Esiste una dimostrazione rigorosa dovuta a Laplace che la distribuzione degli scarti delle misure affette da errori casuali e indipendenti è la funzione normale di Gauss
La legge di Gauss degli errori come limite di una binomiale
da “Teoria degli errori e Fondamenti di Statistica” – Appendice D di M. Loreti – Zanichelli e 7.13 Carnelli
Si suppone, nel modello di Laplace, che gli errori casuali di misura possano essere schematizzati come il concorso contemporaneo di un numero n molto grande di disturbi, molto piccoli e indipendenti tra loro, di ampiezza costante ℇ, ognuno dei quali tenda a spostare la misura x dal valore vero X con uguale probabilità in difetto o in eccesso.
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Modello di prove ripetute
e la pro(n- )
Modello delle prove ripetute
Supponiamo che X sia il valore vero della grandezza da misurare e che k (= 0,1,2,…n) disturbi spostino per eccesso il valore X e n-k la spostino per difetto, il valore xi della i-esima misura è dato da
xi = X + k - (n-k) = X + (2k-n)
I risultati possibili sono gli n+1 valori che si ottengono al variare di k = 0,1,2,…,n
La probabilità che si presenti un determinato valore xi della misura è data dalla distribuzione binomiale con k successi e n-k insuccessi.
Bn,p(k) = (nk) pk q(n-k) con p = q = 1/2
Si ponga il cambiamento della variabile binomiale
= k-np = k - n/2 con k = 0,1, ..n = 0, 1, 2,….., n/2 se n e’ pari
= 1/2, 3/2, …, n/2 se n e’ dispari e la distribuzione binomiale nella variabile
n!
Bn,p() = --- p(+np) q(nq - )
( + np)! (nq - )!
Supponiamo n molto grande >> 1
Si può usare l’approssimazione di n! +( formula di De Moivre, Stirling*)
n! 2 n(np+1/2)e-n
(np+)! 2 (np+ ) (np+ +1/2)e-(np+ ) (nq- )! 2 (nq- ) (nq- +1/2)e-(nq- )
Le ultime 2 nell’ipotesi che sia (np+)>>1 e (nq- )>>1 ovvero che non sia vicino ai limiti -np e nq
Usando le approssimazioni precedenti si dimostra (vedi *) che per
piccolo molto minore di np ed nq
La distribuzione Binomiale nella variabile assume la forma gaussiana
*(vedi Appendice D di “Teoria degli errori e Fondamenti di Statistica” di M. Loreti – Zanichelli)
La variabile = k - np è discreta legata alla variabile continua x dalla relazione
X = x + k - (n-k) = x + (2k-n) = x + (2 + 2np-n)
da cui = (x-X)/2 - np + n/2 = (x - X)/2 poichè p =1/2 che sostituita nella binomiale precedente è la funzione densità di probabilità
Approssimazione
della Binomiale alla Poissoniana
Se si hanno 100 prove ripetute con probabilità del successo p = 0,02, per calcolare la probabilità che si abbiano 0,1,2,3,4,5 e >5 successi si puo’ usare l’approssimazione Poissoniana?
Si perchè p2 = 0.0004 << p = 0.02 << np = 2 << n = 100 np = 2 npq = 0.4
Approssimazione gaussiana alle distribuzioni Binomiale e di Poisson
La distribuzione Binomiale Bn,p(k) = (nk) pk q(n-k) per p e q non troppo piccoli tende alla distribuzione di Gauss per valori di n → ∞
Bn,p(k) ≈ GX,σ(x) con X = np e deviazione standard σ = √npq Se la Binomiale è simmetrica l’approssimazione è già soddisfacente per np 5, se asimmetrica devono essere
np 5 e nq 5
La distribuzione di Poisson Pμ(K) = e−μμK/K! tende alla distribuzione di Gauss per valori del valor medio μ→ ∞
Pμ(K) ≈ GX,σ(X) con X = μ e deviazione standard σ = √μ Si considera che per μ 9 l’approssimazione sia soddisfacente
Correzione di continuita’
● La variabile binomiale k = 0,1,2.3..,n e poissoniana k (k= 0,…∞) sono discrete mentre la variabile gaussiana è continua. E’ necessario pertanto introdurre una correzione detta di continuità,
● Si approssima cioe’ la probabilità Bn,p(k) o Pμ(k), relativa a un certo k, tramite l’area sotto la curva GX,σ(X) (coi parametri X, σ delle distribuzioni binomiale e poissoniana che si vogliono approssimare) compresa tra k−1/2 e k+1/2 .
Esercizio. Approssimazione gaussiana di una Poissoniana E' dato un campione radioattivo la cui attivita' media e' 5.3 dis/s.
Si calcoli:
a) la probabilita' di avere in 1 s un numero di disintegrazioni 2
b) usare l'approssimazione gaussana per calcolare la stessa probabilita'. Si puo' dire che l'approssimazione gaussiana e' soddisfacente?
c) se si considera un intervallo di tempo di 2 s, supponendo che il rate di conteggio sia costante, si puo' dire che vale l'approssimazione gaussiana?
Soluzione
a) µ=5.3 P(0)=exp(-5.3)=0.005 ; P(1)=5.3*exp(-5.3)=0.026
P(2)=5.3*P(1)/2=0.070 P(<3)=P(0)+P(1)+P(2)=0.101
b) z=(2.5-5.3)/√5.3= -1.216 P(z< -1.216)=0.113 l'approssimazione non e' soddisfacente
c) in 2 s µ=10.6 >9 vale l'approx gaussiana anche perche'Inoltre µ> 3
Esercizio: approssimazione gaussiana di una binomiale
Date n= 100 prove ripetute nelle stesse condizioni ,essendo 0.4 la probabilita' di successo nella singola prova ,calcolare la probabilita' di osservare tra 38 e 52 (inclusi gli estremi) successi . Si dica per quale motivo la distribuzione gaussiana bene approssima la distribuzione binomiale.
Soluzione:
la media np=40, la deviazione standard s= (npq)=4.89 e nq = 60
G40,4.9(x) approssima la B100,0.4(k) essendo il valor medio np >> 5 e nq >>5 Inoltre np > 3 npq
Il testo dell’esercizio chiede di calcolare:
Ptot = B100,0.4(38) + B100,0.4(39) + ….. B100,0.4(52) Usando l'approsimazione Gaussiana:
z1=(40-37.5)/4.9 = 0.51 z2=(52.5-40)/4.9 = 2.55 P(entro 0.51) = 38.29% P (entro 2.55) = 98.92%
P(38k52)=integrale(G(40,4.9)(37.5<x<52.5))= 98.92 – 0.5*(98.92 - 38.29)=68.60%
Esercizio: approssimazione gaussiana di una poissoniana
Durante uno sciame ,i meteoriti cadono ad una velocita' di 15.7 /h. Qual'e' la probabilita' di osservarne meno di 5 in 30 minuti?
Soluzione
µ =7.85 in 30 minuti
L'approx gaussiana a priori non dovrebbe essere soddisfacente.
Calcolo esatto
P(<5)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=
exp(-7.85)(1+7.85+(7.85) 2/2 +(7.85)3 /6)=0.1085 Calcolo approssimato z=(7,85-4.5)/ (7.85)=1.196 P(<4.5)=(1-P(entro1.196))/2=(1-0.766)/2=0.117
Il calcolo esatto da una probabilità di 10.9% mentre quello con l’approssimazione gaussiana da una probabilità dell’11.7 %. Sono numeri differenti !
Il contesto della analisi statistica dirà se l’approssimazione è accettabile o meno
