MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICA A.A. 2018/2019 Prof. C. Presilla Prova A4 15 luglio 2019

(1)

MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICA A.A. 2018/2019 – Prof. C. Presilla

Prova A4 – 15 luglio 2019

Cognome Nome Matricola

penalit`a

esercizio voto 1

2 3 4 5 6

1 Un sistema unidimensionale `e descritto dalla Hamiltoniana H = K + V, K = ap², V = bq⁴, a, b ∈ R

essendo q e p gli operatori canonici di posizione e impulso. Dimostrare che in ogni autostato

|ψi di H risulta hψ|K|ψi = 2hψ|V |ψi.

[punteggio 4]]

2 Gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare, J± = J_x + iJ_y, agiscono sugli autostati |j, mi di J² e Jz nel modo seguente:

J±|j, mi = c_±|j, m ± 1i.

Determinare i coefficienti c± assumendo la normalizzazione degli autostati di J² e Jz.

[punteggio 4]

3 Un sistema di bosoni non interagenti `e a contatto con un reservoir a temperatura T = 1/(k_Bβ) e potenziale chimico µ ed `e caratterizzato da energie di singola particella ε_p, p = 1, 2, 3, . . . . Calcolare la funzione di gran partizione ZG del sistema in termini di β, µ e delle energie ε_p.

[punteggio 4]

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(2)

4 Una particella di spin 1/2 interagisce con un campo magnetico costante B. La massa della particella `e cos`ı grande da rendere trascurabile il termine cinetico e l’Hamiltoniana `e

H = −gS · B,

dove S `e l’operatore di spin e g una costante positiva. Il campo magnetico `e diretto lungo l’asse x e all’istante t = 0 una misura di Sz fornisce il valore ~/2. Determinare:

1) lo stato del sistema al tempo t = 0 subito dopo la misura di S_z; 2) lo stato del sistema al generico tempo t > 0;

3) le probabilit`a che una misura di Sy al tempo t fornisca i valori ±~/2;

4) la correzione indotta sull’energia dello stato fondamentale di H, al primo e al secondo ordine, dalla perturbazione H_P = λS_z.

[punteggio 7]

5 Una particella di massa m `e vincolata all’interno di un segmento unidimensionale di larghezza a. L’Hamiltoniana corrispondente `e

h(q, p) = p²

2m+ V (q), V (q) =

0 0 ≤ q ≤ a

∞ q < 0, q > a . Determinare:

1) autovalori e autofunzioni di h.

Si consideri ora un sistema di tre particelle identiche di massa m e spin 1/2 vincolate all’interno dello stesso segmento e descritte dalla Hamiltoniana

H =

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dove S_i `e lo spin della i-esima particella e α una costante negativa. Sapendo che una misura della componente z dello spin totale del sistema S = S1+ S2+ S3 fornisce con certezza il valore +³₂~, determinare:

2) autofunzioni e autovalori di H;

3) l’energia dello stato fondamentale di H.

[punteggio 7]

6 Un sistema di N particelle identiche di massa m, non interagenti mutuamente, `e vincolato a muoversi su un piano. L’Hamiltoniana di singola particella `e

H(q, p) = |p|²

2m + α |q|⁴, q, p ∈ R²,

dove α `e una costante positiva. Considerando le particelle come classiche e all’equilibrio termico a temperatura T , calcolare:

1) l’energia media E del sistema;

2) la distanza pi`u probabile q₀ a cui una particella pu`o essere trovata dal centro del piano.

Nel caso in cui le N particelle siano fermioni di spin 1/2 a temperatura T = 0, calcolare:

3) l’energia di Fermi F del sistema.

[punteggio 7]

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MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICA A.A. 2018/2019 Prof. C. Presilla Prova A4 15 luglio 2019