Traccia di soluzione del Tema 1
Commissione A. Centomo, M. Motta 22 febbraio 2011
Esercizio 1
Si consideri la funzione
f (x) = 1 2
| 1 1
4−cos2 x|
(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicit`a e segno di f . (b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f ,
eventuali punti in cui `e possibile prolungare la funzione per continuit`a.
(c) Studiare la continuit`a e la derivabilit`a di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare i limiti di f0, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non `e richiesto lo studio della convessit`a di f .
Soluzione. (a) La funzione `e definita per ogni x ∈R tale che 1
4 − cos2(x) 6= 0.
Per risolvere inR l’equazione 1
4 − cos2(x) = 0
osserviamo che la funzione cos2(x) `e periodica di periodo π e pari. Quindi
`e sufficiente determinare le soluzioni dell’equazione, ad esempio, nell’intervallo [0, π/2] ottenendo x = π/3, aggiungere la soluzione simmetrica x = −π/3 e quindi estendere le soluzioni ottenute per periodicit`a. In conclusione, il dominio della funzione `e
D =R \ {x ∈ R : x = ±π/3 + kπ, k ∈ Z}.
La funzione `e continua e positiva nel suo dominio. Inoltre f : D →R si pu`o scrivere nella forma
f (x) = 2−
1
| 14−cos2 x|
e f (−x) = f (x), f (x + π) = f (x) per ogni x ∈ D, quindi f (x) `e pari e periodica di periodo π.
Per questo possiamo limitare il resto dello studio della funzione alla particolare restrizione all’insieme D ∩ [0, π/2] = [0, π/2] \ {π/3}.
(b) Agli estremi di [0, π/2] \ {π/3}, per la continuit`a di f , si ha f (0) = 1
2√3
2 f (π/2) = 1 16, e l’unico limite da calcolare `e
lim
x→π/3+f (x) = lim
x→π/3−f (x) = 0
da cui possiamo dedurre che f (x) `e prolungabile per continuit`a su tutto [0, π/2]
ponendo f (π/3) = 0, anzi, su tutto R ponendo f(±π/3 + kπ) = 0 per ogni k ∈Z. La funzione non ha asintoti.
(c) La funzione f (x) `e derivabile per ogni x ∈ [0, π/2] \ {π/3} e si ha f0(x) = e
− log 2
|14−cos2 x| · 2 log 2 sin x cos x
1
4− cos2x |14− cos2x|
e in particolare f0(0) = f0(π/2) = 0.
Equivalentemente, essendo
14− cos2x
= ± 14− cos2x
per 14 − cos2x ≥ 0 (risp., < 0),
f0(x) = ± log 2 · 2
− 1
|14−cos2 x| · 2 sin x cos x
1
4− cos2x2 per 1
4 − cos2x > 0 (risp., < 0).
Quindi lo studio del segno della derivata prima f0(x) > 0, si riduce alla dise- quazione
1
4 − cos2x > 0 la cui soluzione `e
f0(x) > 0 x ∈ (π/3, π/2) f0(x) < 0 x ∈ (0, π/3)
da cui possiamo concludere che f (x) `e monotona strettamente decrescente nel- l’intervallo (0, π/3) e monotona strettamente crescente nell’intervallo (π/3, π/2).
Il punto x = 0 `e punto di massimo relativo e assoluto, il punto x = π/2 `e punto di massimo relativo in [0, π/2]. Il punto x = π/3 `e di minimo assoluto per la fun- zione prolungata per continuit`a (0 `e l’estremo inferiore della funzione data). Su tutto D, f ha massimo assoluto in x = kπ e massimo relativo in x = ±π/2 + kπ per ogni k ∈Z. Il suo prolungamento per continuit `a ad R ha minimo assoluto in x = ±π/3 + kπ per ogni k ∈ Z. Prima di abbozzare il grafico valutiamo i limiti significativi della derivata prima:
lim
x→π/3+f0(x) = lim
x→π/3+
2 sin x cos x log 2 ·
log22
(14−cos2x)2 e
log 2
(14−cos2 x)
Osserviamo che
lim
x→π/3+
2 sin x cos x log 2 =
√3 2 log 2 e posto
z = log 2 1
4 − cos2x
−1
lim
x→π/3+
log22
(14−cos2x)2 e
log 2
(14−cos2 x)
= lim
z→+∞
z2 ez = 0.
Analogamente si calcola che limx→π/3−f0(x) = 0 da cui possiamo concludere che
lim
x→π/3f0(x) = 0.
Quindi la funzione prolungata per continuit`a ad R risulta derivabile anche in tutti i punti x = ±π/3 + kπ per ogni k ∈Z.
Figura 1: Grafico di f (x)
Esercizio 2
Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite
lim
x→0+
x3alog x +
1 − earcsin2(x)2
1 − cos x − x − log(1 − sinh x) Soluzione. Nel limite per x → 0+ si ha
1 − earcsin2(x)
= −x2+ o(x3)2
= x4+ o(x4) da cui, per il numeratore, si ottiene
x3alog x + 1 − earcsin2(x)= x3alog x + x4+ o(x4).
Inoltre
log(1 − sinh x) = − sinh x −sinh2x
2 + o(sinh2x) da cui
log(1 − sinh x) = − x + o(x2) −1
2 x2+ o(x2) + o(x2) e quindi
log(1 − sinh x) = −x −1
2x2+ o(x2).
Inoltre
1 − cos x = x2
2 + o(x3).
In conclusione per il deonominatore si ha
1 − cos x − x − log(1 − sinh x) = x2+ o(x2).
Allora
lim
x→0+
x3alog x +
1 − earcsin2(x)2
1 − cos x − x − log(1 − sinh x) = lim
x→0+
x3alog x + x4+ o(x4) x2+ o(x2) e
lim
x→0+
x3alog x + x4+ o(x4) x2+ o(x2) = lim
x→0+
x3a−2log x.
Si hanno i seguenti casi
i. 3a − 2 > 0 ossia a > 2/3 il limite vale 0;
ii. 3a − 2 ≤ 0 ossia a ≤ 2/3 il limite vale −∞.
Esercizio 3
Si consideri il seguente integrale Z +∞
1
1
x5(a−1)(1 + x)alog2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2 dx.
(a) Determinare i valori del parametro a ∈R per cui l’integrale generalizzato converge.
(b) Calcolare l’integrale per a = 1.
Soluzione. (a) Nel limite per x → +∞ si ha 1
x5(a−1)(1 + x)alog2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2 ∼ 1 x6a−5log2x e quindi l’integrale `e convergente se
6a − 5 ≥ 1 ⇔ a ≥ 1.
(b) Per calcolare l’integrale il valore I dell’integrale nel caso a = 1 calcoliamo prima di tutto
Z 1
(1 + x)log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2 dx.
Ricorrendo alla sostituzione
z = log(1 + x) dz = dx 1 + x si ha
Z 1
z2+ 2z + 2dz =
Z 1
(z + 1)2+ 1 dz = arctan(z + 1) da cui
I = lim
k→+∞arctan(log(k + 1) + 1) − arctan(log 2 + 1) = π
2 − arctan(log 2 + 1).
Esercizio 4
Data la successione
an= 2n
√n + 2log 1 + 3e−n (a) calcolarne il limite.
(b) Discutere la convergenza della serieP+∞
n=1an. Soluzione. (a) Nel limite per n → ∞ si ha
log 1 + 3e−n = 3e−n+ o(e−n), da cui
an= 2n
√n + 2log 1 + 3e−n = 2n
√n + 2·3e−n+o( 2n
√n + 2·e−n) ∼ 3 2n (√
n + 2) en da cui si vede che {an}n∈N `e una successione infinitesima per il criterio del confronto asintotico, grazie alla scala degli infiniti (2n= o(en)) .
(b) La serie
+∞
X
n=1
an
`e a termini positivi e per quanto visto nel punto (a), nel limite per n → ∞ si ha si ha
an∼ 3 2n (√
n + 2) en = 3 (2/e)n
√n + 2.
La serie geometrica di ragione 2/e < 1 `e convergente e, sempre per n → ∞, si ha
an= o 2 e
n
(cio`e, an`e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a 2 e
n
) da cui possiamo concludere subito che la serie `e convergente, per il criterio del confronto asintotico.
Utilizzando invece il criterio del rapporto, si ha
n→∞lim
3 · 2n+1 (√
n + 1 + 2)en+1· (√
n + 2)en 3 · 2n =2
e < 1 da cui concludiamo come prima che la serie converge.
