Stage di Acireale – Esercitazione Induzione e Algebra

Stage di Acireale – Esercitazione Induzione e Algebra

Esercizi su Induzione

1. **Sia 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎 0 la scrittura decimale di un numero M, e sia 𝑓(𝑀) = 2 ^𝑛 𝑎 0 + ⋯ + 2 ⁰ 𝑎 𝑛 . Sia 𝑋(𝑁) l’insieme che contiene 𝑁, 𝑓(𝑁), 𝑓�𝑓(𝑁)�, 𝑓 �𝑓�𝑓(𝑁)�� , …, dimostra che per ogni N 𝑋(𝑁) contiene un elemento tale che 𝑓(𝑁) = 𝑁

2. **Data la successione 𝑥 0 = 2 e 𝑥 _𝑛+1 = 5 + (𝑥 _𝑛 ) ² verificare che l’unico numero primo contenuto nella successione è 2.

3. *Dimostra che 𝑛 ³ + 11𝑛 è sempre divisibile per 3.

Esercizi di Algebra

1. **𝑎, 𝑏 > 0 ^𝑎 _𝑎+𝑏

^+𝑏

≥ ^𝑎+𝑏 ₂

2. ***𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 ^𝑎 _𝑎

^+𝑏 _+𝑏

^+𝑐 _+𝑐

≥ ^{𝑎+𝑏+𝑐} ₃ 3. *Trova il minimo valore di 𝑥 + _𝑥 ⁵ 4. ** _√𝑥 ^𝑥

⁺² ₊₁ ≥ 2

5. **𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8𝑎𝑏𝑐

6. **Se 𝑎 𝑖 > 0 e 𝑎 1 ∗ … ∗ 𝑎 𝑛 = 1 allora (1 + 𝑎 1 ) ∗ … ∗ (1 + 𝑎 𝑛 ) ≥ 2 ^𝑛 7. **𝑎 ² + 𝑏 ² + 𝑐 ² ≥ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

8. ***Trova il massimo di 𝑥 ³ 𝑦 ² 𝑧 col vincolo 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 9. ***Trova il massimo di 𝑥𝑦𝑧 col vincolo 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

*Facile

**Medio

***Difficile o non trattato a lezione

Stage di Acireale – Esercitazione Induzione e Algebra

Esercizi su Induzione

1. L’esistenza di un tale elemento implica che…se non esistesse allora tale insieme non avrebbe un…

2. I termini con n pari sono sempre…mentre quelli con n dispari sono sempre…

3. 𝑃(𝑛 + 1) = ⋯

Esercizi di Algebra

1. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏 > 0 ci si riconduce ad AM-GM

2. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 ci si riconduce a disuguaglianza di riarrangiamento oppure si divide in 3 pezzi riconducibili alla disuguaglianza fondamentale

3. AM-GM, 2√5

4. AM-GM come prima 5. AM-GM

6. AM-GM

7. Divido in 3 e disuguaglianza fondamentale, oppure riarrangiamento 8. _2∗6 ¹

9. _2∗3 ¹