Prova Scritta di Teoria dei Sistemi (C.L.) del 17/7/2001 (6 quesiti) 1) Determinare i modi osservabili del seguente sistema dinamico:
[ ]
xy
u x
x
2 1 1
0 2 1
0 3 1
2 4 0
1 3 0
=
+
−
=
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Prova Scritta di Teoria dei Sistemi (C.L.) del 17/7/2001 (6 quesiti)
Parte 2
Determinare il polinomio dei poli e quello degli zeri di un sistema con matrice di trasferimento
+
− +
+ +
−
=
2 ) 1 ( 2 2
3 2
4 2 1 )
(
s s s
s s
s s H
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Prova Scritta di Teoria dei Sistemi (C.L.) del 17/7/2001 (6 quesiti) 3) Si consideri il sistema non autonomo
+
−
−
=
+
−
=
) (
) (
) (
) (
2 2 2 1 2 1
2
2 2 2 1 1 2
1
x x x t g x x
x x x t g x x
dove è differenziabile e per ogni con M e k reali e finiti. Si chiede di verificare se l’origine sia uniformemente asintoticamente stabile. Si chiede inoltre di verificare anche se l’origine risulti essere stabile esponenzialmente.
) (t
g M ≥ g(t)≥k >0 t ≥0
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Prova Scritta di Teoria dei Sistemi (C.L.) del 17/7/2001 (6 quesiti)
4) Dato il modello di stato a tempo continuo (A,B,C,D) la cui uscita è campionata uniformemente con periodo T ed il suo ingresso è generato da un dispositivo di tenuta (di ordine zero)
sincronizzato con il campionamento dell’uscita si determini il modello di stato, a tempo discreto, equivalente.
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Parte 5
Si provi la seguente affermazione: una realizzazione
(di ordine della matrice di trasferimento è minima se e solo se è (completamente) controllabile e (completamente) osservabile.
) , , ,B C D
A n
) (s H
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Parte 6
Dato il sistema non lineare
) (x f x=
dove è un punto di equilibrio, presentare e dimostrare il metodo indiretto di Lyapunov per dedurre la stabilità asintotica dell’origine.
=0 x
