Dalle propriet` a delle potenze a quelle dei logaritmi

Dalle propriet` a delle potenze a quelle dei logaritmi

• x ^α · x ^β = x ^α+β

• (x ^α ) ^β = x ^α·β

∀ x > 0, α, β ∈ R

⇔

• a ^x · a ^y = a ^x+y

• (a ^x ) ^y = a ^x·y

∀ a > 0 x, y ∈ R

⇒

• log _a (x · y) = log _a x + log _a y

• log _a x ^p = p · log _a x

∀ a > 0, a 6= 1, x, y > 0, p ∈ R

Le prime propriet` a (equivalenti alle seconde) seguono dalla definizione di potenza a esponente reale e dalle propriet` a delle potenze a esponente naturale. Ricordando che per definizione, per ogni a > 0, a 6= 1, se x > 0,

log _a x = y ⇔ a ^y = x

proviamo l’ultima implicazione. Dati x, y > 0 e posto x 0 = log _a x e y 0 = log _a y, abbiamo che a ^x

= x e a ^y

= y e quindi, dalle propriet` a delle potenze/esponenziali si ottiene

x · y = a ^x

· a ^y

= a ^x

^+y

e dunque

log _a (x · y) = x ₀ + y ₀ = log _a x + log _a y

Per x > 0, se α = 0 dato che x ⁰ = 1 abbiamo log _a x ⁰ = log _a 1 = 0 = 0 · log _a x. Per α 6= 0 poniamo x ₀ = log _a x ^α , da cui a ^x

= x ^α , e y 0 = α · log _a x a cui segue che ^y _α

= log _a x e quindi x = a

. Pertanto dalle propriet` a delle potenze/esponenziali abbiamo

a ^x

= x ^α =  a

 α

= a

^·α = a ^y

da cui x ₀ = y ₀ , cio` e log _a x ^α = α · log _a x.

• x ^−α = _x ¹

• x ^α−β = ^x _x

∀ x > 0, α, β ∈ R

• a ^−x = _a ¹

• a ^x−y = ^a _a

∀ a > 0 x, y ∈ R

• log _a ¹ _x = − log _a x

• log _a ^x _y = log _a x − log _a y

∀ a > 0, a 6= 1, x, y > 0

Seguono dalle precedenti propriet` a. Osserviamo infatti che

x ^−α = (x ^α ) ⁻¹ = _x ¹

, ∀x > 0, α ∈ R ⇔ a ^−x = (a ^x ) ⁻¹ = _a ¹

, ∀a > 0, x ∈ R e quindi

x ^α−β = x ^α · x ^−β = ^x _x

, ∀x > 0, α, β ∈ R ⇔ a ^y−x = a ^y · a ^−x = _a ^a

, ∀a > 0, x, y ∈ R Allo stesso modo, dalle propriet` a dei logaritmi deduciamo

log _a ¹ _x = log _a x ⁻¹ = − log _a x da cui

log _a ^x _y = log _a x · _y ¹ = log _a x + log _a ¹ _y = log _a x − log _a y

per ogni a > 0, a 6= 1, e x, y > 0.