1
2. Operazioni sui limiti – Limiti fondamentali Tabelle con operazioni
𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] Forma indeterminata 𝑙
𝑙 𝑙 +∞
−∞
𝑙′ +∞
−∞
+∞
−∞
𝑙 + 𝑙′ +∞
−∞
+∞
−∞
+∞ − ∞
𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎[𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] Forma indeterminata 𝑙
𝑙 ≠ 0
∞
𝑙′
∞
∞
𝑙 ∙ 𝑙′
∞
∞
0 ∙ ∞
𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙) Forme indeterminate
𝑙 𝑙
∞
𝑙′≠ 0
∞ 𝑙′≠ 0
𝑙 𝑙′ 0
∞
∞
∞ e 0 0
Per Forma indeterminata si intende dire che la sola conoscenza dei limiti delle funzioni 𝑓 e 𝑔 non consente di determinare il limite della loro somma, prodotto o quoziente.
2
Tabella limiti fondamentali
Limite infinito
all’infinito (𝑛 ∊ 𝑁 − {0})
Limite finito
all’infinito (𝑛 ∊ 𝑁 − {0})
Limite infinito
In un punto (𝑛 ∊ 𝑁 − {0})
𝑥→∓∞lim 𝑥2𝑛 = +∞
𝑥→+∞lim 𝑥2𝑛+1= +∞
𝑥→−∞lim 𝑥2𝑛+1= −∞
𝑥→+∞lim 2𝑛√𝑥= +∞
𝑥→+∞lim 2𝑛+1√𝑥= +∞
𝑥→−∞lim 2𝑛+1√𝑥= −∞
𝑥→+∞lim 𝑒𝑥= +∞
𝑥→+∞lim 𝑙𝑜𝑔𝑥 = +∞
𝑥→+∞lim log𝑎𝑥 = −∞ (0 < 𝑎 < 1)
𝑥→+∞lim log𝑎𝑥 = +∞ (𝑎 > 1)
𝑥→∓∞lim 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = +∞
𝑥→+∞lim 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 = +∞
𝑥→−∞lim 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 = −∞
𝑥→∓∞lim
1 𝑥𝑛 = 0
𝑥→+∞lim
1
2𝑛√𝑥= 0
𝑥→∓∞lim
1
2𝑛+1√𝑥 = 0
𝑥→−∞lim 𝑒𝑥= 0
𝑥→−∞lim 𝑎𝑥 = 0 (𝑎 > 1)
𝑥→+∞lim 𝑎𝑥 = 0 (0 < a < 1)
𝑥→+∞lim 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 =𝜋
2
𝑥→−∞lim 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = −𝜋
2
𝑥→+∞lim 𝑡𝑔ℎ𝑥 = 1
𝑥→−∞lim 𝑡𝑔ℎ𝑥 = −1
𝑥→+∞lim 𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = 1
𝑥→−∞lim 𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = −1
𝑥→0lim
1
𝑥2𝑛 = +∞
𝑥→0lim+
1
𝑥2𝑛+1= +∞
𝑥→0lim−
1
𝑥2𝑛+1= −∞
𝑥→0lim+𝑙𝑜𝑔𝑥 = −∞
𝑥→0lim+log𝑎𝑥 = −∞ (a >1)
𝑥→0lim+log𝑎𝑥 = +∞ (0 < 𝑎 < 1) lim
𝑥→𝜋 2
−𝑡𝑔𝑥 = +∞
lim
𝑥→𝜋2+
𝑡𝑔𝑥 = −∞
𝑥→0lim−𝑐𝑡𝑔𝑥 = −∞
𝑥→0lim+𝑐𝑡𝑔𝑥 = +∞
𝑥→0lim−𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = −∞
𝑥→0lim+𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = +∞
3 (gli esercizi con asterisco sono avviati)
Calcolare i seguenti limiti, tenendo conto delle tabelle sulle operazioni sui limiti e della tabella sui limiti fondamentali:
*1) lim
𝑥→−∞( 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥) *2) lim
𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥+2 3) lim
𝑥→+∞
𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2 4) lim
𝑥→+∞(𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) ; 5) lim
𝑥→−∞
1+sin (𝑥)
1−𝑥2 6) lim
𝑥→+∞
𝑐𝑜𝑠2𝑥
√𝑥+2 7) lim
𝑥→+∞(𝑥2− 3𝑠𝑖𝑛1
𝑥) *8) lim
𝑥→±∞𝑒𝑥+1𝑥 *9) lim
𝑥→0+𝑒𝑥+1𝑥 *10) lim
𝑥→0−𝑒𝑥+1𝑥 11) lim
𝑥→−∞𝑙𝑜𝑔1−𝑥
𝑥2 12) lim
𝑥→+∞𝑙𝑜𝑔√1
𝑥 13) lim
𝑥→0+𝑙𝑜𝑔√1
𝑥 14) lim
𝑥→∞
sin (𝑥)
𝑥 15) lim
𝑥→0+(1
𝑥3− 𝑙𝑜𝑔𝑥) 16) lim
𝑥→0𝑒−
1
𝑥2 17) lim
𝑥→∞𝑒−
1
𝑥2 18) lim
𝑥→+∞
1
1−𝑒𝑥 19) lim
𝑥→−∞
1
1−𝑒𝑥 *20) lim
𝑥→0+ 1
1−𝑒𝑥
*21) lim
𝑥→0− 1
1−𝑒𝑥 22) lim
𝑥→+∞( 𝑥3 + log2𝑥) 23)lim
𝑥→1(𝑥2+ log2|𝑥 − 1|) 24) lim
𝑥→1+−𝑥3log (𝑥 − 1) 25) lim
𝑥→+∞(2
3)4+𝑥
3
26) lim
𝑥→+∞( (1
3)−𝑥
3
+1
𝑥) 27) lim
𝑥→−∞( (1
2)𝑥+ 𝑥4) 28) lim
𝑥→+∞𝑒−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 29) lim
𝑥→−∞2𝑥2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 1) 30) lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥−3
2𝑥+1 31) lim
𝑥→0+ 3+2𝑥
𝑙𝑜𝑔2𝑥 32) lim
𝑥→−∞𝑒𝑥3−1 33) lim
𝑥→+∞𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 34) lim
𝑥→−∞(𝑥2− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) 35) lim
𝑥→−∞( √𝑥3 − √1 − 𝑥3 ) *36) lim
𝑥→+∞𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥+1
𝑥
4
37) lim
𝑥→0+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1
𝑥− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) 38) lim
𝑥→+∞(𝑙𝑜𝑔𝑥 − 𝑒−𝑥+1) 39) lim
𝑥→+∞𝑒𝑥1∙ 𝑙𝑜𝑔 (1 +1
𝑥) 40) lim
𝑥→−∞𝑒1𝑥∙ 𝑙𝑜𝑔|𝑥|
41) lim
𝑥→−∞43√𝑥3+1 42) lim
𝑥→0+ 𝑐𝑜𝑠√𝑥
3√𝑥2+𝑥 *43) lim
𝑥→0±
|𝑥−1|
√𝑥+1−√1−𝑥 44) lim
𝑥→+∞
𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑒−𝑥 45) lim
𝑥→+∞
𝑒−2𝑥−1
𝑥 *46) lim
𝑥→∞𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 *47) lim
𝑥→∞𝑒𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 48) lim
𝑥→−∞(2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+ 1
𝑥2) 49) lim
𝑥→𝜋 2
+𝑒𝑡𝑔𝑥−1 50) lim
𝑥→4−2𝑥−41 51) lim
𝑥→+∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑒−𝑥 52) lim
𝑥→−∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑒
1 𝑥
Limiti del tipo [𝒇(𝒙)]
𝒈(𝒙) Limiti del tipo
𝑥→𝑥lim0[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) possono essere calcolati tenendo conto che si può scrivere
[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙)= 𝒆𝒍𝒐𝒈[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝒆𝒈(𝒙)𝒍𝒐𝒈[𝒇(𝒙)]
quindi risulta
𝑥→𝑥lim0[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝒆𝑥→𝑥0lim𝒈(𝒙)𝒍𝒐𝒈[𝒇(𝒙)]
Le situazioni che si possono presentare sono indicate nella seguente tabella:
5
𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) Forme indeterminate
𝑙 > 0 +∞
+∞
0 < 𝑙 < 1 𝑙 > 1 0 < 𝑙 < 1 𝑙 > 1
+∞
+∞
0 0
𝑙′ 𝑙′> 0 𝑙′< 0 +∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
− ∞ 𝑙𝑙′ +∞
0 0 +∞
+∞
0
+∞
0 0 +∞
00
∞0 1∞
Esercizi
*53) lim
𝑥→0+(𝑥 +1
3)
1
𝑥 *54) lim
𝑥→0−(𝑥 +1
3)
1
𝑥
*55) lim
𝑥→+∞(𝑥4− 2𝑥)√𝑥 *56) lim
𝑥→0+𝑠𝑖𝑛 (𝜋
3− 𝑥)
1 2𝑥−1
*57) lim
𝑥→0−𝑠𝑖𝑛 (𝜋
3− 𝑥)
1
2𝑥−1 *58) lim
𝑥→+∞(𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥 *59) lim
𝑥→0+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)
1
𝑥2 *60) lim
𝑥→0+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)−
1
𝑥2 *61) lim
𝑥→3−( 1
3−𝑥)2−𝑥 *62) lim
𝑥→12−
(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑒
1
2𝑥−1
*63) lim
𝑥→√2 2
+(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔(𝑥−
√2 2)
*64) lim
𝑥→+∞(√2𝑥+1
𝑥−1)
(𝑥3+𝑠𝑖𝑛𝑥)
65) lim
𝑥→−∞(√2𝑥+1
𝑥−1)
(𝑥3+𝑠𝑖𝑛𝑥)
*66) lim
𝑥→0+(𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥
6
Soluzioni
*1. S. −∞; ( la funzione 𝑐𝑜𝑠𝑥 è limitata in ℝ essendo |𝑐𝑜𝑠𝑥| ≤ 1, mentre l’addendo x tende a−∞, perciò la somma (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥) tende a −∞ );
*2. S. 0; (la funzione 𝑠𝑖𝑛𝑥 a numeratore è limitata in ℝ essendo |𝑠𝑖𝑛𝑥| ≤ 1 ,mentre il denominatore 𝑥 + 2 tende a+∞, perciò Il rapporto tende a 0 );
3. S. 0 ; 4.S. +∞ ; 5.S. 0 ; 6. S. 0 ; 7.S. +∞ ;
*8 S. 𝑒 (Si ha lim
𝑥→±∞𝑒𝑥+1𝑥 = 𝑒𝑥→±∞lim (1+
1 𝑥)
= 𝑒 ) ;
*9. S. +∞ (Si ha lim
𝑥→0+𝑒𝑥+1𝑥 = 𝑒𝑥→0+lim(1+
1 𝑥)
= +∞ );
*10 . S. 0 (Si ha lim
𝑥→0−𝑒𝑥+1𝑥 = 𝑒𝑥→0−lim(1+
1 𝑥)
= 0 ) ;
11. S. −∞; 12.S. −∞ ; 13. S. +∞ ; 14. S. 0 ; 15. S. +∞;
16. S. 0 ; 17. S. 1; 18. S. 0 ; 19. S. 1 ;
*20 S. −∞ ( per 𝑥 → 0+ , 1 − 𝑒𝑥 è negativo e infinitesimo, perciò lim
𝑥→0+ 1
1−𝑒𝑥 = −∞);
*21 S. +∞ ( per 𝑥 → 0− , 1 − 𝑒𝑥 è positivo e infinitesimo, perciò lim
𝑥→0− 1
1−𝑒𝑥= +∞ );
22. S. +∞ ; 23.S. −∞; 24. S. +∞ ; 25. S. 0 ; 26.S. +∞ ; 27.S. +∞ ; 28. S. 0 ; 29.S. 0 ; 30. S. −3 ; 31. S. 0 ; 32. S. 0 ; 33. S. 𝑒
𝜋
2; 34. S. +∞ ; 35. S. −∞ ;
*36. S. 𝜋
2 ; ( si può scrivere 𝑥+1
𝑥 = 1 +1
𝑥 , lim
𝑥→+∞(1 +1
𝑥) = 1… );
37.S. 0; 38.S. +∞ ; 39.S. 0 ; 40.S. +∞ ; 41.S. 0 ; 42.S. +∞ ;
* 43.S. ±∞ ;( razionalizzando risulta |𝑥−1|
√𝑥+1−√1−𝑥= ⌈𝑥−1⌉(√𝑥+1+√1−𝑥) (√𝑥+1−√1−𝑥)(√𝑥+1+√1−𝑥)= =⌈𝑥−1⌉(√𝑥+1+√1−𝑥)
2𝑥 =…);
44.S. +∞ ; 45. S. 0 ;
* 46.S. non esiste; ( infatti lim
𝑥→∞𝑥2 = +∞ , mentre −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1, pertanto la funzione 𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 oscilla tra valori positivi sempre più grandi e valori negativi in valore assoluto sempre più grandi , quindi il limite non esiste );
* 47.S. non esiste ; ( vedi es. 46 );
48. S. 2−
𝜋
2 ; 49. S. 0; 50. S. 0 ; 51.S. +∞ ; 52. S. −𝜋
2 .
7
Limiti del tipo [𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙)
* 53. S. 0 ; (si può anche scrivere (𝑥 +1
3)
1
𝑥= 𝑒𝑙𝑜𝑔(𝑥+
1 3)
1 𝑥 = 𝑒
1
𝑥𝑙𝑜𝑔(𝑥+13)
, poiché lim
𝑥→0𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +1
3) = 𝑙𝑜𝑔1
3< 0 ⇒ lim
𝑥→0+ 1
𝑥𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +1
3) = −∞, quindi lim
𝑥→0+(𝑥 +1
3)
1
𝑥 = 𝑒𝑥→0+lim
1
𝑥𝑙𝑜𝑔(𝑥+13)
= 0 ; si può anche notare che il limite si presenta nella forma (1
3)+∞e dalla tabella … );
*54. S. +∞;( dall’esercizio 53 , lim
𝑥→0− 1
𝑥𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +1
3) = +∞ …; si può anche notare che il limite si presenta nella forma (13)−∞quindi dalla tabella si deduce…);
*55. S. +∞ ; ( si ha lim
𝑥→+∞(𝑥4− 2𝑥) = lim
𝑥→+∞𝑥4(1 − 2
𝑥3) = +∞ …);
* 56.S. 0 ; ( si ha lim
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 (𝜋
3− 𝑥) = sin𝜋
3 =√3
2 < 1 , se 𝑥 > 0 ⇒ 2𝑥− 1 > 0 ⇒ lim
𝑥→0+ 1
2𝑥−1= +∞ … );
*57.S. +∞ ; ( tenendo conto dell’esercizio precedente se 𝑥 < 0 ⇒ 2𝑥− 1 < 0 ⇒ lim
𝑥→0− 1
2𝑥−1= −∞ … );
*58. S. +∞ ; ( si può scrivere lim
𝑥→+∞(𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑒𝑥→+∞lim (𝑥2+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑙𝑜𝑔𝑥
= = 𝑒𝑥→+∞lim 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥2+𝑐𝑜𝑠𝑥) tenendo conto che −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1, lim
𝑥→+∞(𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥) = +∞…;
notiamo che il limite è della forma +∞+∞ pertanto dalla tabella risulta…);
* 59.S. 0 ; ( lim
𝑥→0+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0+ , lim
𝑥→0+𝑙𝑜𝑔( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) = −∞ , lim
𝑥→0 1
𝑥2 = +∞, pertanto
𝑥→0lim+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)
1
𝑥2 = 𝑒𝑥→0+lim 𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) 1
𝑥2 = 𝑒𝑥→0+lim
1
𝑥2log (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)
… ; osserviamo anche che il limite è della forma 0+∞ quindi dala tabella risulta…);
*60. S. +∞; (tenendo conto dell’esercizio 59 ,da lim
𝑥→0− 1
𝑥2 = −∞ ….);
* 61. S. 0; ( lim
𝑥→3− 1
3−𝑥 = +∞, lim
𝑥→3−( 1
3−𝑥)2−𝑥 = 𝑒𝑥→3−lim(2−𝑥)𝑙𝑜𝑔(
1 3−𝑥)
…) ;
*62. S. 1 ; ( lim
𝑥→12−
(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑒
1 2𝑥−1 = 𝑒
lim 𝑥→1
2
−𝑒 1
2𝑥−1log (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)
1, si ha
8 lim
𝑥→12−
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 =𝜋
3 , lim
𝑥→12−
𝑒2𝑥−11 = 0 …);
* 63.S. +∞; ( lim
𝑥→√22
+(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔(𝑥−
√2 2)
= 𝑒
lim 𝑥→√2 2
+𝑙𝑜𝑔(𝑥−√22)∗𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)
, si ha
lim
𝑥→√2 2
+𝑙𝑜𝑔 (𝑥 −√2
2) = −∞ , lim
𝑥→√2 2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 =𝜋
4 , lim
𝑥→√2 2
𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝜋
4 < 0…);
*64.S. +∞ ; ( si può scrivere 2𝑥+1𝑥−1 = 2(𝑥−1)+3
𝑥−1 = 2 + 3
𝑥−1 ⇒ lim
𝑥→+∞(√2𝑥+1
𝑥−1) = lim
𝑥→+∞√2 + 3
𝑥−1 = √2 …);
65.S. 0 ;
*66. S. +∞ ; ( lim
𝑥→0+𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0+ ⇒ lim
𝑥→0+log(𝑠𝑖𝑛𝑥) = −∞, lim
𝑥→0+(𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑒𝑥→0+lim𝑙𝑜𝑔𝑥∗log (𝑠𝑖𝑛𝑥)
= ⋯ .. …; si può anche osservare che il limite è della forma 0−∞ …);