∑ 2.1 IRRIGIDIMENTO INTEGRO Capitolo 2

(1)

Capitolo 2 Irrigidimento integro

______________________________________________________________________

Capitolo 2

2.1 IRRIGIDIMENTO

INTEGRO

2.1.1 IRRIGIDIMENTO DI FORMA REALE: AREA

EQUIVALENTE

L’introduzione dell’irrigidimento di forma reale porta con sé il problema di esprimere la sezione di geometria complessa in funzione della sezione rettangolare, caratterizzata da un solo parametro.

L’area geometrica del corrente Aeff è ricondotta all’area di una striscia

rettangolare equivalente ai fini dello spostamento relativo prodotto da una forza unitaria tra il corrente e la lamiera, ovvero lo spostamento relativo deve essere uguale sotto l’applicazione del carico descritto tra il caso corrente reale-lamiera ed il caso striscia equivalente-lamiera.

Dalla teoria lineare delle travi, lo spostamento del corrente è esprimibile come

∑

⋅ + ⋅ = _∞ _ij _ij CORR b b P V ₀ σ (2.1) dove E P b E b b ij ij ij l l l ⋅ = ⋅ = ⇒ = ⋅ _∞ σ ε σ ₀ 0 (2.2) L’espressione di σij diventa: eq ij y x eff ij y y x x eff ij ij A P d y A P d I M y I M A P = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + = 2₂ 2₂ 4 1 2 ρ ρ σ (2.3)

(2)

______________________________________________________________________

L’espressione comunemente usata per esprimere l’area equivalente si ottiene dalla (2.3) trascurando l’eccentricità rispetto all’asse y.

Sarà quindi 2 1 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ρ y A A_eq eff (2.4)

dove ρ è il raggio di inerzia:

eff x A I = ρ (2.5)

e Aeff = Area geometrica

Riprendendo quanto proposto dai colleghi in lavori precedenti segue l’espressione dell’area geometrica per i correnti di geometria reale analizzati nel presente lavoro di tesi:

eq eff A A =

(

2

)

4⋅ − = b Aeff

(

)

6 6 2 b b Ix + ⋅ =

(

2

)

4⋅ − = b Aeff

(

)

6 6 2 b b Ix + ⋅ =

(

)

(

)

6 6 1 4 2 b b I b A x eff + ⋅ = − ⋅ =

(3)

______________________________________________________________________

2.1.2 RISULTATI OTTENUTI AL VARIARE DELL’AREA

EQUIVALENTE

E’ proposto uno studio articolato sulle quattro geometrie riportate in tabella 2.1. Per ogni geometria si calcola il valore del K per 3 valori di area equivalente (Aeq= 6, 9 e 12), per 5 differenti valori di dimensione della fessura (a=9, 12, 15,

18 e 24) e per posizioni differenti del generico corrente rispetto alla mezzeria della fessura.

Il range di valori su cui si è scelto di lavorare ricalca quanto proposto da colleghi in lavori precedenti. Per quanto concerne la dimensione di fessura il range è sufficientemente esteso, comunque limitato dal modello agli elementi finiti che si è utilizzato (per utilizzare valori più ampi di “a” si sarebbe dovuto creare un nuovo modello con l ≠a/2).

Le figure seguenti evidenziano l’andamento delle tensioni per i casi e la modelizzazione proposti.

• Corrente a Z

(4)

______________________________________________________________________

Figura 2.2 – andamento delle tensioni per corrente a Z • Corrente a C

(5)

______________________________________________________________________

Figura 2.4 – Andamento delle tensioni per corrente a C • Corrente ad Ω

(6)

______________________________________________________________________

Figura 2.6 – Andamento delle tensioni per corrente ad Ω

In appendice I i risultati ottenuti.

Inserendo in grafico i valori ottenuti parametrizzati rispetto a K0per un caso

particolare, nell’esempio a=9,Aeq =12, si evidenzia come la geometria reale possa essere espressa in termini di area equivalente come un corrente a doppia striscia.

Definendo la geometria in figura come segue, si indichi con B l’apice della fessura posto in 2l.

Ad ogni valore indicato sull’asse x corrisponde una diversa posizione del corrente

(7)

Capitolo 2 Irrigidimento integro ______________________________________________________________________ Figura 2.8: 0 K K_B

al variare della posizione del corrente

In figura 2.8 è riportato il diagramma ottenuto dai dati in tabella per l’esempio indicato. Si noti subito la quasi totale coincidenza dei casi a Z e a C.

Nelle figure seguenti è graficato, per ogni valore di semidimensione di fessura a, il rapporto KB K0 calcolato per irrigidimento di geometria reale rispetto al

medesimo valore calcolato per il corrente a doppia striscia; la doppia striscia è, quindi, nei grafici sotto riportati la retta y= , mentre per i correnti di x

geometria reale si evidenzia il discostamento dai risultati della doppia striscia stessa. In particolare leggasi nella seguente tabella i risultati del corrente a Z e del corrente ad Ω.

---- retta y = x ottenuta graficando le coppie _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ DS B DS B K K K K 0 0 ; X coppie _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω 0 0 ; K K K K B DS B O coppie _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Z B DS B K K K K 0 0 ;

Risulta evidente la buona approssimazione ottenuta sostituendo con il corrente a doppia striscia l’equivalente corrente di geometria reale.

(8)

______________________________________________________________________

Figura 2.9: a=9

(9)

______________________________________________________________________

Figura 2.11: a=15

(10)

______________________________________________________________________

(11)

______________________________________________________________________

2.1.3 VALUTAZIONE DELL’ERRORE

Una valutazione dell’errore commesso può essere ricavata genericamente dalla relazione: = − ⋅100 corrente DS corrente K K K ε (2.6)

In Appendice II è riportato uno studio dell’errore commesso utilizzando il corrente a doppia striscia al posto del corrispettivo equivalente di geometria reale, tramite la formula (2.6).

Con un errore massimo del 3% rilevato nel caso corrente ad Ω è possibile tranquillamente affermare che il concetto di area equivalente rende possibile calcolare il K per il semplice caso geometrico di corrente a doppia striscia per poi applicare il dato trovato ai casi di geometria reale equivalenti.

(12)

______________________________________________________________________

2.2 FORMULAZIONE ANALITICA PER

IRRIGIDIMENTO INTEGRO

Si vuole esprimere la dipendenza dei dati ottenuti dalla distanza del corrente dalla mezzeria della fessura, x, dalla dimensione della fessura, a, e dal valore dell’area equivalente, Aeq.

Con riferimento ai dati proposti in tabella 2.2 (Appendice I, K per correnti a doppia striscia), l’andamento al variare della posizione del corrente rispetto alla mezzeria della fessura è del tipo mostrato in figura 2.14, ottenuto nel caso particolare A_eq = a6, =15.

Figura 2.14: andamento di KB K0 al variare della posizione del corrente

La curva può essere ben approssimata da una quadratica di secondo grado pesata da un esponenziale negativo che ne corregga l’andamento all’infinito:

1 ] ) [( ) ( 2 ₂ ₃ 1⋅ + ⋅ + ⋅ + = −_a⋅_xn e a x a x a x f (2.7)

dove x è parametrizzato rispetto ad ‘a’.

L’esponenziale è strutturato in modo da valere circa 1 nelle vicinanze della mezzeria (zona in cui si deve “sentire” l’andamento della quadratica) e circa 0 ad una distanza sufficiente dalla mezzeria stessa (tendenza della funzione a zero).

In questo senso un buon andamento è garantito dall’esponenziale ₀_,₀₁_x10

e− ⋅ , il cui

(13)

______________________________________________________________________ Implementando questa procedura si ottiene la griglia dei coefficienti an

calcolati a Aeq ed a costanti. La figura 2.16 confronta i dati sperimentali con la

funzione approssimazione. La corrispondenza dei valori è ottimale in prossimità dello zero, mentre si discosta più evidentemente nella zona centrale, in maniera comunque conservativa.

Figura 2.15: andamento dell’esponenziale 0,01x10

e− ⋅

Figura 2.16: confronto tra la funzione approssimazione e la curva inviluppo -- Soluzione analitica

(14)

______________________________________________________________________ La tipologia di funzione individuata ben approssima i dati ottenuti con il corrente posizionato nelle vicinanze della mezzeria della fessura e nell’andamento al limite (corrente infinitamente lontano dalla fessura). La zona intermedia è sicuramente meno precisa, mantenendo comunque caratteristiche conservative.

Tab. 2.9: coefficienti

La tabella 2.9 indica i valori dei coefficienti ai calcolati per Aeq e dimensione di

fessura costanti. Lo scopo finale di questo studio è inserire la dipendenza da questi parametri nella formulazione proposta in (2.7)

Figura 2.17: andamento del coefficiente a1in funzione della dimensione di fessura

6 = eq A a=24 a=18 a=15 a=12 a=9 1 a 0.1279 0.0788 0.0574 0.0344 0.0157 2 a -0.1040 -0.0595 -0.0410 -0.0230 -0.0098 3 a -0.0804 -0.0657 -0.0583 -0.0456 -0.0289

(15)

______________________________________________________________________

Le figure da 2.17 a 2.19 evidenziano la tipologia quadratica dell’andamento dei coefficienti ai rispetto alla dimensione di fessura.

(16)

______________________________________________________________________

Figura 2.20: andamento del coefficiente a1con approssimazione lineare

Accettando una approssimazione lineare per i 3 coefficienti della relazione (2.7) è possibile riepilogare la dipendenza dei coefficienti stessi dalla dimensione di fessura per il caso Aeq =6 con le relazioni

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⋅ − = + ⋅ − = − ⋅ = 0039 , 0 0033 , 0 0514 , 0 0063 , 0 0545 , 0 0075 , 0 3 2 1 a a a a a a (2.8)

Ripetendo il procedimento per i valori di Aeq 9 e 12 si ottiene:

Tab. 2.10: coefficienti Tab. 2.11: coefficienti 9 = eq A a=24 a=18 a=15 a=12 a=9 1 a 0.1521 0.0993 0.0690 0.0413 0.0193 2 a -0.1250 -0.0765 -0.0503 -0.0282 -0.0125 3 a -0.0977 -0.0831 -0.0706 -0.0552 -0.0352 12 = eq A a=24 a=18 a=15 a=12 a=9 1 a 0.1694 0.1108 0.0767 0.0459 0.0212 2 a -0.1404 -0.0865 -0.0566 -0.0318 -0.0140 3 a -0.1110 -0.941 -0.0799 -0.0623 -0.0400

(17)

Capitolo 2 Irrigidimento integro ______________________________________________________________________ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⋅ − = + ⋅ − = − ⋅ = 0043 , 0 0041 , 0 0609 , 0 0077 , 0 0642 , 0 009 , 0 3 2 1 a a a a a a (2.9) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⋅ − = + ⋅ − = − ⋅ = 0046 , 0 0047 , 0 0684 , 0 0086 , 0 0719 , 0 01 , 0 3 2 1 a a a a a a (2.10)

Facendo riferimento al caso Aeq =6 si valuta l’espressione analitica con insita la dipendenza da Aeq:

( )

(

)

(

)

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⋅ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − 1 0039 , 0 0033 , 0 0514 , 0 0063 , 0 0545 , 0 0075 , 0 10 01 , 0 2 0 h x eq B e h x h x a A f K K (2.11) dove f

( )

A_eq =1 per A_eq =6. Sarà poi:

( )

1,1883 0039 , 0 0033 , 0 0514 , 0 0063 , 0 0545 , 0 0075 , 0 0043 , 0 0041 , 0 0609 , 0 0077 , 0 0642 , 0 009 , 0 9 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = A eq A f (2.12)

( )

1,3254 0039 , 0 0033 , 0 0514 , 0 0063 , 0 0545 , 0 0075 , 0 0046 , 0 0047 , 0 0684 , 0 0086 , 0 0719 , 0 01 , 0 12 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = A eq A f (2.13)

che graficato fornisce in output

(18)

______________________________________________________________________

Accettando un’approssimazione lineare è infine 6832 , 0 0542 , 0 ) (A_eq = ⋅A_eq + f (2.14)

L’espressione analitica per il corrente integro è infine:

(

)

(

)

(

)

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − 1 39 , 0 33 , 0 14 , 5 63 , 0 45 , 5 75 , 0 01 , 0 6832 , 0 0542 , 0 10 01 , 0 2 0 h x eq B e a h x a h x a A K K (2.15)

(19)

______________________________________________________________________

2.3 VALUTAZIONE

DELL’ERRORE

Si valuta l’errore commesso calcolando il valore di KB K0 dalla relazione (2.15)

rispetto al dato ricavato con il metodo FEM.

In appendice III la tabella 2.12 riassuntiva dell’errore commesso con l’introduzione della formulazione analitica rispetto al dato FEM.

Figura 2.22: scostamento dei valori del K calcolati con la relazione (2.15) rispetto al valore ottenuto con metodo FEM

E’ evidente dai risultati ottenuti e dal confronto tra il dato analitico ed il dato ottenuto al calcolatore con il metodo FEM che l’espressione individuata è ottimamente rappresentativa del modello proposto. Come ci aspettavamo il dato è più impreciso per quelle posizioni del corrente (tipicamente x=3l,

corrispondente geometricamente al corrente posizionato esternamente alla fessura) corrispondenti alla zona di “transizione” tra il comportamento quadratico e quello esponenziale.

L’espressione è quindi utilizzabile con corrente in posizione interna rispetto all’estensione della fessura e mantiene un buon comportamento nella zona di transizione tra l’andamento quadratico e quello esponenziale (corrente posizionato esternamente alla fessura). Grazie all’equivalenza delle aree, la (2.15) risulta indipendente dalla geometria della sezione.