1. si devono inizialmente esplicitare tutte le condizioni che determinano l’insieme delle soluzioni della disequazione (comprese le condizioni di esistenza);

Nota

Gli esercizi che seguono sono, in qualche caso, piuttosto impegnativi: si raccomanda di ottimizzare il procedimento, onde evitare passaggi macchinosi e complessi.

I passi principali possono essere così riassunti:

1. si devono inizialmente esplicitare tutte le condizioni che determinano l’insieme delle soluzioni della disequazione (comprese le condizioni di esistenza);

2. si devono individuare le condizioni più significative, distinguendole da quelle ridondanti;

3. si devono trattare (risolvere) solamente le condizioni più significative (evidenziando nel testo della risposta questo fatto), trascurando ovviamente quelle ridondanti.

Il mancato rispetto del terzo punto potrebbe comportare calcoli molto più lunghi (inutili…), talvolta addirittura non sviluppabili in modo completo (a meno di non ricorrere a valori approssimati).

1 2 2

log   log x    0 0  x 

¹²

 

1

2 2

log log x  0

1  x  2

 

1 1 1

2 2 2

log   log log x    0

¹²

 x 

²²

2sin sin

2 ^x  2 ^x  2 0

2 k   x    2 k 

^

k 

^

 

¹₂ ^cosx

^  

¹₄ ^cosx

^{ 0}

^₂

^{ 2 k   x }

³₂

^{  2 k }

^

^{k }

^

ln tanx 2ln sinx  0

2 k   x 

^₂

 2 k 

^

k 

^



^{1 2}



3 2

log sin 2 x  cos x  0 2 k   x 

^₄

 2 k 

^

k 

^

 

1 2

tan 1

log 0

tan 1

x x

 

  

^2

k   x 

^4

 k 

^

k 

^

tan tan

27

^x

 3

^x

  2 0

^₄

 k   x 

^₂

 k 

^

k 

^

 

 

ln ln ln x  0

x  e^e

 

¹₂ ^tanx

^  

¹₄ ^tanx

^  

¹₈ ^tanx

^  

₁₆^{1 tanx}

^{ 0 k   x }

^₂

^{ k }

^

^{k }

^

 



²



2 2

log log tan x 1  0 ^₃

 k   x 

²₃

  k   x 

^₂

 k 

^

k 

^

1 2 2

log   log cos x    0  

^3

2 k   x 

^3

 2 k   x  2 k 

^

k 

^

sin cos

sin

2 3 1

0

x x

x

e e

e e

  

 ^6

 2 k   x 

⁵⁶

  2 k 

^

k 

^

Nota: i risultati non sono stati ricontrollati, si prega di segnalare eventuali errori.

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe V Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 09/2012 2

II gruppo di esercizi (Domini di funzioni)

Determinare il dominio (inteso come

insieme di esistenza

) delle seguenti funzioni:

15) 1

2

( ) log

2

log

f x =   x  

D

_f

=   0;

¹²

 

16) ¹2 ¹2

(

¹2

)

( ) log log log

f x =  x 

 

D

_f

=  

¹²

;

²²

 

17) 3

[

3

(

3

) ]

( ) 1

log log log

f x = x ^{Df =}

]

^27;+∞

[

18) _{f x( ) = ln 4}

(

^sinx _{− 2}

)

3

2 ;

3

2 , con

D

f

= − +  

^π

k π

^π

+ k π   k ∈ ℤ

19) f x( ) = ln ln ln[ ( x)]

D

_f

=   e

^e

; +∞  

20) 1

2

( ) log2 log cos

f x =



x



 

3 5

3

2 ;

2

2

2

2 ;

3

2 , con

D

f

=  

^π

+ k π

^π

+ k π   ∪   π + k π π + k π   k ∈ ℤ

21) ²

2

( ) 1 12

( 2)

f x x x x

x

= + − − −

− ^{Df =}

[

^4;+∞

[

22) ^{3 2}

2

( ) 1 12

( 2)

f x x x x

x

= + − − −

−

^D

^f

^{= − +∞ −} ] ^1; [ { } ²

23) 2

1 1

( ) 2 6

f x x

x x

= + +

− −

D

_f

=   2; 6  

24) 2

( ) 1

2 f x x

x

= +

−

D

_f

= −   2; 1 − ∪     2; +∞  

25) f x( ) = x⁴ − −1 1− x^{4 Df = −}

{

^1,1

}

26)

2 2

( ) 25

2 f x x

x

= −

− D_{f = − −}



5; 2



_∪



2;5



   

III gruppo di esercizi (Quesiti Esame di Stato)

Gli esercizi che seguono sono tratti dai temi assegnati agli Esami di Stato (quesiti).

Determinare il dominio (inteso come insieme di esistenza) delle seguenti funzioni:

27) f x( ) = x² − +1 1− x² (E.S. 2002, quesito 9) Df = −

{

^1,1

}

28) ^{f x( ) = ln}

{

^{x + −1} (^{x −1})

}

(E.S. 2003, quesito 4) ^{Df = −}

[

^1;3

[

29) f x( ) = ln 2

(

x − 4x −1

)

(E.S. 2004 sessione suppletiva, quesito 9)

D

_f

=  

¹₄

;

¹₂

  ∪  

¹₂

; +∞  

30) f x( ) = cosx (E.S. 2010, quesito 6)

2

2 ;

2

2 , con

D

f

= − +  

^π

k π

^π

+ k π   k ∈ ℤ

31)

f x ( ) = arcsin tan

(

x

)

, con 0 ≤ x ≤ 2 π

^{(E.S. 2007 sessione} suppletiva, quesito 2)

3 5 7

4 4 4 4

0; ; ; 2

D

f

=  

^π

  ∪   π π   ∪   π π  

Nota: i risultati non sono stati ricontrollati, si prega di segnalare eventuali errori.

insieme di esistenza

1 2

( ) log

2

log

f x    x   D

_f

   0;

¹²

 

 

1 1 1

2 2 2

( ) log log log

f x    x   D

_f

  

¹²

;

²²

 

 

 

3 3 3

( ) 1

log log log

f x  x

D

f

  ^27;  



^cos



( ) ln 4 ^x 2

f x  

3

2 ;

3

2 , con D

f

    

^

k 

^

 k    k 



^sin



( ) ln 3 ^x 3

f x   ⁵

6

2 ;

6

2 , con

D

f

  

^

 k    k    k 

 

 

( ) ln ln ln

f x  x

D

_f

   e

^e

;   

1 2

( ) log

2

log cos

f x    x  

3 5

3

2 ;

2

2

2

2 ;

3

2 , con

D

f

  

^

 k 

^

 k         k    k    k 

2 2

( ) 1 12

( 2)

f x x x x

x

    



Df 



^4;



3 2 2

( ) 1 12

( 2)

f x x x x

x

    

 D

f

     ^1;    ²

2

1 1

( ) 2 6

f x x

x x

  

  D

_f

   2;6  

2

( ) 1

2 f x x

x

 



D

_f

    2; 1       2;   

4 4

( ) 1 1

f x  x    x

Df  



^1,1



2 2

( ) 25

2 f x x

x

 

 D

_f

     5; 2      2;5  

insieme di esistenza

2 2

( ) 1 1

f x  x    x

D

f

   ^1,1 

 

 

( ) ln 1 1

f x  x   x  Df  



^1;3



 

( ) ln 2 4 1

f x  x  x 

D

_f

  

¹₄

;

¹₂

    

¹₂

;   

( ) cos

f x  x

2

2 ;

2

2 , con D

f

    

^

k 

^

 k    k 

 

( ) arcsin tan , con 0 2

f x  x  x  

3 5 7

4 4 4 4

0; ; ; 2

D

f

  

^

               

Nota: i risultati non sono stati ricontrollati, si prega di segnalare eventuali errori.

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe V Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 09/2012 2

II gruppo di esercizi (Domini di funzioni)

Determinare il dominio (inteso come

insieme di esistenza

) delle seguenti funzioni:

15) 1

2

( ) log

2

log

f x =   x  

D

_f

=   0;

¹²

 

16) ¹2 ¹2

(

¹2

)

( ) log log log

f x =  x 

 

D

_f

=  

¹²

;

²²

 

17) 3

[

3

(

3

) ]

( ) 1

log log log

f x = x ^{Df =}

]

^27;+∞

[

18) _{f x( ) = ln 4}

(

^sinx _{− 2}

)

3

2 ;

3

2 , con

D

f

= − +  

^π

k π

^π

+ k π   k ∈ ℤ

19) f x( ) = ln ln ln[ ( x)]

D

_f

=   e

^e

; +∞  

20) 1

2

( ) log2 log cos

f x =



x



 

3 5

3

2 ;

2

2

2

2 ;

3

2 , con

D

f

=  

^π

+ k π

^π

+ k π   ∪   π + k π π + k π   k ∈ ℤ

21) ²

2

( ) 1 12

( 2)

f x x x x

x

= + − − −

− ^{Df =}

[

^4;+∞

[

22) ^{3 2}

2

( ) 1 12

( 2)

f x x x x

x

= + − − −

−

^D

^f

^{= − +∞ −} ] ^1; [ { } ²

23) 2

1 1

( ) 2 6

f x x

x x

= + +

− −

D

_f

=   2; 6  

24) 2

( ) 1

2 f x x

x

= +

−

D

_f

= −   2; 1 − ∪     2; +∞  

25) f x( ) = x⁴ − −1 1− x^{4 Df = −}

{

^1,1

}

26)

2 2

( ) 25

2 f x x

x

= −

− D_{f = − −}



5; 2



_∪



2;5



   

III gruppo di esercizi (Quesiti Esame di Stato)

Gli esercizi che seguono sono tratti dai temi assegnati agli Esami di Stato (quesiti).

Determinare il dominio (inteso come insieme di esistenza) delle seguenti funzioni:

27) f x( ) = x² − +1 1− x² (E.S. 2002, quesito 9) Df = −

{

^1,1

}

28) ^{f x( ) = ln}

{

^{x + −1} (^{x −1})

}

(E.S. 2003, quesito 4) ^{Df = −}

[

^1;3

[

29) f x( ) = ln 2

(

x − 4x −1

)

(E.S. 2004 sessione suppletiva, quesito 9)

D

_f

=  

¹₄

;

¹₂

  ∪  

¹₂

; +∞  

30) f x( ) = cosx (E.S. 2010, quesito 6)

2

2 ;

2

2 , con

D

f

= − +  

^π

k π

^π

+ k π   k ∈ ℤ

31)

f x ( ) = arcsin tan

(

x

)

, con 0 ≤ x ≤ 2 π

^{(E.S. 2007 sessione} suppletiva, quesito 2)

3 5 7

4 4 4 4

0; ; ; 2

D

f

=  

^π

  ∪   π π   ∪   π π  

Nota: i risultati non sono stati ricontrollati, si prega di segnalare eventuali errori.