Prova Parziale di Matematica C Cognome:
Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:
13 maggio 2008 Matricola:
Tema B
Esercizio 1. La lampadina della mia scrivania si `e bruciata e devo sostituirla. Ho a disposizione due diverse lampadine: la lampadina A ha una durata X (espressa in anni) assolutamente continua con densit`a
fX(x) :=
0 se x ≤ 2
C
(x − 1)2 se 2 < x < 5
0 se x ≥ 5
,
dove C `e un’opportuna costante positiva, mentre la lampadina B ha una durata Y distribuita uniformemente sull’intervallo (2, 4).
a) Si determini il valore di C e si calcolino le probabilit`a P (X < 3) e P (Y < 3).
Chiedo alla mia sorellina di passarmi una lampadina. Lei decide di procedere nel modo seguente:
tira due volte una moneta equilibrata: se esce croce entrambe le volte mi passa la lampadina A, altrimenti mi passa la lampadina B.
b) Qual `e la probabilit`a che la lampadina che mi `e stata data duri meno di 3 anni?
c) Se la lampadina che mi `e stata data dura pi`u di 3 anni, qual `e la probabilit`a che la mia sorellina mi abbia passato la lampadina A?
Soluzione 1. a) La costante C `e determinata imponendo la normalizzazione 1 =
Z +∞
−∞
fX(x) dx = Z 5
2
C
(x − 1)2 dx = C
−1 x − 1
5 2
= C3
4 =⇒ C = 4
3. Le probabilit`a richieste valgono
P (X < 3) = Z 3
−∞
fX(x) dx = 4 3
Z 3 2
1
(x − 1)2dx = 4 3
−1 x − 1
3 2
= 2 3, P (Y < 3) =
Z 3
−∞
fY(y) dy = Z 3
2
1
2dy = 1 2. b) Introduciamo gli eventi
A := “mi viene passata la lampadina A” , F := “la lampadina dura meno di 3 anni” . Sappiamo che P (A) = 14, mentre dai risultati del punto a)
P (F |A) = 2
3, P (F |Ac) = 1 2. Applicando dunque la formula delle probabilit`a totali otteniamo
P (F ) = P (F |A) P (A) + P (F |Ac) P (Ac) = 2 3
1 4 + 1
2 3
4 = 13 24.
c) Dato che P ( · |A) `e una probabilit`a, abbiamo che P (Fc|A) = 1 − P (F |A) = 1
3, quindi applicando la formula di Bayes
P (A|Fc) = P (Fc|A) P (A) P (Fc) =
1 3
1 4
1 −1324 = 2 11.
Esercizio 2. In ogni estrazione del Lotto sulla ruota di Venezia vengono scelti casualmente 5 numeri distinti tra 1 e 90. Sappiamo che alla scorsa estrazione Marina ha giocato l’ambo sui numeri 12 e 49, mentre Matteo ha giocato l’ambo sui numeri 23 e 49. (Giocando l’ambo si vince se, tra i 5 numeri estratti, compaiono entrambi i numeri giocati.)
a) Qual `e la probabilit`a p che Marina abbia vinto? Qual `e la probabilit`a q che abbiano vinto entrambi?
b) Sapendo che Marina non ha vinto, qual `e la probabilit`a che Matteo abbia vinto?
c) Si stimi la probabilit`a che nelle prossime 10000 estrazioni Marina vinca pi`u di 30 volte, sempre giocando l’ambo sui numeri 12 e 49 (si applichi la correzione di continuit`a, esprimendo il risultato in termini della funzione di ripartizione Φ(·) della distribuzione normale standard).
Soluzione 2. Introduciamo gli eventi
A := “Marina ha vinto” B := “Matteo ha vinto” . a) Le probabilit`a cercate valgono
p = P (A) =
88 3
90 5
= 5 · 4
90 · 89 = 2
801 ≈ 0.0025 , q = P (A ∩ B) =
87 2
90 5
= 5 · 4 · 3
90 · 89 · 88 = 1
11748 ≈ 8.5 · 10−5. b) La probabilit`a cercata vale
P (B|Ac) = P (B ∩ Ac) P (Ac) =
87 3/ 905
1 − 883/ 905 = 85
44 · 799 ≈ 0.024
c) Il numero di volte X che Marina vincer`a nelle prossime 10000 estrazioni `e una varia- bile aleatoria B(10000, p) con p = 2/801 ≈ 0.025 calcolata al punto a). Applicando la correzione di continuit`a e l’approssimazione normale si ottiene
P (X > 30) = P (X > 30.5) = P
X − 100008012 q
100008012 799801
≥ 30.5 − 100008012 q
100008012 799801
= 1 − Φ(x) , dove
x = 30.5 − 100008012 q
100008012 799801
≈ 1.11 .
Esercizio 3. Si enunci e si dimostri il legame tra la densit`a discreta congiunta e le densit`a discrete marginali per due variabili aleatorie discrete X, Y indipendenti.
