Test intermedi December 16, 2004 27
Teoria dei Numeri – Test Senior
Tempo concesso: 120 minuti
Valutazione: risposta errata 0 punti, mancante +2, esatta +5
1. La cifra che occupa la miliardesima posizione dopo la virgola nella rappresentazione dec- imale di 1/35 `e
(A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 8
2. Determinare quale delle seguenti equazioni ha soluzioni intere.
(A) 6x + 15y = 7 (B) 6x + 15y = 8 (C) 6x + 15y = 9 (D) 6x + 15y = 10
3. Gli interi compresi tra 0 e 360, e relativamente primi con 360, sono
(A) 48 (B) 96 (C) 224 (D) 359
4. Determinare quale dei seguenti numeri razionali non ha un’espressione finita in base 18 (le frazioni sono rappresentate in base 10).
(A) 1/24 (B) 1/27 (C) 1/30 (D) 1/36
5. La soluzione del sistema di congruenze
x ≡ 1 (mod 15), x ≡ 7 (mod 12),
`e definita modulo
(A) 3 (B) 30 (C) 60 (D) 180
6. Un numero razionale `e rappresentato in base 2 dall’espressione 0, 0110. In base 10 lo stesso numero razionale `e rappresentato dalla frazione
(A) 1/1980 (B) 1/3 (C) 2/5 (D) 5/12
7. Sia a un intero tale che
2a ≡ 6 (mod 8).
Determinare quante delle seguenti tre congruenze
a ≡ 3 (mod 4), a ≡ 3 (mod 8), 4a ≡ 12 (mod 16),
possono essere dedotte.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
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28 December 16, 2004 Capitolo 1 8. Siano a e b due interi. Determinare quale delle seguenti espressioni pu`o non essere uguale
al massimo comun divisore (a, b).
(A) (a − b, b) (B) (a + b, a) (C) (2a − b, b) (D) (2a + b, a)
9. Determinare quanti resti diversi si possono ottenere dividendo per 8 la somma di due quadrati.
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
10. Determinare quale dei seguenti sistemi di congruenze non ha soluzione (A) x ≡ 1 (mod 15), x ≡ 2 (mod 14), x ≡ 3 (mod 13)
(B) x ≡ 1 (mod 15), x ≡ 7 (mod 12), x ≡ 19 (mod 32) (C) x ≡ 1 (mod 15), x ≡ 3 (mod 16), x ≡ 2 (mod 21) (D) x ≡ 1 (mod 15), x ≡ 6 (mod 25), x ≡ 11 (mod 35)
11. Siano a e b due interi positivi tali che a46 = b64. Determinare quante delle seguenti tre affermazioni
• a e b hanno gli stessi fattori primi;
• esiste un intero c tale che a = c64 e b = c46;
• a `e multiplo di b;
sono necessariamente vere.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
12. Sia n il pi`u piccolo intero positivo tale che 163n ≡ 1 modulo 2000. Allora
(A) 0 ≤ n < 500 (B) 500 ≤ n < 1000 (C) 1000 ≤ n < 1500 (D) 1500 ≤ n < 2000
13. Determinare quale tra le seguenti equazioni ha il minor numero di soluzioni intere.
(A) x2− y2 = 2000 (B) x2− y2 = 2001 (C) x2− y2 = 2002 (D) x2 − y2 = 2003
14. Dividendo 20032003 per 17 si ottiene come resto
(A) 3 (B) 7 (C) 10 (D) 13
15. Determinare quante sono le coppie (a, b) di numeri interi tali che a + 2b + 10 = 3ab.
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
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Test intermedi December 16, 2004 29 16. Dividendo 13· 23 · 33· . . . · 163 per 19 si ottiene come resto
(A) 3 (B) 7 (C) 11 (D) 16
17. Per dimostrare che l’equazione
3x− y6 = 2003
non ha soluzioni intere positive, basta considerarla modulo
(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9
18. Le ultime tre cifre della rappresentazione in base 10 di 555 sono
(A) 125 (B) 375 (C) 625 (D) 875
19. Determinare modulo quale dei seguenti primi i residui delle potenze quinte sono di meno.
(A) 5 (B) 7 (C) 11 (D) 13
20. Determinare quale dei seguenti numeri non `e l’ordine moltiplicativo di un qualche intero modulo 31.
(A) 6 (B) 10 (C) 12 (D) 15
21. Determinare quanti sono gli interi n, compresi tra 0 e 360, tali che n2 ≡ 1 (mod 360).
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
22. Il pi`u piccolo intero positivo n tale che 247n ≡ 1 modulo 360 `e
(A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 96
23. Determinare da quante delle seguenti tre congruenze
x3 ≡ y3 (mod 7) x4 ≡ y4 (mod 7) x5 ≡ y5 (mod 7)
`e possibile dedurre che x ≡ y (mod 7).
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
24. Sia f una funzione moltiplicativa che manda interi positivi in interi positivi, tale che f (12) = 12 e f (15) = 15. Determinare quanti valori diversi pu`o assumere f (60).
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) infiniti
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30 December 16, 2004 Capitolo 1 25. Sia f una funzione completamente moltiplicativa che manda interi positivi in interi posi-
tivi, tale che f (12) = 12 e f (15) = 15. Determinare quante delle seguenti uguaglianze f (20) = 20, f (30) = 30, f (100) = 100,
possono essere dedotte.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
26. Consideriamo tutte le coppie (x, y) di interi tali 22x + 17y = 3.
Il minimo valore che pu`o essere assunto da |x + y| `e
(A) 0 (B) 1 (C) 6 (D) 48
27. Per dimostrare che un dato intero a `e un generatore modulo 101, il minimo numero di verifiche da fare `e che
ak $≡ 1 (mod 101) per k appartenente all’insieme
(A) {1, 2, 3, . . . , 99} (B) {2, 4, 5, 10, 20, 25, 50} (C) {20, 50} (D) {50}
28. Determinare per quale dei seguenti primi p esistono due interi a e b tali che a $≡ b (mod p), a3 ≡ b3 (mod p).
(A) 41 (B) 101 (C) 131 (D) 151
29. Determinare quanti sono gli interi n tali che 0 < n < 125 e n50 ≡ −1 (mod 125).
(A) 0 (B) 5 (C) 40 (D) 50
30. Consideriamo la seguente propriet`a: per ogni intero a, esiste un intero b tale che b15 ≡ a (mod p).
Questa propriet`a non `e verificata per p uguale a
(A) 29 (B) 59 (C) 79 (D) 89
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