ATTIVIT `A 4

ATTIVIT ` A 4

Calcolare i seguenti limiti utilizzando il criterio del rapporto

1. lim

n!+1

3 ⁿ

n ⁿ⁺² 2. lim

n!+1

n ³ⁿ n ² (3n)!

3. lim

n !+1

n! 4 ⁿ

n ^↵n al variare di ↵ 2 R

Utilizzando la relazione di asintotico, calcolare i seguenti limiti

4. lim

x !0

p

1 + sin ² x 1 log(cos x) 5. lim

x !0

(1 + sin x)

6. lim

x !0

e ^{sin x} 1 tan ^↵ x

1

1 + log(1 + x) al variare di ↵ 2 R

Siano f (x) e g(x) funzioni asintotiche per x ! 0. Fornire delle condizioni sufficienti sulle due funzioni affinch´e le seguenti a↵ermazioni risultino vere e un controesempio per cui risultano false.

A. 3 ^{f (x)} ⇠ 3 ^g(x) per x ! 0

B. log(f (x)) ⇠ log(g(x)) per x ! 0

RISOLUZIONE

1. Posto a _n = _n ³

, calcoliamo il limite del rapporto ^a

_a

n

per n ! +1. Dai limiti della gerarchia degli infiniti per n ! +1 risulta

a _n+1 a n

= 3 ⁽ⁿ⁺¹⁾

(n + 1) ^(n+1)+2 · n ⁿ⁺²

3 ⁿ

= 3 ⁽ⁿ⁺¹⁾

ⁿ

Å n

n + 1

ã _n n ² (n + 1) ³

= 3 ²ⁿ⁺¹ 1 Ä 1 + ¹ _n ^{ä n}

n ²

(n + 1) ³ ⇠ 3 ²ⁿ⁺¹ · ¹ _e · _n ¹ = ³ _e · ⁹ _n

! +1 Pertanto, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che lim

n !+1 a _n = + 1.

2. Applichiamo il criterio del rapporto alla successione a _n = _n

ⁿ (3n)!

. Per n ! +1 abbiamo a n+1

a _n = (n + 1) ³⁽ⁿ⁺¹⁾

(n + 1) ² (3(n + 1))! · n ² (3n)!

n ³ⁿ =

Å n + 1 n

ã _3n n ² (n + 1) ²

(n + 1) ³

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)

= ^ÄÄ 1 + ¹ _n ^{ä n ä 3} n ² (n + 1) ²

(n + 1) ³

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) ! ^e ₂₇

Poich´e ^e ₂₇

< 1, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che lim

n !+1 n

n

(3n)! = 0.

3. Calcoliamo, al variare di ↵ 2 R, il limite lim _n

!+1 n! 4

n

. Posto a _n = ^n!4 _n

abbiamo che a _n+1

a _n = (n + 1)! 4 ⁿ⁺¹ (n + 1) ^↵(n+1) · n ^↵n

n! 4 ⁿ = 4 n + 1 (n + 1) ^↵

Å n

n + 1 ã _↵n

= 4

(n + 1) ^{↵ 1}

Ä 1 + ¹ _n ^{ä ↵n}

Osservato che per n ! +1 risulta ^Ä 1 + ¹ _n ^{ä ↵n} ! e ^↵ , otteniamo

a n+1

a _n ⇠ 4

(n + 1) ^{↵ 1}

Ä 1 + _n ^{1 ä ↵n} ! 8 >

> <

> >

:

0 se ↵ > 1

4

e se ↵ = 1 + 1 se ↵ < 1 Essendo e < 4, dal criterio del rapporto possiamo concludere che

n !+1 lim a _n =

( 0 se ↵ > 1 + 1 se ↵  1 4. Calcoliamo il limite lim

x!0

p

1+sin

x 1

log(cos x) utilizzando i limiti notevoli visti e la relazione di asintotico.

Ricordiamo che per y ! 0 si ha p

1 + y 1 ⇠ ¹ ₃ y, dato che per x ! 0 si ha sin ² x ! 0 e sin x ⇠ x otteniamo

»

1 + sin ² x 1 ⇠ ¹ ₃ sin ² x ⇠ ^x ₃

Abbiamo poi che log(1 + y) ⇠ y per y ! 0, posto allora y = cos x 1, dato che cos x 1 ! 0 per x ! 0 otteniamo

log(cos x) = log(1 + (cos x 1)) = log(1 + y) ⇠ y = cos x 1

e poich´e 1 cos x ⇠ ^x ₂

per x ! 0, si ha

log(cos x) ⇠ cos x 1 ⇠ ^x ₂

Possiamo allora concludere che per x ! 0 risulta

p

1+sin

x 1 log(cos x) ⇠

x

3

x

2

= ² ₃

e dunque che lim

x !0

p

1+sin

x 1

log(cos x) = ² ₃ . 5. Per calcolare il limite lim

x !0

(1 + sin x)

possiamo scrivere (1 + sin x)

= e

log(1+sin x)

e studiare il comportamento dell’esponente log(1+sin x)

1 cos x per x ! 0. Per x ! 0 ⁺ abbiamo log(1 + sin x) ⇠ sin x ⇠ x e 1 cos x ⇠ ^x ₂

e dunque

log(1 + sin x) 1 cos x ⇠ x

x

2

= _x ² ! +1

Ne deduciamo quindi che (1 + sin x)

= e

1 cos x

! +1 per x ! 0 ⁺ . 6. Calcoliamo lim

x!0

e

1

tan

x

1

1 + log(1 + x) al variare di ↵ 2 R usando i limiti notevoli e la relazione di asintotico. Per x ! 0 ⁺ , dato che sin x ! 0 e log(1 + x) ! 0, abbiamo

e ^{sin x} 1 ⇠ sin x ⇠ x, tan ^↵ x ⇠ x ^↵ ⇠ x e _1+log(1+x) ¹ = (1+log(1+x)) ¹ ⇠ log(1+x) ⇠ x per ogni ↵ 2 R. Quindi per x ! 0 ⁺

e ^{sin x} 1 tan ^↵ x

1

1 + log(1 + x) ⇠ x

x ^↵ · ( x) = x ^{2 ↵} ! 8 >

> <

> >

:

1 se ↵ < 2 1 se ↵ = 2 0 se ↵ < 2 e dunque

x lim !0

e ^{sin x} 1 tan ^↵ x

1

1 + log(1 + x) = 8 >

> <

> >

:

1 se ↵ < 2

1 se ↵ = 2

0 se ↵ < 2

Siano f (x) e g(x) funzioni asintotiche per x ! 0.

A Abbiamo che l’a↵ermazione `e vera se per x ! 0 si ha 3 ^{f (x)}

3 ^g(x) = 3 ^{f (x) g(x)} ! 1 e dunque se

f (x) g(x) ! 0 per x ! 0.

Essendo f (x) e g(x) asintotiche per x ! 0, l’a↵ermazione risulter`a verificata se le due funzioni risultano convergenti, lim

x !0 f (x) = lim

x !0 g(x) = ` 2 R.

Se invece risultano divergenti, l’a↵ermazione potrebbe non essere vera. Per esempio le funzioni f (x) = _x ¹

+ x e g(x) = _x ¹

+ 1 divergono a + 1 e sono asintotiche per x ! 0:

f (x) g(x) =

1 x

+ x

1

x

+ 1 = 1 + x ³

1 + x ² ! 1 per x ! 0 ma 3 ^{f (x)} e 3 ^g(x) non sono asintotiche dato che f (x) g(x) = x 1 6! 0:

3 ^{f (x)}

3 ^g(x) = 3 ^{f (x) g(x)} = 3 ^{x 1} ! ¹ ₃ 6= 1 ^(a) Dunque 3 ^{f (x)} 6⇠ 3 ^g(x) per x ! 0 ^(b) .

B L’a↵ermazione `e verificata se per x ! 0 si ha log(f (x))

log(g(x)) = log( ^{f (x)} _g(x) g(x))

log(g(x)) = log ^{f (x)} _g(x) + log(g(x))

log(g(x)) = log ^{f (x)} _g(x)

log(g(x)) + 1 ! 1 e dunque se

log ^{f (x)} _g(x)

log(g(x)) ! 0 per x ! 0.

Dato che per x ! 0 per ipotesi ^{f (x)} _g(x) ! 1, abbiamo log ^{f (x)} _g(x) ! 0. Affinch´e ^log

f (x) g(x)

log(g(x)) ! 0 sar`a sufficiente che per x ! 0 si abbia log(g(x)) ! L 6= 0 oppure log(g(x)) ! ±1.

Dunque condizione sufficiente affinch´e B sia vera `e che lim

x!0 f (x) = lim

x!0 g(x) = ` con ` > 0,

` 6= 1 o ` = 0 ⁺ , oppure lim

x !0 f (x) = lim

x !0 g(x) = + 1.

(a)

le due funzioni sono state scelte in modo tale che risultassero asintotiche, divergenti e tali che f (x) g(x) 6! 0 per x ! 0

(b)

Nota, in generale non possiamo per` o a↵ermare che se le funzioni sono divergenti allora 3

6⇠ 3

. Per esempio le funzioni f (x) =

+x e g(x) =

sono divergenti e asintotiche ma sono tali anche 3

e 3

dato che f (x) g(x) ! 0:

3^{f (x)}

3^g(x)

= 3

= 3

! 1.

Se invece lim

x!0 f (x) = lim

x!0 g(x) = 1 l’a↵ermazione potrebbe non essere vera. Per esempio le funzioni f (x) = 1 + x ² e g(x) = 1 + x, convergono entrambe a 1 per x ! 0 e sono asintotiche per x ! 0:

f (x)

g(x) = 1 + x ²

1 + x ! 1 per x ! 0 ma dal limite notevole log(1 + y) ⇠ y per y ! 0, per x ! 0 otteniamo

log(f (x)) = log(1 + x ² ) ⇠ x ² mentre log(g(x)) = log(1 + x) ⇠ x e poich´e x ² 6⇠ x, ne segue che log(f(x)) 6⇠ log(g(x)) per x ! 0 ^(c) .

(c)

le due funzioni sono state scelte in modo tale che risultassero asintotiche, convergenti a 1 ma, ricordando il limite

notevole del logaritmo (log(h(x)) = log(1 + (h(x) 1)) ⇠ h(x) 1 per ogni h(x) ! 1) tali che f(x) 1 6⇠ g(x) 1