1 p1 + z2+ 2%z X + zY
[Sugg.: non `e necessario applicare la formula del cambio di variabili!] Sia ora Z una variabile aleatoria reale indipendente da (X, Y

Laurea Magistrale in Matematica 2014/15 Nome:

14 Luglio 2015 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Sia (X, Y ) un vettore gaussiano in R² con E(X) = E(Y ) = 0, E(X²) = E(Y²) = 1 e E(XY ) = % ∈ (−1, 1).

(a) Fissato il parametro z ∈ R, si determini la legge della variabile aleatoria U (z) definita da

U (z) := 1

p1 + z²+ 2%z X + zY
[Sugg.: non `e necessario applicare la formula del cambio di variabili!]

Sia ora Z una variabile aleatoria reale indipendente da (X, Y ), con densit`a f_Z(z) = e^−z1_[0,∞)(z).

Definiamo la variabile aleatoria

V := U (Z) = X + Y Z p1 + Z²+ 2%Z

(b) Si determini la legge condizionale di V data Z, mostrando che µ_{V |Z}(dv|z) = f (v) dv per un’opportuna densit`a f su R.

(c) Si dia un’espressione per E[ϕ(V, Z)], con ϕ : R² → R misurabile e limitata, e si deduca la legge congiunta di (V, Z). Le variabili aleatorie V e Z sono indipendenti?

Soluzione 1. (a) U (z) `e normale perch´e combinazione lineare delle componenti di un vettore gaussiano. La media `e nulla mentre la varianza vale

Var[U (z)] = Cov[U (z), U (z)] = Cov[X, X] + z²Cov[Y, Y ] + 2z Cov[X, Y ]

1 + z²+ 2%z = 1 ,

quindi U (z) `e normale standard: U (z) ∼ N (0, 1).

(b) Osserviamo che V = U (Z) = f ((X, Y ), Z) con f ((x, y), z) := x + yz

p1 + z²+ 2%z.

Dato che Z `e indipendente da (X, Y ), per un risultato visto a lezione la legge condizionale µ<sub>V |Z</sub>(·|z) non `e altro che la legge di f ((X, Y ), z) = U (z), ossia per il punto precedente `e la legge normale standard. In definitiva

µ_{V |Z}(dv|z) = e^−12v2

√

2π dv . (c) Per caratterizzazione della legge condizionale

E[ϕ(V, Z)] = Z

R

Z

R

ϕ(v, z) µ_{V |Z}(dv|z)



µ_Z(dz) = Z

R²

ϕ(v, z)e^−12v2

√2π e^−z1_[0,∞)(z) dv dz . Ci`o mostra che il vettore (V, Z) ha densit`a congiunta f_(V,Z)(v, z) = ^{e− 1√2v2}

2π e^−z1_[0,∞)(z), che non `e altro che il prodotto della densit`a normale standard (per V ) con quella esponenziale di parametro 1 (per Z). Quindi V ∼ N (0, 1) e Z ∼ Exp(1) sono indipendenti.

Enunciamo le seguenti disuguaglianze elementari (la cui dimostrazione non `e richiesta):

e^αx≤ 1

2(1 − x)e^−α+1

2(1 + x)e^α ∀x ∈ [−1, 1], α ≥ 0 (?) 1

2 e^−α+ e^α
≤ e^12α2 ∀α ≥ 0. (×)

Esercizio 2. Fissiamo uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P).

(a) Sia Z una variabile aleatoria reale integrabile, tale che P(|Z| ≤ 1) = 1, e sia G ⊆ A una σ-algebra tale che E[Z|G] = 0. Si spieghi perch´e

E[e^αZ| G] ≤ e^12α2, ∀α ≥ 0 .

Consideriamo ora una martingala X = (Xn)_n∈Nrispetto a una filtrazione (Fn)_n∈N. Osserviamo che l’insieme degli indici `e costituito dai numeri naturali N = {1, 2, 3, . . .}, e poniamo

µ := E[X₁] .

(c) Si mostri che, definendo X0 := µ e F0 := {∅, Ω}, si ottengono una filtrazione (Fn)_n∈N0 e una martingala X = (X_n)_n∈N0 indicizzate da N0 = {0, 1, 2, . . .}.

D’ora in avanti facciamo l’ipotesi che per ogni n ∈ N esista una costante cn∈ [0, ∞) tale che

|X_n− X_n−1| ≤ c_n, ossia l’incremento n-esimo della martingala `e limitato da c_n.

(c) Si mostri che per ogni n ∈ N

E[e^{λ(Xn−Xn−1)}| F_n−1] ≤ e^12λ2c2n, ∀λ ≥ 0 . (d) Si mostri (ad esempio per induzione) che per ogni n ∈ N

E[e^λ(Xn−µ)] ≤ e^λ2

Pn i=1 c2

i

2 , ∀λ ≥ 0 . (e) Si mostri che per t ≥ 0

P[X_n− µ ≥ t] ≤ exp



−λt + λ² Pn

i=1c²_i 2



, ∀λ ≥ 0 . (f) Si deduca che vale la seguente disuguaglianza di concentrazione:

P[|Xn− E[X_n]| ≥ t] ≤ 2 exp



− t² 2Pn

i=1c²_i

 . [Sugg. Si scelga un opportuno valore di λ nel punto precedente.]

Soluzione 2. (a) Dato che |Z| ≤ 1 per ipotesi, possiamo applicare (?) e la linearit`a e monotonia della speranza condizionale, ottenendo:

E[e^αZ| G] ≤ e^−α

2 E[1 − Z | G] +e^α

2 E[1 + Z | G] = e^−α 2 +e^α

2 ≤ e^12α2, dove negli ultimi passaggi abbiamo usato E[Z|G] = 0 e (×).

(b) Le propriet`a Xn ∈ L<sup>1</sup> e “Xn `e Fn-misurabile” valgono anche per n = 0, essendo X0 = µ una costante. Resta da mostrare che E[X_n+1|F_n] = X_n anche per n = 0, ma essendo F₀ la σ-algebra banale, si ha E[ · | F0] = E[ · ] e dunque E[X1|F₀] = E[X1] = µ = X0.

(c) Basta applicare il punto precedente a Z := (Xn−X_n−1)/cne G = Fn−1, notando che |Z| ≤ 1 perch´e |X_n− X_n−1| ≤ c_n e E[Z|G] = E[X_n− X_n−1|F_n−1] = 0 perch´e X `e martingala.

(d) Il caso n = 1 `e esattamente il punto precedente. Assumendo la formula vera per n ∈ N, dimostriamola per n + 1. Scrivendo X_n+1= (X_n+1− X_n) + X_n si ottiene

E[e^λ(Xn−µ)] = E[e^{λ(Xn−Xn−1)}e^{λ(Xn−1−µ)}] = E E[e^{λ(Xn−Xn−1)}e^{λ(Xn−1−µ)}| F_n−1] ,

avendo usato la propriet`a di “torre” della speranza condizionale. Ma e<sup>λ(Xn−1−µ)</sup> `e F_n−1- misurabile, pertanto

E[e^λ(Xn−µ)] = Ee^{λ(Xn−1−µ)}E[e^{λ(Xn−Xn−1)}| F_n−1] , e usando il punto precedente e l’ipotesi induttiva si ottiene

E[e^λ(Xn−µ)] ≤ e^12λ2c2n+1Ee^{λ(Xn−1−µ)}] ≤ e^12λ2c2n+1e^λ2

Pni=1 c2 i 2 = e^λ2

Pn+1 i=1 c2i

2 ,

che `e quanto dovevasi dimostrare.

(e) Basta notare che X_n− µ ≥ t se e solo se e^λ(Xn−µ) ≥ e^λt e applicare la disuguaglianza di Markov: per il punto precedente

P[Xn− µ ≥ t] = P[e^λ(Xn−µ) ≥ e^λt] ≤ E[e^λ(Xn−µ)] e^λt ≤ e^λ2

Pn i=1 c2

i 2

e^λt = exp



−λt + λ² Pn

i=1c²_i 2

 (f) La disuguaglianza del punto precedente vale per ogni λ ≥ 0. Il valore ¯λ ottimale `e quello

che minimizza il membro destro, o equivalentemente l’argomento dell’esponenziale, che `e un polinomio di secondo grado in λ. Derivando tale espressione e ponendola uguale a zero si ottiene

−t + ¯λ

n

X

i=1

c²_i

!

= 0 , ossia λ =¯ t Pn

i=1c²_i .

Sostituendo questo valore nella disuguaglianza, essendo E[X_n] = E[X₁] = µ, si ottiene P[X_n− µ ≥ t] = P[X_n− E[X_n] ≥ t] ≤ exp



−¯λt + ¯λ² Pn

i=1c²_i 2



= exp



− t² 2P_n

i=1c²_i

 . Infine notiamo che P[|X_n− µ| ≥ t] = P[X_n− µ ≥ t] + P[X_n− µ ≤ −t]. Dato che −X `e ancora una martingala, si ha per quanto appena mostrato

P[X_n− µ ≤ −t] = P[(−X_n) − (−µ) ≥ t] ≤ exp



− t² 2Pn

i=1c²_i



e sommando le due disuguaglianze si ottiene il fattore moltiplicativo 2 che compare nella relazione da dimostrare.

Esercizio 3. Sia B = (Bt)t≥0 un moto browniano definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P).

Dati 0 ≤ s < t < u, definiamo le variabili aleatorie Xs,u:= s(Bu− B_s) ,

Y_s,t,u:= X_s,t+ X_t,u = s(B_t− B_s) + t(B_u− B_t) , D_s,t,u:= Y_s,t,u− X_s,u.

(a) Si determini la legge di D_s,t e si mostri che

Var[Ds,t] = (t − s)²(u − t) . Introduciamo per n ∈ N la variabile aleatoria

In:=

2ⁿ−1

X

k=0

tⁿ_k Btⁿ_k+1− B_tⁿ

k
, dove tⁿ_k := k 2ⁿ. (b) (*) Dopo aver notato che si pu`o scrivere

I_n=

2ⁿ−1

X

k=0

X_tⁿ

k,tⁿ_k+1 =

2ⁿ−1

X

k=0

X_tn+1

2k ,tⁿ⁺¹_2k+2, ()

si mostri che

I_n+1− I_n=

2ⁿ−1

X

k=0

Γⁿ_k, avendo posto Γⁿ_k := D_tⁿ⁺¹

2k ,tⁿ⁺¹_2k+1,tⁿ⁺¹_2k+2. (c) Si spieghi perch´e, per n ∈ N fissato, le variabili (Γⁿ_k)0≤k≤2ⁿ−1 sono indipendenti.

(d) Si mostri che Var[In+1− I_n] = ₂2n+3¹ .

(e) Si deduca che (In)_n∈N `e di Cauchy —e dunque converge— in L².

Facoltativo: che cosa si pu`o dire sulla legge della variabile aleatoria limite I∞= lim_n→∞I_n?

Soluzione 3. (a) Si noti che

Ds,t,u= s(Bt− B_s) + t(Bu− B_t) − s(Bu− B_s) = (t − s)(Bu− B_t). (1) Dato che Bu − B_t ∼ N (0, u − t) per definizione di moto browniano, segue che D_s,t,u ∼ N (0, (t − s)²(u − t)). In particolare, Var[Ds,t,u] = (t − s)²(u − t).

(b) La prima uguaglianza in () vale per definizione di In e Xs,u. Notando che tⁿ_k = tⁿ⁺¹_2k e tⁿ_k+1= tⁿ⁺¹_2k+2 si ottiene la seconda uguaglianza in ().

Raggruppiamo ora a due a due i termini nell’espressione di In+1, scrivendo I_n+1= X_tⁿ⁺¹

0 ,tⁿ⁺¹₁ + X_tⁿ⁺¹

1 ,tⁿ⁺¹₂
+ X_tⁿ⁺¹

2 ,tⁿ⁺¹₃ + X_tⁿ⁺¹

3 ,tⁿ⁺¹₄
+ . . .

= Y_tⁿ⁺¹

0 ,tⁿ⁺¹₁ ,tⁿ⁺¹₂
+ Y_tn+1

2 ,tⁿ⁺¹₃ ,tⁿ⁺¹₄
+ . . . , avendo usato la definizione di Y_s,t,u. In modo compatto:

In+1=

2ⁿ−1

X

k=0

Y_tⁿ⁺¹

2k ,tⁿ⁺¹_2k+1,tⁿ⁺¹_2k+2

e facendo la differenza con la prima uguaglianza in () si ottiene In+1− I_n=

2ⁿ−1

X

k=0

Y_tⁿ⁺¹

2k ,tⁿ⁺¹_2k+1,tⁿ⁺¹_2k+2 − X_tn+1

2k ,tⁿ⁺¹_2k+2
=

2ⁿ−1

X

k=0

D_tⁿ⁺¹

2k ,tⁿ⁺¹_2k+1,tⁿ⁺¹_2k+2.

(c) Applicando (1) possiamo scrivere Γⁿ_k = D_tⁿ⁺¹

2k ,tⁿ⁺¹_2k+1,tⁿ⁺¹_2k+2 = (tⁿ⁺¹_2k+1− tⁿ⁺¹_2k )(B_tⁿ⁺¹

2k+2

− B_tn+1

2k+1) = 1

2ⁿ⁺¹(B_tⁿ⁺¹

2k+2

− B_tn+1 2k+1) ,

ed avendo il moto browniano incrementi indipendenti sugli intervalli disgiunti (tⁿ⁺¹_2k+1, tⁿ⁺¹_2k+2), segue l’indipendenza delle Γⁿ_k.

(d) Per i punti precedenti Var[In+1− I_n] =

2ⁿ−1

X

k=0

Var[Γⁿ_k] =

2ⁿ−1

X

k=0

Var[D_tⁿ⁺¹

2k ,tⁿ⁺¹_2k+1,tⁿ⁺¹_2k+2]

=

2ⁿ−1

X

k=0

(tⁿ⁺¹_2k+1− tⁿ⁺¹_2k )²(tⁿ⁺¹_2k+2− tⁿ⁺¹_2k+1) =

2ⁿ−1

X

k=0

 1 2ⁿ⁺¹

2

1 2ⁿ⁺¹ =

2ⁿ−1

X

k=0

1

2³ⁿ⁺³ = 1 2²ⁿ⁺³. (e) Per il punto precedente, dati n₀ ≤ ` ≤ m,

kI_m− I_`k_L2 =

m−1

X

n=`

(In+1− I_n) L²

≤

m−1

X

n=`

kI_n+1− I_nk_L2 =

m−1

X

n=`

pVar[In+1− I_n]

≤

∞

X

n=n0

1

2ⁿ⁺³² = 1 2ⁿ⁰⁺³²

∞

X

k=0

1

2^k = 1 2ⁿ⁰⁺¹² ,

da cui segue che (In)_n∈N `e di Cauchy in L<sup>2</sup> (per ogni ε > 0 basta scegliere n0 = n0(ε) ∈ N sufficientemente grande, cos`ı che ¹

2ⁿ⁰⁺¹² < ε, e si ha kI_m− I<sub>`</sub>k<sub>L</sub>2 ≤ ε per m, ` ≥ n₀).