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2. Operazioni sui limiti Limiti fondamentali Tabelle con operazioni

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Academic year: 2022

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(1)

1

2. Operazioni sui limiti – Limiti fondamentali Tabelle con operazioni

𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] Forma indeterminata 𝑙

𝑙 𝑙 +∞

−∞

𝑙 +∞

−∞

+∞

−∞

𝑙 + 𝑙 +∞

−∞

+∞

−∞

+∞ − ∞

𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎[𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] Forma indeterminata 𝑙

𝑙 ≠ 0

𝑙

𝑙 ∙ 𝑙

0 ∙ ∞

𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) Forme indeterminate

𝑙 𝑙

𝑙≠ 0

∞ 𝑙≠ 0

𝑙 𝑙 0

∞ e 0 0

Per Forma indeterminata si intende dire che la sola conoscenza dei limiti delle funzioni 𝑓 e 𝑔 non consente di determinare il limite della loro somma, prodotto o quoziente.

(2)

2

Tabella limiti fondamentali

Limite infinito

all’infinito (𝑛 ∊ 𝑁 − {0})

Limite finito

all’infinito (𝑛 ∊ 𝑁 − {0})

Limite infinito

In un punto (𝑛 ∊ 𝑁 − {0})

𝑥→∓∞lim 𝑥2𝑛 = +∞

𝑥→+∞lim 𝑥2𝑛+1= +∞

𝑥→−∞lim 𝑥2𝑛+1= −∞

𝑥→+∞lim 2𝑛√𝑥= +∞

𝑥→+∞lim 2𝑛+1√𝑥= +∞

𝑥→−∞lim 2𝑛+1√𝑥= −∞

𝑥→+∞lim 𝑒𝑥= +∞

𝑥→+∞lim 𝑙𝑜𝑔𝑥 = +∞

𝑥→+∞lim log𝑎𝑥 = −∞ (0 < 𝑎 < 1)

𝑥→+∞lim log𝑎𝑥 = +∞ (𝑎 > 1)

𝑥→∓∞lim 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = +∞

𝑥→+∞lim 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 = +∞

𝑥→−∞lim 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 = −∞

𝑥→∓∞lim

1 𝑥𝑛 = 0

𝑥→+∞lim

1

2𝑛√𝑥= 0

𝑥→∓∞lim

1

2𝑛+1√𝑥 = 0

𝑥→−∞lim 𝑒𝑥= 0

𝑥→−∞lim 𝑎𝑥 = 0 (𝑎 > 1)

𝑥→+∞lim 𝑎𝑥 = 0 (0 < a < 1)

𝑥→+∞lim 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 =𝜋

2

𝑥→−∞lim 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = −𝜋

2

𝑥→+∞lim 𝑡𝑔ℎ𝑥 = 1

𝑥→−∞lim 𝑡𝑔ℎ𝑥 = −1

𝑥→+∞lim 𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = 1

𝑥→−∞lim 𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = −1

𝑥→0lim

1

𝑥2𝑛 = +∞

𝑥→0lim+

1

𝑥2𝑛+1= +∞

𝑥→0lim

1

𝑥2𝑛+1= −∞

𝑥→0lim+𝑙𝑜𝑔𝑥 = −∞

𝑥→0lim+log𝑎𝑥 = −∞ (a >1)

𝑥→0lim+log𝑎𝑥 = +∞ (0 < 𝑎 < 1) lim

𝑥→𝜋 2

𝑡𝑔𝑥 = +∞

lim

𝑥→𝜋2+

𝑡𝑔𝑥 = −∞

𝑥→0lim𝑐𝑡𝑔𝑥 = −∞

𝑥→0lim+𝑐𝑡𝑔𝑥 = +∞

𝑥→0lim𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = −∞

𝑥→0lim+𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥 = +∞

(3)

3 (gli esercizi con asterisco sono avviati)

Calcolare i seguenti limiti, tenendo conto delle tabelle sulle operazioni sui limiti e della tabella sui limiti fondamentali:

*1) lim

𝑥→−∞( 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥) *2) lim

𝑥→+∞

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥+2 3) lim

𝑥→+∞

𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2 4) lim

𝑥→+∞(𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) ; 5) lim

𝑥→−∞

1+sin (𝑥)

1−𝑥2 6) lim

𝑥→+∞

𝑐𝑜𝑠2𝑥

√𝑥+2 7) lim

𝑥→+∞(𝑥2− 3𝑠𝑖𝑛1

𝑥) *8) lim

𝑥→±∞𝑒𝑥+1𝑥 *9) lim

𝑥→0+𝑒𝑥+1𝑥 *10) lim

𝑥→0𝑒𝑥+1𝑥 11) lim

𝑥→−∞𝑙𝑜𝑔1−𝑥

𝑥2 12) lim

𝑥→+∞𝑙𝑜𝑔√1

𝑥 13) lim

𝑥→0+𝑙𝑜𝑔√1

𝑥 14) lim

𝑥→∞

sin (𝑥)

𝑥 15) lim

𝑥→0+(1

𝑥3− 𝑙𝑜𝑔𝑥) 16) lim

𝑥→0𝑒

1

𝑥2 17) lim

𝑥→∞𝑒

1

𝑥2 18) lim

𝑥→+∞

1

1−𝑒𝑥 19) lim

𝑥→−∞

1

1−𝑒𝑥 *20) lim

𝑥→0+ 1

1−𝑒𝑥

*21) lim

𝑥→0 1

1−𝑒𝑥 22) lim

𝑥→+∞( 𝑥3 + log2𝑥) 23)lim

𝑥→1(𝑥2+ log2|𝑥 − 1|) 24) lim

𝑥→1+−𝑥3log (𝑥 − 1) 25) lim

𝑥→+∞(2

3)4+𝑥

3

26) lim

𝑥→+∞( (1

3)−𝑥

3

+1

𝑥) 27) lim

𝑥→−∞( (1

2)𝑥+ 𝑥4) 28) lim

𝑥→+∞𝑒−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 29) lim

𝑥→−∞2𝑥2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 1) 30) lim

𝑥→−∞

𝑒𝑥−3

2𝑥+1 31) lim

𝑥→0+ 3+2𝑥

𝑙𝑜𝑔2𝑥 32) lim

𝑥→−∞𝑒𝑥3−1 33) lim

𝑥→+∞𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 34) lim

𝑥→−∞(𝑥2− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) 35) lim

𝑥→−∞( √𝑥3 − √1 − 𝑥3 ) *36) lim

𝑥→+∞𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥+1

𝑥

(4)

4

37) lim

𝑥→0+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1

𝑥− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) 38) lim

𝑥→+∞(𝑙𝑜𝑔𝑥 − 𝑒−𝑥+1) 39) lim

𝑥→+∞𝑒𝑥1∙ 𝑙𝑜𝑔 (1 +1

𝑥) 40) lim

𝑥→−∞𝑒1𝑥∙ 𝑙𝑜𝑔|𝑥|

41) lim

𝑥→−∞43√𝑥3+1 42) lim

𝑥→0+ 𝑐𝑜𝑠√𝑥

3√𝑥2+𝑥 *43) lim

𝑥→0±

|𝑥−1|

√𝑥+1−√1−𝑥 44) lim

𝑥→+∞

𝑙𝑜𝑔𝑥

𝑒−𝑥 45) lim

𝑥→+∞

𝑒−2𝑥−1

𝑥 *46) lim

𝑥→∞𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 *47) lim

𝑥→∞𝑒𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 48) lim

𝑥→−∞(2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+ 1

𝑥2) 49) lim

𝑥→𝜋 2

+𝑒𝑡𝑔𝑥−1 50) lim

𝑥→42𝑥−41 51) lim

𝑥→+∞

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

𝑒−𝑥 52) lim

𝑥→−∞

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑒

1 𝑥

Limiti del tipo [𝒇(𝒙)]

𝒈(𝒙) Limiti del tipo

𝑥→𝑥lim0[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) possono essere calcolati tenendo conto che si può scrivere

[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙)= 𝒆𝒍𝒐𝒈[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝒆𝒈(𝒙)𝒍𝒐𝒈[𝒇(𝒙)]

quindi risulta

𝑥→𝑥lim0[𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙) = 𝒆𝑥→𝑥0lim𝒈(𝒙)𝒍𝒐𝒈[𝒇(𝒙)]

Le situazioni che si possono presentare sono indicate nella seguente tabella:

(5)

5

𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) Forme indeterminate

𝑙 > 0 +∞

+∞

0 < 𝑙 < 1 𝑙 > 1 0 < 𝑙 < 1 𝑙 > 1

+∞

+∞

0 0

𝑙 𝑙> 0 𝑙< 0 +∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

+∞

− ∞ 𝑙𝑙 +∞

0 0 +∞

+∞

0

+∞

0 0 +∞

00

0 1

Esercizi

*53) lim

𝑥→0+(𝑥 +1

3)

1

𝑥 *54) lim

𝑥→0(𝑥 +1

3)

1

𝑥

*55) lim

𝑥→+∞(𝑥4− 2𝑥)√𝑥 *56) lim

𝑥→0+𝑠𝑖𝑛 (𝜋

3− 𝑥)

1 2𝑥−1

*57) lim

𝑥→0𝑠𝑖𝑛 (𝜋

3− 𝑥)

1

2𝑥−1 *58) lim

𝑥→+∞(𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥 *59) lim

𝑥→0+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

1

𝑥2 *60) lim

𝑥→0+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

1

𝑥2 *61) lim

𝑥→3( 1

3−𝑥)2−𝑥 *62) lim

𝑥→12

(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑒

1

2𝑥−1

*63) lim

𝑥→√2 2

+(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔(𝑥−

√2 2)

*64) lim

𝑥→+∞(√2𝑥+1

𝑥−1)

(𝑥3+𝑠𝑖𝑛𝑥)

65) lim

𝑥→−∞(√2𝑥+1

𝑥−1)

(𝑥3+𝑠𝑖𝑛𝑥)

*66) lim

𝑥→0+(𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥

(6)

6

Soluzioni

*1. S. −∞; ( la funzione 𝑐𝑜𝑠𝑥 è limitata in ℝ essendo |𝑐𝑜𝑠𝑥| ≤ 1, mentre l’addendo x tende a−∞, perciò la somma (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥) tende a −∞ );

*2. S. 0; (la funzione 𝑠𝑖𝑛𝑥 a numeratore è limitata in ℝ essendo |𝑠𝑖𝑛𝑥| ≤ 1 ,mentre il denominatore 𝑥 + 2 tende a+∞, perciò Il rapporto tende a 0 );

3. S. 0 ; 4.S. +∞ ; 5.S. 0 ; 6. S. 0 ; 7.S. +∞ ;

*8 S. 𝑒 (Si ha lim

𝑥→±∞𝑒𝑥+1𝑥 = 𝑒𝑥→±∞lim (1+

1 𝑥)

= 𝑒 ) ;

*9. S. +∞ (Si ha lim

𝑥→0+𝑒𝑥+1𝑥 = 𝑒𝑥→0+lim(1+

1 𝑥)

= +∞ );

*10 . S. 0 (Si ha lim

𝑥→0𝑒𝑥+1𝑥 = 𝑒𝑥→0−lim(1+

1 𝑥)

= 0 ) ;

11. S. −∞; 12.S. −∞ ; 13. S. +∞ ; 14. S. 0 ; 15. S. +∞;

16. S. 0 ; 17. S. 1; 18. S. 0 ; 19. S. 1 ;

*20 S. −∞ ( per 𝑥 → 0+ , 1 − 𝑒𝑥 è negativo e infinitesimo, perciò lim

𝑥→0+ 1

1−𝑒𝑥 = −∞);

*21 S. +∞ ( per 𝑥 → 0 , 1 − 𝑒𝑥 è positivo e infinitesimo, perciò lim

𝑥→0 1

1−𝑒𝑥= +∞ );

22. S. +∞ ; 23.S. −∞; 24. S. +∞ ; 25. S. 0 ; 26.S. +∞ ; 27.S. +∞ ; 28. S. 0 ; 29.S. 0 ; 30. S. −3 ; 31. S. 0 ; 32. S. 0 ; 33. S. 𝑒

𝜋

2; 34. S. +∞ ; 35. S. −∞ ;

*36. S. 𝜋

2 ; ( si può scrivere 𝑥+1

𝑥 = 1 +1

𝑥 , lim

𝑥→+∞(1 +1

𝑥) = 1… );

37.S. 0; 38.S. +∞ ; 39.S. 0 ; 40.S. +∞ ; 41.S. 0 ; 42.S. +∞ ;

* 43.S. ±∞ ;( razionalizzando risulta |𝑥−1|

√𝑥+1−√1−𝑥= ⌈𝑥−1⌉(√𝑥+1+√1−𝑥) (√𝑥+1−√1−𝑥)(√𝑥+1+√1−𝑥)= =⌈𝑥−1⌉(√𝑥+1+√1−𝑥)

2𝑥 =…);

44.S. +∞ ; 45. S. 0 ;

* 46.S. non esiste; ( infatti lim

𝑥→∞𝑥2 = +∞ , mentre −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 1, pertanto la funzione 𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 oscilla tra valori positivi sempre più grandi e valori negativi in valore assoluto sempre più grandi , quindi il limite non esiste );

* 47.S. non esiste ; ( vedi es. 46 );

48. S. 2

𝜋

2 ; 49. S. 0; 50. S. 0 ; 51.S. +∞ ; 52. S. −𝜋

2 .

(7)

7

Limiti del tipo [𝒇(𝒙)]𝒈(𝒙)

* 53. S. 0 ; (si può anche scrivere (𝑥 +1

3)

1

𝑥= 𝑒𝑙𝑜𝑔(𝑥+

1 3)

1 𝑥 = 𝑒

1

𝑥𝑙𝑜𝑔(𝑥+13)

, poiché lim

𝑥→0𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +1

3) = 𝑙𝑜𝑔1

3< 0 ⇒ lim

𝑥→0+ 1

𝑥𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +1

3) = −∞, quindi lim

𝑥→0+(𝑥 +1

3)

1

𝑥 = 𝑒𝑥→0+lim

1

𝑥𝑙𝑜𝑔(𝑥+13)

= 0 ; si può anche notare che il limite si presenta nella forma (1

3)+∞e dalla tabella … );

*54. S. +∞;( dall’esercizio 53 , lim

𝑥→0 1

𝑥𝑙𝑜𝑔 (𝑥 +1

3) = +∞ …; si può anche notare che il limite si presenta nella forma (13)−∞quindi dalla tabella si deduce…);

*55. S. +∞ ; ( si ha lim

𝑥→+∞(𝑥4− 2𝑥) = lim

𝑥→+∞𝑥4(1 − 2

𝑥3) = +∞ …);

* 56.S. 0 ; ( si ha lim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 (𝜋

3− 𝑥) = sin𝜋

3 =√3

2 < 1 , se 𝑥 > 0 ⇒ 2𝑥− 1 > 0 ⇒ lim

𝑥→0+ 1

2𝑥−1= +∞ … );

*57.S. +∞ ; ( tenendo conto dell’esercizio precedente se 𝑥 < 0 ⇒ 2𝑥− 1 < 0 ⇒ lim

𝑥→0 1

2𝑥−1= −∞ … );

*58. S. +∞ ; ( si può scrivere lim

𝑥→+∞(𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑒𝑥→+∞lim (𝑥2+𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑙𝑜𝑔𝑥

= = 𝑒𝑥→+∞lim 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥2+𝑐𝑜𝑠𝑥) tenendo conto che −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1, lim

𝑥→+∞(𝑥2+ 𝑐𝑜𝑠𝑥) = +∞…;

notiamo che il limite è della forma +∞+∞ pertanto dalla tabella risulta…);

* 59.S. 0 ; ( lim

𝑥→0+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0+ , lim

𝑥→0+𝑙𝑜𝑔( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) = −∞ , lim

𝑥→0 1

𝑥2 = +∞, pertanto

𝑥→0lim+(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

1

𝑥2 = 𝑒𝑥→0+lim 𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) 1

𝑥2 = 𝑒𝑥→0+lim

1

𝑥2log (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

… ; osserviamo anche che il limite è della forma 0+∞ quindi dala tabella risulta…);

*60. S. +∞; (tenendo conto dell’esercizio 59 ,da lim

𝑥→01

𝑥2 = −∞ ….);

* 61. S. 0; ( lim

𝑥→3 1

3−𝑥 = +∞, lim

𝑥→3( 1

3−𝑥)2−𝑥 = 𝑒𝑥→3−lim(2−𝑥)𝑙𝑜𝑔(

1 3−𝑥)

…) ;

*62. S. 1 ; ( lim

𝑥→12

(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑒

1 2𝑥−1 = 𝑒

lim 𝑥→1

2

𝑒 1

2𝑥−1log (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)

1, si ha

(8)

8 lim

𝑥→12

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 =𝜋

3 , lim

𝑥→12

𝑒2𝑥−11 = 0 …);

* 63.S. +∞; ( lim

𝑥→√22

+(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔(𝑥−

√2 2)

= 𝑒

lim 𝑥→√2 2

+𝑙𝑜𝑔(𝑥−√22)∗𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)

, si ha

lim

𝑥→√2 2

+𝑙𝑜𝑔 (𝑥 −√2

2) = −∞ , lim

𝑥→√2 2

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 =𝜋

4 , lim

𝑥→√2 2

𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝜋

4 < 0…);

*64.S. +∞ ; ( si può scrivere 2𝑥+1𝑥−1 = 2(𝑥−1)+3

𝑥−1 = 2 + 3

𝑥−1 ⇒ lim

𝑥→+∞(√2𝑥+1

𝑥−1) = lim

𝑥→+∞√2 + 3

𝑥−1 = √2 …);

65.S. 0 ;

*66. S. +∞ ; ( lim

𝑥→0+𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0+ ⇒ lim

𝑥→0+log(𝑠𝑖𝑛𝑥) = −∞, lim

𝑥→0+(𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑒𝑥→0+lim𝑙𝑜𝑔𝑥∗log (𝑠𝑖𝑛𝑥)

= ⋯ .. …; si può anche osservare che il limite è della forma 0−∞ …);

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