ATTIVIT `A 6

ATTIVIT ` A 6

Stabilire per quali valori di ↵ 2 R le seguenti funzioni risultano continue nel loro dominio

1. f

_↵

(x) = (

p3

1 2x 1

sinh x

per x > 0

↵ cos x 1 per x  0

2. f

_↵

(x) = 8 <

:

log(1+x²) sin²x

tan x(e^px 1)

per x > 0 arctan(↵ + x) per x  0

3. f

_↵

(x) = 8 <

:

x

^↵

(cosh p

x p

1 + 3x) se x > 0

1

1+log(1 x)

se x  0

Stabilire per quali valori di ↵, 2 R le seguenti funzioni risultano continue e derivabili in x

0

= 0.

4. f (x) =

(

log(1+x)+2 sin x

x^↵

se x > 0 p

3

1 + x 1 se x  0

5. f (x) = 8 <

:

p

cosh(↵x) e^x2 sinp

x+sinh x

per x > 0 tan( x) per x  0

6. f (x) =

(

log(1+x) sin x x²sinh x

x^↵

per x > 0

e

^x

1 per x  0

RISOLUZIONE 1. La funzione f

_↵

(x) =

(

p3

1 2x 1

sinh x

per x > 0

↵ cos x 1 per x  0 risulta definita in ogni x 2 R e continua in ogni x

₀

6= 0, essendo somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue, qualunque sia

↵ 2 R. Nel punto x

0

= 0 abbiamo

x

lim

!0

f

_↵

(x) = lim

x!0

↵ cos x 1 = ↵ 1 = f

_↵

(0) mentre per x ! 0

⁺

ricordiamo che dai limiti notevoli risulta p

³

1 2x 1 ⇠

²₃

x e sinh x ⇠ x e dunque

x

lim

!0⁺

f

_↵

(x) = lim

x!0 2 3

x x =

²₃

Ne segue che la funzione `e continua in x

₀

= 0 se e solo se f

_↵

(0) = ↵ 1 =

²₃

ovvero se e solo se ↵ =

¹₃

.

2. La funzione f

_↵

(x) = 8 <

:

log(1+x²) sin²x

tan x(e^px 1)

per x > 0

arctan(↵ + x) per x  0 risulta definita in ogni x 2 R tale che x 6=

k⇡; k

^⇡₂

con k 2 N, poich´e per tali valori risulta definita e non nulla tan x. In ogni punto x

0

6= 0 del suo dominio risulta continua qualunque sia ↵ 2 R essendo somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Nel punto x

₀

= 0 abbiamo che

x

lim

!0

f

_↵

(x) = lim

x!0

arctan(↵ + x) = arctan ↵ = f

_↵

(0)

per ogni ↵ 2 R. Mentre, dato che per x ! 0, log(1 + x

²

) = x

²

+ o(x

²

) e sin

²

x = x

²

+ o(x

²

) si ha log(1 + x

²

) sin

²

x = o(x

²

)

e dunque, essendo tan x(e

^px

1) ⇠ x p

x e x

²

= o(x p

x) per x ! 0, otteniamo

x!0

lim

⁺

f

_↵

(x) = lim

x!0⁺

log(1 + x

²

) sin

²

x

tan x(1 e

^x

) = lim

x!0⁺

o(x

²

) x p

x = lim

x!0⁺

o(x p x) x p

x = 0

Dunque f

_↵

(x) risulter` a continua in x

₀

= 0 se e solo se arctan ↵ = 0 ovvero se e solo se ↵ = 0.

3. La funzione f

_↵

(x) = 8 <

: x

^↵

( p

1 + 3x cosh p

x) se x > 0

1

1+log(1 x)

se x  0 `e definita in R e continua in ogni x

₀

6= 0 per ogni ↵ 2 R. In x

0

= 0 si ha che

x!0

lim f

↵

(x) = lim

x!0

1

1 + log(1 x) = 1 = f

↵

(0) mentre per x ! 0

⁺

, ricordando che cosh p

x = 1 +

^x₂

+ o(x) e p

1 + 3x = 1 +

³₂

x + o(x), otteniamo

x

lim

!0⁺

f

_↵

(x) = lim

x!0⁺

x

^↵

( p

1 + 3x cosh p

x) = lim

x!0⁺

x

^↵

(x+o(x)) = lim

x!0⁺

x

^↵+1

= 8 >

> <

> >

:

+ 1 se ↵ < 1

1 se ↵ = 1

0 se ↵ > 1

Possiamo allora concludere che la funzione risulta continua in x

₀

= 0 solo per ↵ = 1.

4. Abbiamo che la funzione f (x) =

(

log(1+x)+2 sin x

x^↵

se x > 0 p

3

1 + x 1 se x  0 risulta continua in x

₀

= 0 se e solo se ↵ < 1, per ogni 2 R. Infatti si ha

x

lim

!0

f (x) = lim

x!0

p

3

1 + x 1 = 0 = f (0)

per ogni 2 R. Mentre, ricordando che per x ! 0 risulta log(1 + x) + 2 sin x = x + o(x) + 2(x + o(x)) = 3x + o(x), si ottiene

x

lim

!0⁺

f (x) = lim

x!0⁺

log(1 + x) + 2 sin x

x

^↵

= lim

x!0⁺

3x

x

^↵

= lim

x!0⁺

3x

^{1 ↵}

= 8 >

> <

> >

:

+ 1 se ↵ > 1 3 se ↵ = 1 0 se ↵ < 1 Dunque f (x) risulter` a continua in x

₀

= 0 se e solo se ↵ < 1, qualunque sia 2 R.

Riguardo alla derivabilit` a osserviamo innanzitutto che per ↵ 1, 2 R, la funzione non `e continua e dunque nemmeno derivabile in x

₀

= 0. Se ↵ < 1 abbiamo che la funzione ammette derivata sinistra in x

₀

= 0 con f

⁰

(0) =

₃

dato che p

³

1 + x ⇠

¹₃

x e dunque

x

lim

!0

f (x) f (0)

x = lim

x!0

p

3

1 + x 1

x = lim

x!0 3

x

x =

₃

per ogni 2 R. Riguardo alla derivata destra, per ↵ < 1, risulta

x

lim

!0⁺

f (x) f (0)

x = log(1 + x) + 2 sin x

x

^↵+1

= lim

x!0⁺

3x

x

^↵+1

= lim

x!0⁺

3 x

^↵

=

8 >

> <

> >

:

+ 1 se ↵ > 0 3 se ↵ = 0 0 se ↵ < 0 e quindi che la funzione ammette derivata destra in x

0

= 0 con f

₊⁰

(0) = 0 per ↵ < 0 mentre f

₊⁰

(0) = 3 per ↵ = 0. Avremo allora che la funzione risulta derivabile per ogni ↵ < 0 e = 0 ma anche per ↵ = 0 e = 9.

5. Determiniamo innanzitutto per quali valori di ↵, 2 R la funzione f(x) = 8 <

:

p

cosh(↵x) e^x2 sinp

x+sinh x

per x > 0 tan( x) per x  0 risulta continua in x

₀

= 0. Abbiamo

x!0

lim f (x) = lim

x!0

tan( x) = 0 = f (0) per ogni 2 R. Mentre, essendo per x ! 0, sin p

x+sinh x = p

x+o( p

x)+x+o(x) = p

x+o( p x) e

» cosh(↵)x e

^x2

= ^» cosh(↵)x 1 + 1 e

^x2

= 1 +

¹₂

(cosh(↵x) 1) + o(cosh(↵x) 1) (1 + x

²

+ o(x

²

)

=

¹₂

(

^↵2₂^x2

+ o(x

²

)) x

²

+ o(x

²

) =

¹₄

(↵

²

4)x

²

+ o(x

²

)

si ottiene

x!0

lim

⁺

f (x) = lim

x!0⁺

» cosh(↵x) e

^x2

) sin p

x + sinh x = lim

x!0⁺ 1

4

(↵

²

4)x

²

+ o(x

²

) p x + o( p

x)

= 8 >

> >

<

> >

> :

x

lim

!0⁺ 1

4

(↵

²

4)x

²

p x = 0 se ↵

²

4 6= 0

x!0

lim

⁺

o(x

²

)

p x = 0 se ↵

²

4 = 0

per ogni ↵ 2 R. Dunque f(x) risulter`a continua in x

0

= 0 per ogni ↵, 2 R.

Riguardo alla derivabilit` a, abbiamo che la funzione ammette derivata sinistra in x

₀

= 0 con f

⁰

(0) = per ogni 2 R in quanto

x!0

lim

f (x) f (0)

x = lim

x!0

tan( x)

x = lim

x!0

tan( x)

x =

Riguardo alla derivata destra,risulta

x

lim

!0⁺

f (x) f (0)

x = lim

x!0⁺

» cosh(↵x) e

^x2

) x(sin p

x + sinh x) = lim

x!0⁺ 1

4

(↵

²

4)x

²

+ o(x

²

) x( p

x + o( p x))

= 8 >

> >

<

> >

> :

x

lim

!0⁺ 1

4

(↵

²

4)x

²

x p

x = 0 se ↵

²

4 6= 0

x

lim

!0⁺

o(x

²

) x p

x = 0 se ↵

²

4 = 0

La funzione ammette pertanto derivata destra in x

₀

= 0 con f

₊⁰

(0) = 0. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x

₀

= 0 solo per = 0 qualunque sia ↵ 2 R.

6. Studiamo la continuit` a e la derivabilit` a della funzione f (x) =

(

log(1+x) sin x x²sinh x

x^↵

per x > 0

e

^x

per x  0

nel punto x

₀

= 0 al variare di ↵, 2 R. Abbiamo che

x!0

lim f (x) = lim

x!0

e

^x

= 1 = f (0)

per ogni 2 R. Mentre, essendo per x ! 0

⁺

, x

²

sinh x = x

²

(x + o(x)) = x

³

+ o(x

³

), log(1 + x) sin x = (x + o(x))(x + o(x)) = x

²

+ o(x

²

) e x

³

= o(x

²

), si ottiene

log(1 + x) sin x x

²

sinh x = x

²

+ o(x

²

) (x

³

+ o(x

³

)) = x

²

+ o(x

²

) da cui

x!0

lim

⁺

f (x) = lim

x!0⁺

log(1 + x) sin x x

²

sinh x

x

^↵

= lim

x!0⁺

x

²

+ o(x

²

)

x

^↵

= lim

x!0⁺

x

^{2 ↵}

= 8 >

> <

> >

:

0 se ↵ < 2

1 se ↵ = 2

+ 1 se ↵ > 2

per ogni ↵ 2 R. Dunque f(x) risulter`a continua in x

0

= 0 solo per ↵ = 2.

Riguardo alla derivabilit` a, abbiamo che la funzione non risulta derivabile per ogni ↵ 6= 2, qua- lunque sia 2 R, non essendo per tali valori continua. Per ↵ = 2, osserviamo che la funzione ammette derivata sinistra in x

₀

= 0 con f

⁰

(0) = per ogni 2 R poich´e

x

lim

!0

f (x) f (0)

x = lim

x!0

e

^x

1

x =

essendo e

^x

1 ⇠ x per x ! 0. Riguardo alla derivata destra, ricordando che ↵ = 2, dagli sviluppi sopra risulta

x

lim

!0⁺

f (x) f (0)

x = lim

x!0⁺

log(1+x) sin x x²sinh x

x²

1

x = lim

x!0⁺

log(1 + x) sin x x

²

sinh x x

²

x

³

= lim

x!0⁺

x

²

+ o(x

²

) x

²

x

³

= lim

x!0⁺

o(x

²

) x

³

Non possiamo quindi ancora concludere qual `e il valore del limite e dunque per quali valori la funzione risulta derivabile. Utilizzando gli sviluppi di Taylor, potremo verificare che il precedente limite vale

³₂

e dunque che la funzione risulta derivabile in x

₀

= 0 solo per ↵ = 2 e =

³₂

. Una nota su un errore frequente:

log(1 + x) sin x x

²

sinh x x

²

= x

²

+ o(x

²

) (x

³

+ o(x

³

)) x

²

= o(x

²

) x

³

+ o(x

³

) = o(x

²

) e NON

log(1 + x) sin x x

²

sinh x x

²

= x

²

+ o(x

²

) (x

³

+ o(x

³

)) x

²

= x

³

+ o(x

³

).

“Dimenticando” o(x

²

) avrei ottenuto un risultato di↵erente (il precedente limite avrebbe fornito

come risultato 1 e non

³₂

) commettendo un errore non solo concettuale...