analogamente avremo che c1e c2saranno i costi unitari si produzione rispettivi (che saranno diversi, in generale).

(13)

I rispettivi guadagni saranno dunque

G1= q1(p − c1) G2= q2(p − c2).

Tenendo conto che p = a − bq1− bq2si ha G1 = q1(p − c1)

= [a − bq1− bq2]q1− c1q1

= −b(q1)²+ (a − c1− bq2)q1

e analogamente

G2= −b(q2)²+ (a − c2− bq1)q2

Le funzioni G1(q1) e G2(q2) sono, analogamente al caso del monopolio, delle parabole concave e quindi si trova che esistono due valori

q1,m=a − c1− bq2

2 q2,m=a − c2− bq1

2 che sono le ascisse dei vertici delle parabole e si trova.

max G1= G1[q1,m], max G2= G2[q2,m] e quindi abbiamo terminato!!!(?)

(14)

C’E’ UN PROBLEMA:

il valore q1,m=a − c1− bq2

2 non `e fissato, ma dipende da q2.

Dunque il produttore 1, per impostare la strategia vincente e massimizzare il suo guadagno deve attendere la mossa del produttore 2 per sapere quanto produrr`a e quindi regolarsi di conseguenza.

Sfortunatamente il valore q1,m=a − c2− bq1

2 dipende a sua volta da q1, e quindi anche il produttore 2 sta aspettando le decisioni del produttore 1 per poter massimizzare il guadagno ...

Sembra un problema senza via di uscita

Qui entra in gioco il matematico francese Antoine Augustin Cournot, che nel 1838 propose una elegante soluzione.

(15)

Cournot osserv`o che il produttore 1 pu`o calcolare, in corrispondenza a ciascuna possibile produzione q2del suo concorrente, la sua produzione ottimale q1,m, ovvero

q2−→ q1,m(q2) = a − c1− bq2

2 e analogamente pu`o farlo il produttore 2, ovvero

q1−→ q2,m(q1) = a − c2− bq1

2

Ma il grafico della funzione q1,m= q1,m(q2) `e una retta, come pure `e una retta il grafico di q2,m= q2,m(q1).

(16)

q₂ q_1,m=a − c1− bq2

2

q₁

Fig. 3: il grafico di q1,m= q1,m(q2)

(17)

q2 q2,m=a − c2− bq1

2

q1 Fig. 4: il grafico di q2,m= q2,m(q1)

(18)

q2

q1 Fig. 5: L’equilibrio di Cournot-Nash

(19)

Dunque si tratta soltanto di calcolare l’intersezione tra due rette non parallele e non coincidenti , che esiste sempre e si ottiene risolvendo il sistema

8

><

>:

q2 = a − c2− bq1

2 q1 = a − c1− bq2

2

=⇒

 2bq1+ bq2 = a − c1

bq1+ 2bq2 = a − c2

che ammette sempre soluzione quando b 6= 0: infatti il sistema si scrive come A

„ q1

q2

«

=

„ a − c1

a − c2

«

dove A =

„ 2b b b 2b

«

= b²

„ 2 1

1 2

«

ed essendo

det A = b²det

„ 2 1

1 2

«

= 3b²6= 0 la soluzione del sistema esiste ed `e unica.

(20)

...ma non si pu` o guadagnare di pi` u ?

S`ı, `e sufficiente considerare cercare di portare il ns costo prossimo a quello dell’avversario in modo che le ns max quantita’ nvengano a coincidere

...ma il costo dipende dalla produzione?

S`ı, `e sufficiente considerare

c1= c1(q1) e quindi fare la derivata

(21)

Il regime di concorrenza

(3 o pi`u produttori)

(22)

Andiamo a esaminare il caso in cui i produttori di un certo bene siano N, Impresa 1, Impresa 2 ... Impresa N. La dinamica dei prezzi rimane la stessa vista in precedenza, ovvero

p = a − bq

dove a, b > 0, ma adesso il numero q rappresenta la quantit`a totale prodotta, ovvero q = q1+ q2+ ... + qN

dove q1, q2, ..., qN sono rispettivamente le quantit`a prodotte dall’Impresa I I = 1, 2, ..., N, e dunque

p = a − b(q1+ q2+ ... + qN).

Analogamente avremo che c1, c2, ..., cN saranno i costi unitari si produzione rispettivi (che saranno diversi, in generale).

(23)

Il procedimento `e lo stesso utilizzato nel caso di due imprese, e si arriva a dover risolvere il sistema

A 0 B B B B B B

@ q1

q2

. . . qN

1 C C C C C C A

= 0 B B B B B B

@ a − c1

a − c2

. . . a − cN

1 C C C C C C A dove

A = 0 B B

@

2b b . . . b

b 2b . . . b

. . .

b b . . . 2b

1 C C A

= b^N 0 B B

@

2 1 . . . 1

1 2 . . . 1

. . .

1 1 . . . 2

1 C C A

= b^NH

e si dimostra che det H = N + 1 6= 0, e dunque esiste una ed una sola soluzione che

`e l’equilibrio di Nash.

(24)

Va osservato che, ad esempio quando N = 3, dire che esiste l’equilibrio di Nash equivale a dire che considerati i grafici dei 3 piani q1,m= q1,m(q2, q3), q2,m= q2,m(q1, q3) e q3,m= q3,m(q1, q2), questi hanno uno ed un solo punto in comune: dati tre piani nello spazio, questo in generale non `e vero.

Quando poi N > 3 manca la possibilit`a di rappresentare graficamente gli iperpiani, e dunque risulta fondamentale provare che det H = N + 1

(25)

Appendice: det H = N + 1

H `e una matrice simmetrica, e dunque i suoi autovalori, ovvero le N radici λ1, ..., λN

di det(H − λI ) = 0 sono reali.

si ha che

N

Y

i =1

λi = det H: infatti è chiaro che det H è il termine noto del polinomio caratteristico det(H − λI ) (si ponga λ = 0!), e il termine noto è il prodotto delle radici (che in questo caso sono esattamente gli autovalori)

la matrice H ha come autovalore λ = 1 con molteplicit`a N − 1: infatti si ha che (H − I ) `e una matrice quadrata NxN di rango 1

la matrice H ha come autovalore λ = N + 1 con molteplicit`a 1: infatti si sa che TracciaH =PN

i =1λi e dunque, essendo TracciaH = 2N e (ho l’autovalore 1 con molteplicit`a N − 1) TracciaH = (N − 1) + λ, ne segue che

λ = 2N − (N − 1) = N + 1 Quindi si ha

det H =

N−1

Y

i =1

1

!

(N + 1) = N + 1