Algebra – Test Senior

Algebra – Test Senior

Tempo concesso: 120 minuti

Valutazione: risposta errata 0 punti, mancante +2, esatta +5

1. Siano x e y numeri complessi tali che xy = 6 e x²y + xy²+ x + y = 63. Allora x² + y² `e uguale a

(A) un intero positivo (B) un intero negativo

(C) un numero reale non intero (D) un numero complesso non reale

2. (1 − i)²⁰⁰² =

(A) 2¹⁰⁰¹i (B) −2¹⁰⁰¹i (C) 2¹⁰⁰²i (D) −2¹⁰⁰²i

3. Determinare quante delle seguenti disuguaglianze

ab+bc+ca ≤ a²+b²+c², 3(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c)², (a+b+c)² ≤ 3(a²+b²+c²), sono vere per ogni terna a, b, c di numeri reali.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

4. Consideriamo, nel piano di Gauss, un triangolo equilatero con un vertice in 0, un vertice in 1, ed un vertice in ω. Allora

(A) ω³ = 1 (B) ω³= −1 (C) ω⁶ = −1 (D) ω · ω = −1

5. Gli n numeri reali positivi x1, . . . , xn hanno media geometrica uguale a 1 e media arit- metica uguale a 2. Per ogni i = 1, . . . , n definiamo

Xi =!

j!=i

xj.

Allora la media armonica degli Xi `e uguale a

(A) 1/2 (B) 1 (C) 2 (D) 4

6. Determinare quale quadrante del piano di Gauss contiene il maggior numero di radici quinte di i − 1.

(A) I (B) II (C) III (D) IV

7. Sapendo che x e y sono numeri reali positivi tali che x + y = 2, determinare il massimo valore che pu`o assumere x²y.

(A) 1 (B) 8 (C) 16/27 (D) 32/27

8. Il numero delle radici reali distinte del polinomio x⁶+ x⁵+ x⁴ + x³+ x²+ x + 1 `e

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

9. Pensando i polinomi come funzioni da R in R si ha che (A) esiste un polinomio di grado pari iniettivo

(B) esiste un polinomio di grado pari surgettivo (C) tutti i polinomi di grado dispari sono iniettivi (D) tutti i polinomi di grado dispari sono surgettivi

10. Siano a1, . . . , an dei numeri reali la cui somma e prodotto sono positivi. Siano GM AM, QM la loro media geometrica, aritmetica e quadratica, rispettivamente, definite in analo- gia con il caso di numeri reali positivi. Determinare quante delle seguenti disuguaglianze

GM ≤ AM AM ≤ QM GM ≤ QM

sono necessariamente vere.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

11. Determinare quanti sono i polinomi di primo grado che risolvono l’equazione funzionale f (xf (y)) = xy + f (x) − x

per ogni x e y reali.

(A) 1 (B) 2 (C) un numero finito > 2 (D) infiniti

12. Siano f e g due funzioni che mandano numeri naturali in numeri naturali, tali che f (g(f (n))) = n per ogni n ∈ N. Determinare quante delle seguenti propriet`a

f `e bigettiva g `e iniettiva g `e surgettiva sono necessariamente vere.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

13. Sia n il pi`u piccolo intero tale che

1²+ 2²+ 3²+ . . . + n² ≥ 9 · 10⁶. Allora

(A) n ≤ 200 (B) 200 < n ≤ 400 (C) 400 < n ≤ 1000 (D) n > 1000

14. Sia f : R → R una funzione. Determinare quante delle seguenti relazioni funzionali f (x²+ 3) = 2x²+ 6 f (x³+ 3) = 2x³+ 6 f (f (x)) = 2f (x), se vere per ogni x ∈ R, permettono di concludere che f(x) = 2x per ogni x ∈ R.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

15. Sia ω una radice settima non reale di 1. Allora

ω + ω²+ ω³+ . . . + ω¹⁹+ ω²⁰ =

(A) 1 (B) −1 (C) ω (D) ω

16. Sia f : R → R una funzione debolmente crescente. Determinare quante delle seguenti implicazioni

x > y =⇒ f(x) > f(y) f (x) > f (y) =⇒ x > y f (x) ≥ f(y) =⇒ x ≥ y sono necessariamente vere.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

17. Siano α, β, γ, le radici del polinomio x³ − 4x² + 2. Allora α + β, β + γ, γ + α, sono le radici del polinomio

(A) 2x³− 4x²+ 1 (B) x³− 8x²+ 16x − 2 (C) x³− 3x²− 4x + 2 (D) x³− 8x²− 2

18. Determinare quante delle seguenti quattro funzioni 1

3 − x, x

1 − x, x⁴− x², √

1 + x², sono convesse nell’intervallo (0, 1).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

19. Sia f una funzione che manda reali positivi in reali positivi tale che f (4) = 4 e f (xy) = f (x)f (y) per ogni x > 0 e ogni y > 0 reali. Determinare quale delle seguenti uguaglianze non `e necessariamente verificata.

(A) f (1/8) = 1/8 (B) f (√

2) =√

2 (C) f (2) = 2 (D) f (3) = 3

20. Determinare il maggiore tra i seguenti interi.

(A) 97⁹⁸· 98⁹⁹· 99⁹⁷ (B) 97⁹⁹· 98⁹⁷· 99⁹⁸ (C) 97⁹⁷· 98⁹⁸· 99⁹⁹ (D) 97⁹⁸· 98⁹⁷· 99⁹⁹

21. Sia f : R → R una funzione tale che f(1) = 2 e f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x e y reali. Determinare quante delle seguenti uguaglianze

f (−10) = −20 f (1/10) = 1/5 f (−1/3) = −2/3 f (√

2) = 2√ 2 sono necessariamente vere.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

22. Le cinque cifre 1, 2, 3, 4, 5 sono scritte di seguito a formare un numero N di cinque cifre.

Sapendo che la somma dei 3 numeri di tre cifre ottenuti considerando terne di tre cifre consecutive nella rappresentazione decimale di N `e la massima possibile, determinare la cifra pi`u a sinistra nella rappresentazione di N.

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

23. La successione definita per ricorrenza da

x₀ = 2003, x₁ = α, x_n+2 = x_n+1+ xn, dove α `e un parametro reale, risulta limitata

(A) per nessun valore di α

(B) per un solo valore di α, che `e razionale (C) per un solo valore di α, che `e irrazionale (D) per pi`u di un valore di α

24. Siano x1, . . . , xn, y1, . . . , yn numeri reali positivi tali che x1√y1+ . . . + xn√yn

n = 9, x1y1+ . . . + xnyn

n = 8.

Determinare il minimo valore possibile per la media aritmetica di x1, . . . , xn.

(A) 9/8 (B) "9/8 (C) 81/8 (D) 9/√

8

25. Sia an la successione definita per ricorrenza da a0 = 4 e an+1 = 3an+ 2 per ogni n ∈ N, e sia λ = a2003· 3⁻²⁰⁰³. Allora

(A) λ < 2 (B) 2 ≤ λ < 3 (C) 3 ≤ λ < 5 (D) 5 ≤ λ

26. Siano A, B, C tre punti del piano non allineati. Determinare quale delle seguenti funzioni, definite per ogni punto P del piano, non `e convessa in tutto il piano.

(A) La somma delle distanze di P da A, B, C.

(B) Il prodotto delle distanze di P da A, B, C.

(C) La somma dei quadrati delle distanze di P da A, B, C.

(D) La somma delle distanze di P dalle rette AB, BC, CA.

27. Considerando espressioni simmetriche nelle variabili x, y, z, si ha che

#

$

sym

x²y

%

·

#

$

sym

x³

%

`e uguale alle somme simmetriche di

(A) x⁵y (B) 6x⁵y (C) 3(x⁵y + x²y⁴) (D) 2(x⁵y + x⁴y²+ x³y²z)

28. Consideriamo due successioni an e bn definite per ricorrenza da

a0 = α, b0 = β, an+1 = an+ bn, bn+1 = an+ 3bn.

Determinare quale delle seguenti relazioni pu`o essere soddisfatta per infiniti valori di n, a patto di scegliere opportunamente i dati iniziali α e β.

(A) 1 ≤ aⁿ < 2ⁿ (B) 2ⁿ ≤ aⁿ< 3ⁿ (C) 3ⁿ≤ aⁿ < 4ⁿ (D) 4ⁿ≤ aⁿ

29. Considerando le seguenti espressioni simmetriche nelle variabili x, y, z:

A =$

sym

x⁵y²z², B =$

sym

x⁴y⁴z, C = $

sym

x⁴y³z².

Determinare quante delle seguenti quattro disuguaglianze

A ≥ B, B ≥ A, B ≥ C, A ≥ C

sono vere per ogni terna x, y, z di numeri reali positivi.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

30. Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a + b + c = 3, e siano x, y, z numeri reali tali che x²+ y²+ z² = 8. Supponiamo che l’espressione

x√

a + y√

b + z√ c assuma il valore massimo possibile. Allora

(A) di sicuro a = b = c e x = y = z

(B) non pu`o succedere che a = b = c e x = y = z

(C) ci sono un numero finito > 1 di possibilit`a per la terna (a, b, c) (D) ci sono un numero infinito di possibilit`a per la terna (a, b, c)