Stage di Trieste - Esercitazione Algebra
Esercizi di Algebra
1. *Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio (𝑥21+ 4𝑥2− 3)2001− (𝑥21+ 4𝑥2− 3)667+ 𝑥21+ 4𝑥2?
2. **Sia 𝑃(𝑥) un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Se 𝑃(2000) = 2000 e 𝑃(2001) = 2001 allora 𝑃(2002) non può valere…
3. **Per quanti valori di a l’equazione 𝑥3+ (𝑎 − 4)𝑥2+ (𝑎 + 4)𝑥 + 9 = 0 ha esattamente due soluzioni coincidenti?
4. **Quanto vale la somma dei reciproci delle radici dell’equazione 𝑥4− 2𝑥3− 7𝑥2− 2𝑥 + 9 = 0 5. *Dimostrare che 𝑥2011𝑦 − 𝑥𝑦2011+ 𝑧2011𝑥 − 𝑥2011𝑧 + 𝑦2011𝑧 − 𝑦𝑧2011 è divisibile per
(𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥)
6. ***Quanto vale la somma delle seste potenze delle radici dell’equazione 𝑥6− 16𝑥4+ 16𝑥2− 1 = 0?
7. *Sia 𝑃(𝑥) un polinomio di grado 2010. Qual è il massimo grado che può avere il polinomio 𝑃(𝑥 − 1) − 3𝑃(𝑥) + 3𝑃(𝑥 + 1) − 𝑃(𝑥 + 2)?
8. *Sia 𝑃(𝑥) un polinomio monico di terzo grado, e 𝑎𝑖 il coefficiente del termine di grado 𝑖. Sapendo che la somma di due delle radici del polinomio vale zero, quale delle seguenti risposte è sempre vera? i) 𝑎0𝑎1𝑎2= 0, ii) 𝑎0 = 𝑎1𝑎2 iii) 𝑎0= 𝑎1+ 𝑎2 iv)𝑎12 = 𝑎0𝑎2 v)nessuna delle precedenti 9. **Sia 𝑃(𝑥) un polinomio monico di grado 20 a coefficienti interi. Per tutti i 𝑘 compresi fra 1 e 20,
𝑃(𝑘) = 2𝑘. Quali sono le ultime 3 cifre di 𝑃(21)?
10. ***Siano 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 cinque interi distinti tali e 𝑝(𝑥) un polinomio a coefficienti interi tale che 𝑝(𝑎) = 𝑝(𝑏) = 𝑝(𝑐) = 𝑝(𝑑) = 𝑝(𝑒) = 1. Per quanti interi 𝑘 compresi fra 2001 e 2020 (estremi inclusi) è possibile trovare un 𝑛 tale che 𝑝(𝑛) = 𝑘?
11. ***In Britannia i cinghiali scarseggiano, e così Borelix ha dovuto mettersi a dieta: ogni giorno mangia 1 cinghiale in più dei 2/3 del numero di cinghiali che aveva mangiato il giorno prima.
Sapendo che il nono giorno di permanenza sull’isola mangia solo 259 cinghiali, quanti ne aveva mangiati il primo giorno?
*Facile
**Medio
***Difficile o non trattato a lezione
Stage di Acireale - Esercitazione Algebra
Esercizi di Algebra
1. 22001− 2667+ 5 La somma dei coefficienti è 𝑃(1) 2. 2002, non può avere grado 1 quindi non può essere…
3. 3, una radice la trovo subito, e poi ragiono sulle condizioni da porre su a
4. 29, fare comune denominatore ed identificare numeratore e denominatore così ottenuti 5. Basta vedere che il polinomio si annulla ponendo uguali due delle variabili
6. 6662, due radici sono facili da trovare, per le altre 4 si usano le relazioni dei coefficienti 7. 2007, tutti gli altri termini dello sviluppo si cancellano sempre
8. È la ii, infatti 𝑎0 è il prodotto delle radici, 𝑎2 è la terza radice e 𝑎1 è il prodotto delle prime due 9. 42, 𝑃(𝑘) − 2𝑘 ha come radici…
10. 6, 𝑝(𝑥) − 1 ha almeno un certo numero di fattori primi…
11. 6564
