Testo del compito:

Geometria 2 parte B2 - Topologia generale

Vanno consegnati in un unico file pdf: al pi` u 4 facciate A4 con lo svolgi- mento autografo (leggibile e ben giustificato) del compito.

Riportare i seguenti dati anche sui fogli con lo svolgimento:

Cognome: Nome: Matricola:

Testo del compito:

Esercizio. Si consideri l’insieme X = R

, dotato della massima topologia τ che rende continue le inclusioni delle rette verticali con ascissa razionale (dotate della usuale topologia indotta dal piano stesso).

(a) Descrivere gli aperti di τ , e il filtro degli intorni per ogni punto di X.

(b) La topologia τ ` e separabile, (topologicamente) localmente numerabile, (topologica- mente) numerabile? Quali propriet` a di separazione sono verificate? La topologia τ ` e pseudometrizzabile e/o completamente regolare?

(c) Quali sono le propriet` a di (locale) connessione (per archi) di τ ? (d) Lo spazio ` e compatto e/o localmente compatto?

(e) Vi sono funzioni del piano in s` e continue per la topologia euclidea usuale e non per τ ? E viceversa, funzioni continue per τ e non per la topologia euclidea usuale?

Problema. Dare dimostrazione o controesempio: la propriet` a di essere pseudometriz-

zabile ` e stabile per quozienti? E per sottospazi?