Tensore di inerzia e traslazioni ? ? ?

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6.4. TENSORE DI INERZIA E TRASLAZIONI? ? ?

PROBLEMA 6.4

Tensore di inerzia e traslazioni ? ? ?

Supponendo noto il tensore di inerzia di un corpo rispetto al suo centro di massa, calcolare quello di un corpo identico traslato di~a.

Soluzione

Le componenti del tensore di inerzia riferito al centro di massa si scrivono nella forma I_cm^ab =

∑

i

m_i

r²_iδ^ab−^r^air^b_i .

Con una traslazione definiamo un nuovo sistema di coordinate con origine in−~^a

~u_i = ~r_i+~a e sostituendo abbiamo

I_cm^ab =

∑

i

m_ih

(~u_i+~a)²δâb− (ûiâ+aâ)u^b+a^bi ossia

I_cm^ab =

∑

i

m_ih

u²_i +a²−²~u_i·~â^δâb−ûiâu^b_i +aâa^b−ûâia^b−ââû^bi

i . Separando i diversi termini abbiamo

I_cm^ab =

∑

i

m_ih

u²_iδâb−ûâiu^b_ii

−

"

2δ^ab~a·

∑

i

m_i~u_i− ^a^b

∑

i

m_iu^a_i +a^a

∑

i

m_iu^b_i

!#

+^ha²δâb−âââ^bⁱ

∑

i

m_i e tenendo conto che

∑

i

m_i~u_i = ~u_CM = ~a

∑

i

m_i = M abbiamo

I_cm^ab =

∑

i

m_ih

u²_iδâb−ûâiu^b_ii

−^2M^hâ²^δâb−âââ^bⁱ +Mh

a²δâb−âââ^bⁱ^.

453 versione del 22 marzo 2018

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6.4. TENSORE DI INERZIA E TRASLAZIONI? ? ?

Riassumendo abbiamo

I^ab = I_cm^ab +Mh

a²δâb−âââ^bⁱ

454 versione del 22 marzo 2018