Teoria della relatività-3

Teoria della relatività-3

19 dicembre 2014

Trasformazione della velocità

La velocita` della luce come velocita` limite Invarianza della velocita` della luce

Trasformazione dell’accelerazione Effetto Doppler

Trasformazione della velocità

• La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di

riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a percorrerlo

• In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono

y y’

dt

r u d 

  '

' '

dt r u d 

 

333

Trasformazione della velocità

• Calcoliamo la trasformazione della velocità per componenti

• Sia u

la componente della velocità u di un corpo lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore u

’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel sistema S’

• Differenziando le eqq. di trasformazione



dt'   dt  v

c

dx



  

 



dx'    dx  vdt 

Trasformazione della velocità

• Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità

2 2

2

1 1

' ' '

c vu

v u

dt c dx

v

v dt

dx c dx

dt v

vdt dx

dt u dx

x x

x



 



 



 



555

La somma di due velocità minori di c è minore di c

• Dimostriamolo nel caso particolare in cui v e c siano paralleli a x

• Se -c < v < c , -c < u_x < c, allora anche -c < u_x’ < c

• Infatti, se -c < v < c, u_x’ è funzione crescente di u_x , e quindi assumera` un valore minore di quello assunto per u_x=c, che vale

• e maggiore di quello assunto per u_x=-c, che vale

 

c vc

v

u_x c





  1

' sup

 

c vc

v

u_x c

 





  1

'

inf

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali

• Questo risultato deve ovviamente valere se la teoria e` consistente

• Nel caso il corpo in moto sia sostituito da un raggio di luce in verso positivo u_x = c o negativo u_x = -c

otteniamo che nel sistema S’ la velocita` del raggio luminoso e` uguale agli estremi appena trovati

 

c

'  sup

' 

^{'  inf}  

^{'  }

777

Trasformazione della velocità

• Sia u

la componente della velocità u di un corpo lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore u

’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel sistema S’

• Differenziando le eqq. di trasformazione



dt'   dt  v

c

dx



  

 



dy'  dy

Trasformazione della velocità

• Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità

• E similmente per la componente lungo z u

'  dy'

dt'  dy

 dt  v

c

dx



  

 

 dy dt

 1  v

c

dx dt



  

 

 u

 1  vu

c



  

 

999

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali

• Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e`

diretta lungo y, allora

• In S’ le componenti saranno

• E il modulo della velocita`

 ^{c , c , c}   ^{0 , c , 0} 

c  

 '

,' ,'

x

c c

c

v v c

vc v c c

x x

x  



 



 

0 1 0 1

'

2

 

 

c c

c vc c c

x y

y 

 



 

 

 1 1 0

'

2

1 0 ⁰

0 1

'

2

 





 

 

  

c vc c c

x z z

    ^{ }      

c c v

v c

v c

c c

c _{x y z}  



 

 

















 ' ² ' ² ' ^{2 2 2} 0 ^{2 2 2} 1 ₂²

' 

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali

• Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale verificando la relazione

• inserendo nella formula le componenti della velocita` nel sistema S’

    ^{c '}

 ^c

^'

   ^c

^'

 ^{  c}

^'

 ^c

 ^c

 ^c

 ^c

11 11 11

Trasformazione dell’accelerazione

• Si possono trovare le eqq. di trasformazione dell’accelerazione partendo dalle definizioni

 

3 2 3

3 2 2

2

2 2

1

1 1

1 1

' ' '

' '

' '



 

 



 



 

 



   



 

 



 



 

 



















 







c v u a

c v u c

v dt v du c u

v u dt

du

c v u c

v u

v u

dt d dt

dt dt

du dt

dt dt du dt

a du

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x







Trasformazione dell’accelerazione

• E analogamente per le componenti y e z

3 2 2

2

2 2

1 1 1

1 1

' ' '

' '

 



 

 



 



 



 

 



 



 

 



















 

 







c v u c

v dt u du c

v u dt

du

c v u c

v u u dt

d dt

dt dt

du dt

a du

x x

y y x

x x

y y

y y

 





13 13

Effetto Doppler per onde e.m.

• Sia dato un SdRI S in cui una sorgente a riposo emette un’onda e.m. piana monocromatica F(,t) di lunghezza d’onda  e periodo T

• che si propaga nella direzione  di una retta che giace nel piano xy e forma un’angolo  con l’asse x



F

 

 ^ t T



 





 



z

x y



 • La relazione tra , x e y è

• Inoltre la velocità della luce si può esprimere come



  x cos   y sin 

S



c   T

Effetto Doppler per onde e.m.

• Nel sistema S’, in moto con velocità v lungo x rispetto a S, l’onda avrà lunghezza d’onda ’, periodo T’ e

forma

• ove ’ è dato da

• Inoltre la velocità della luce si può esprimere come

 



 



 



 



 

 '

' '

2 ' sin ' '

,'

' T

A t t

F



 



y



 '  x'cos  ' y'sin  '

y’ '

c   ' T'

15 15

Effetto Doppler per onde e.m.

• Applichiamo le trasformazioni di Lorentz alla fase (divisa per 2) di F’ nel sistema S’

• Questa espressione deve coincidere con la fase (divisa per 2) dell’onda F nel sistema S, perche’ la fase non dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata

• Possiamo quindi uguagliare i termini omologhi nelle due espressioni

   

' ' sin '

1 '

' cos '

1 '

' cos

' '

' sin '

cos '

' '

' sin ' '

cos '

2

2







 



 

















T y t v

T c x v

T

c x v t

y vt

x T

t y

x

 



 



 

 



 



 



 

 

 

 

Effetto Doppler per onde e.m.

• Otteniamo



 



 







 



 



' 1 '

' cos 1

' ' sin sin

' 1 '

' cos cos

2

T v

T

T c

v



 











 





• Dal rapporto delle prime due eqq. ricaviamo la

relazione tra gli angoli di

propagazione dell’onda nei 



 



 





 



 



c v T

c tg v

' cos

' sin '

' ' cos

' sin

2  



 



 

17 17

Effetto Doppler per onde e.m.

• L’ultima eq. ci dà la relazione tra le frequenze (f=1/T) nei due sistemi

• e tra le lunghezze d’onda

• Le relazioni inverse sono



f

 

 ' cos  '  f '



  

  

c f 'cos

 '  f '



  

  f '  1 

c

cos  '



  

 

 

 

  

  1 cos 

' c

f v f

 

 

  



' cos 1

'





 

c v

 

 

  







 

cos 1

'

c

v

Effetto Doppler per onde e.m.

• Per (il SdR si muove nello stesso verso dell’onda)

• Per (il SdR si muove in

 0





 

v f c

v f c

c v

c f v

c f v

f 



 



 



 

 

 1

1 1

'  Spostamento “verso il rosso”

z’

x’

y’

v

x’

y’

19 19

Effetto Doppler trasverso

• Confrontando questa espressione con quella ottenuta nel caso classico

• troviamo una perfetta corrispondenza per piccole velocità ( )

• Una notevole differenza si ha a grandi velocità per per cui classicamente ma

relativisticamente (effetto Doppler trasverso)

 

 

  



1 cos  V

f v f



 1



   2



f  f



f '  f 