8. 12 ottobre 2009
Retta tangente e derivata
Si mostrano alcuni grafici di funzione ; si vede che prendendo alcune funzioni (es. f (x) = x2− 5 x+ 1 ) e mostrandone successivi ingrandimenti del grafico nell’intorno di un punto a, i grafici diventano sempre pi`u simili a quello di una retta.
Possiamo quindi dire che il grafico di molte funzioni pu`o essere localmente approssimato da una retta. Come si trova tale retta? Quale ne `e la pendenza?
L’idea `e di considerare la retta secante il grafico per i punti P1= (a, f (a)) e P2 = (x, f (x)); il coefficiente angolare di questa retta, il numero
f(x) − f (a) x− a
viene detto rapporto incrementale e pu`o essere considerato la pendenza media del grafico di f nell’intervallo [a, x]. Dal fatto che, facendo successivi ingrandimenti, il grafico diventa sempre pi`u simile a una retta, si pu`o presumere che, avvicinando il punto P2a P1, le rette secanti vengano tutte a coincidere; questo si vede negli esempi. Diremo allora che il limite, per x che si avvicina a a, delle rette secanti (in a e x) `e la retta tangente in a al grafico di f .
Quindi, per calcolare il coefficiente angolare della retta tangente in un punto a in I, teniamo fisso a e consideriamo un altro punto x in I, x 6= a, che pensiamo variabile. Se la pendenza media
f(x) − f (a) x− a
tende, all’avvicinarsi di x ad a, ad un numero ben definito, allora questo numero lo chiameremo pendenza del grafico di f nel punto (a, f (a)). Tale numero sar`a il coefficiente angolare della retta tangente ed `e uguale a f′(a), la derivata di f in x = a, definita la volta scorsa.
La funzione |x| non `e derivabile in a = 0 perch´e non esiste il limite del rapporto incrementale.
Si afferma che vale la formula generale:
se f (x) = xα, f′(a) = αaα−1.
Vengono infine enunciate due regole importanti per il calcolo delle derivate:
se h(x) = f (x)+g(x), allora h′(a) = f′(a)+g′(a) (derivata della somma = somma delle derivate) se c ∈ R e h(x) = cf (x), allora h′(a) = cf′(a) (le costanti si portano fuori dalla derivata)
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