(ii) Dare la denizione di equilibrio stabile secondo Liapunov

Anno Accademico 2007/2008

Meccanica Razionale

Nome:.................................

N. matr.:................................. Ancona,8 gennaio 2008

1. (i) (7punti) Enunciare e dimostrare ilteorema di Huygens nella sua forma

pi ugenerale.

(ii) si consideri il sistema rigido mostrato in gura, costituito da tre cerchi

di raggio R, centri C

1 , C

2 e C

3

, con O C

1

=O C

2

=O C

3

, disp osti come

in gura nel piano O (x;y), di masse risp ettivamente M, m

2 ed m

2 e

dalle due aste C

1 C

2 e C

1 C

3

, di ugual massam

1

;determinare se, in base

alle simmetrie materiali, il sistema di riferimento O (x;y;z),con l'asse z

ortogonalealpianodellagura,eunaternaprincipaled'inerziaecalcolare

lamatriced'inerziaintalesistema,facendousoilpi up ossibiledelteorema

di Huygens. Lo studente puo usare i risultati ottenuti a lezione per i

momenti d'inerzia notevoli del cerchio e dell'asta.

2 1

2 1 1

2 3

2. (5punti)

(i) Fornireunadenizione dicongurazionedi equilibriop erunsistemaolo-

nomoadungradodilib erta,usandoapiacereillinguaggiodelleequazioni

dierenziali oil linguaggio dello spaziodelle fasi.

(ii) Dare la denizione di equilibrio stabile secondo Liapunov; enunciare il

criterio di stabilita di Dirichlet e dimostrarlo usando la conservazione

dell'energia.

3. (8 punti) Un'asta materiale p esante AB di massa m e lunghezza l si muove

nelpianoverticale O (x;y),lib eradi ruotareattornoall'estremo A,asuavolta

vincolato ascorreresenza attritosull'asse y (vedigura). Due molledi ugual

costanteelasticak>0colleganogliestremiAeBrisp ettivamenteconl'origine

giane;

(ii) scriverel'energia cinetica delsistema;

(iii) scriverel'energia p otenziale delsistema;

(iv) determinare lecongurazioni di equilibrio estudiarne lastabilita;

(v) calcolare lafrequenza delle piccole oscillazioni attorno ad una congura-

zione di equilibrio stabile.

4. (5punti)ScrivereleequazionidiLagrangep erilsistemadelpuntoprecedente,

nell'ip otesi che sull'estremo B agisca laforzaviscosaF

B

= v

B

5. (5punti)

(i) Dareladenizione di camp o di forze;

(ii) dire quando uncamp oeconservativo;

(iii) discutere la relazione tra conservativita ed irrotazionalita (senza dimo-

strazioni);

(iv) e datoil camp ovettoriale F:R 3

!R 3

F(x;y;z)= x

x 2

+y 2

^

i+ y

x 2

+y 2

^

j;