ATTIVIT `A 10

ATTIVIT ` A 10

Calcolare i seguenti integrali riconducendoli a integrali immediati 1.

Z dx x log(4x) 2.

Z

sinh x(2 + sinh ² x cosh ³ x) dx 3.

Z x

p 1 + 2x ⁴ dx

Calcolare i seguenti integrali di espressioni razionali

4.

Z x 1

x ² 5x + 6 dx 5.

Z x

x ² + 4x + 6 dx 6.

Z x + 3

x ³ x ² x + 1 dx

Calcolare i seguenti integrali utilizzando la regola di integrazione per parti e/o per sostituzione

7.

Z

x log(1 + x) dx 8.

Z

x ² arctan _x ¹ dx

9.

Z e ^x + 1 p e ^x 1 dx

10.

Z

(2 x) ^p x ² 4x + 3 dx

Per calcolare i precedenti integrali occorrer` a ricordare i seguenti integrali immediati

• Z

f (x) ^↵ f ⁰ (x) dx = ^{f (x)} _↵+1

+ c, ↵ 6= 1

•

Z f

(x)

f (x) dx = log |f(x)| + c

• Z

e ^{f (x)} f ⁰ (x) dx = e ^{f (x)} + c

• Z

sin(f (x))f ⁰ (x) dx = cos(f (x)) + c

• Z

cos(f (x))f ⁰ (x) dx = sin(f (x)) + c

•

Z f

(x)

cos

(f (x)) dx = tan(f (x)) + c

• Z

sinh f (x)f ⁰ (x) dx = cosh(f (x)) + c

• Z

cosh f (x)f ⁰ (x) dx = sinh(f (x)) + c

•

Z f

(x)

1+f (x)

dx = arctan(f (x)) + c

•

Z p f

(x)

1 f (x)

dx = arcsin(f (x)) + c

•

Z p f

(x)

f (x)

+1 dx = settsinh (f (x)) + c = log(x + ^p x ² + 1) + c

•

Z p f

(x)

f (x)

1 dx = settcosh (f (x)) + c = log(x + ^p x ² 1) + c

RISOLUZIONE 1. Possiamo calcolare

Z dx

x log(4x) osservando che D(log(4x)) = ¹ _x . Riconosciamo quindi un integrale della forma

Z f

(x)

f (x) dx = log |f(x)| + c e dunque otteniamo immediatamente Z dx

x log(4x) = log | log(4x)| + c

2. Calcoliamo Z

sinh x(2 + sinh ² x cosh ³ x) dx. A tale scopo ricordiamo che sinh ² x = cosh ² x 1 per ogni x 2 R e dunque

Z

sinh x(2 + sinh ² x cosh ³ x) dx = Z

sinh x(1 cosh ² x cosh ³ x) dx Dato che D(cosh x) = sinh x, otteniamo

Z

sinh x(2 + sinh ² x cosh ³ x) dx = Z

sinh x(1 cosh ² x cosh ³ x) dx

= Z

sinh x dx Z

sinh x cosh ² x dx Z

sinh x cosh ³ x dx

= cosh x ¹ ₃ cosh ³ x ¹ ₄ cosh ⁴ x + c

3. Per calcolare

Z x

p 1 + 2x ⁴ dx osserviamo che 2x ⁴ = ( p

2x ² ) ² e che D( p

2x ² ) = 2 p

2x. Possiamo quindi riscrivere l’integrale come

Z x

p 1 + 2x ⁴ dx = 1 2 p

2

Z 2 p 2 1 + ( p

2x ² ) ² dx Riconosciamo quindi un integrale della forma

Z p f

(x)

f (x)

+1 dx = settsinh (f (x)) + c = log(x + p x ² + 1) + c e dunque

Z x

p 1 + 2x ⁴ dx = 1 2 p

2

Z 2 p 2 1 + ( p

2x ² ) ² dx

= ¹

2 p

2 settsinh ( p

2x ² ) + c = ¹

2 p

2 log ^Ä p

2x ² + ^p 2x ⁴ + 1 ^ä + c

4. Per determinare

Z x 1

x ² 5x + 6 dx osserviamo che x ² 5x + 6 = (x 3)(x 2) e che risulta

x 1

x ² 5x + 6 = A

x 3 + B

x 2 = A(x 2) + B(x 3)

(x 3)(x 2) = (A + B)x 2A 3B x ² 5x + 6 per A = 2 e B = 1. Ne segue che

Z x 1

x ² 5x + 6 dx = Z 2

x 3 1

x 2 dx = 2 log |x 3 | log |x 2 | + c

5. Per calcolare

Z x

x ² + 4x + 6 dx osserviamo che x ² + 4x + 6 = (x + 2) ² + 2 = 2 ^{Å⇣ x+2} p 2

⌘ 2

+ 1 ã

e quindi

Z x

x ² + 4x + 6 dx = ¹ ₂

Z 2x + 4 x ² + 4x + 6

4

x ² + 4x + 6 dx

= ¹ ₂ log(x ² + 4x + 6)

Z 1

⇣ x+2 p 2

⌘ 2

+ 1 dx

= ¹ ₂ log(x ² + 4x + 6) p ¹ 2

Z p ¹

⇣ 2 x+2 p

2

⌘ 2

+ 1 dx

= ¹ ₂ log(x ² + 4x + 6) ^{p 1}

2 arctan ^{x+2 p}

2 + c 6. Per calcolare

Z x + 3

x ³ x ² x + 1 dx osserviamo innanzitutto che x ³ x ² x + 1 = (x 1) ² (x + 1) Determiniamo quindi A, B, C 2 R tali che

x + 3

x ³ x ² x + 1 = A

x 1 + B

(x 1) ² + C

x + 1 = A(x 1)(x + 1) + B(x + 1) + C(x 1) ² (x 1) ² (x + 1)

= x ² (A + C) + x(B 2C) A + B + C x ³ x ² x + 1

Si ottiene A = ¹ ₂ , B = 2 e C = ¹ ₂ e quindi

Z x + 3

x ³ x ² x + 1 dx =

Z 2

(x 1) ²

1 2

1

x 1 + ¹ ₂ 1 x + 1 dx

= 2

x 1

1

2 log |x 1 | + ¹ ₂ log |x + 1| + c 7. Calcoliamo

Z

x log(1 + x) dx utilizzando la regola di integrazione per parti. Scegliendo x come fattore di↵erenziale otteniamo

Z

x log(1 + x) dx = ¹ ₂ x ² Z 1

2 x ² 1

1 + x dx = ¹ ₂ x ^{2 1} ₂ Z x ²

1 + x dx

= ¹ ₂ x ^{2 1} ₂ Z

x 1 + 1

1 + x dx = ¹ ₂ x ^{2 1} ₂ ( ¹ ₂ x ² x + log(1 + x)) + c 8. Per calcolare

Z

x ² arctan ¹ _x dx, ricordando che D(arctan _x ¹ ) = _1+x ¹

, integrando per parti otteniamo

Z

x ² arctan _x ¹ dx = ^x ₃

arctan _x ¹ + ¹ ₃

Z x ³ 1 + x ² dx

= ^x ₃

arctan _x ¹ + ¹ ₃ Z

x x

1 + x ² dx

= ^x ₃

arctan _x ¹ + ¹ ₃ ^x ₂

¹ ₆

Z 2x 1 + x ² dx

= ^x ₃

arctan _x ¹ + ^x ₆

¹ ₆ log(1 + x ² ) + c

9. Calcoliamo

Z e ^x + 1

p e ^x 1 dx operando la sostituzione t ² = e ^x 1, ovvero x = log(1 + t ² ), da cui dx = _1+t ^2t

dt. Otteniamo

Z e ^x + 1 p e ^x 1 dx =

Z t ² + 2 t

2t

1 + t ² dt = 2

Z t ² + 2 1 + t ² dt = 2

Z

1 + 1 1 + t ² dt

= 2(t + arctan t) + c = 2( p

e ^x 1 + arctan p

e ^x 1) + c

10. Per calcolare Z

(x 2) ^p x ² 4x + 3 dx, osserviamo innanzitutto che x ² 4x + 3 = (x 2) ² 1.

Posto allora x 2 = cosh t, da cui x = 2+cosh t e dx = sinh tdt, ricordando che cosh ² t sinh ² t = 1, otteniamo

Z

(x 2) ^p x ² 4x + 3 dx = Z

cosh t

»

cosh ² t 1 sinh t dt = Z

cosh t sinh ² t dt = ¹ ₃ sinh ³ t + c

= ¹ ₃ (1 + cosh ² t)

+ c = ¹ ₃ (1 + (x 2) ² )

+ c

= ¹ ₃ (x ² 4x + 3)

+ c