(1)TRACCIA DI SOLUZIONE - secondo compitino Complementi di Matematica -primo modulo (Analisi) 17 dicembre 2007 1) (tema A) Estremi di f (x, y

TRACCIA DI SOLUZIONE - secondo compitino

Complementi di Matematica -primo modulo (Analisi) 17 dicembre 2007 1) (tema A) Estremi di f (x, y) = arctan(xy) − x²y + 2xy

∇f = 0



 y

1 + x²y² − 2xy + 2y = 0 x

1 + x²y² − x²+ 2x = 0 →







y( 1

1 + x²y² − 2x + 2) = 0

x( 1

1 + x²y² − x + 2) = 0 Se y = 0 →

½ y = 0

x = 0 oppure

½ y = 0

−x + 3 = 0 ⇒ x = 3 e si ottengono i due punti stazionari (0, 0), (3, 0).

Se y 6= 0 si ottiene





 1

1 + x²y² − 2x + 2 = 0

x( 1

1 + x²y² − x + 2) = 0 ⇒



 1

1 + x²y² − x + 2 = x x²= 0 che non ha soluzione, quindi non ci sono altri punti stazionari.

Lo studio della matrice hessiana mostra che (0, 0) e (3, 0) sono selle.

2) (tema C) Estremi di f (x, y) = 2x³− xy²− 2

∇f = 0 conduce al solo (0, 0), e det(H(0,0))=0, cio`e `e il caso dubbio.

Allora occorre fare lo studio del segno di f (x, y) − f (0, 0).

∆f (x, y) = f (x, y) − f (0, 0) = x(2x²− y²) e in ogni intorno di (0,0) ci sono punti in cui ∆f > 0 e punti in cui ∆f < 0.

Per esempio ∆f (x, 0) = 2x³> 0 se x > 0. Quindi (0,0) `e una sella.

3) (tema A) Formula di Taylor di f (x, y) = ye^xy, al secondo ordine, con centro in (0,1) e resto di Peano:

f (x, y) = 1 + x + (y − 1) +1

2x²+ x(y − 1) + o(x²+ (y − 1)²), (x, y) → (0, 1).

4) (tema C) D =©

x²+ y²≤ 1, y >√ 3 |x|ª

. CalcolareR R

D|xy| dxdy.

D `e il settore circolare di raggio 1 e angoli compresi tra π/3 e 2π 3 .

Poich`e y > 0 e f (x, y) = f (−x, y), l’integrale (in coordinate polari) diventa:

R R

D|xy|dxdy = 2R R

D∩{x>0}∩{y>0}|xy|dxdy = 2R R

D∩{x>0}∩{y>0}xydxdy =

=R₁

0 ρ³dρR_π/2

π/3 cos θ sin θdθ = 2ρ⁴

4 |¹₀ sin²θ

2 |^π/2_π/3= 1 16 (tema A) D =©

x²+ y²≤ 1, |y| <√ 3xª

D `e il settore circolare di raggio 1 e angoli compresi tra −π/3 e π/3.

Poich`e x > 0 e f (x, −y) = f (x, y), l’integrale (in coordinate polari) diventa:

R R

D|xy|dxdy = 2R R

D∩{x>0}∩{y>0}|xy|dxdy = 2R R

D∩{x>0}∩{y>0}xydxdy =

=R₁

0 ρ³dρR_π/3

0 cos θ sin θdθ = 2ρ⁴

4 |¹₀ sin²θ

2 |^π/3₀ = 3 16

1

5) (tema A) D il quadrilatero di vertici (0, 0), (−1, −1), (0, −2), (2, 0). Cal- colareR R

Dxdxdy.

Poich`e f (x, y) = −f (−x, y) , l’integrale esteso al quadrilatero di vertici (0, 0), (−1, −1), (0, −2)(1, −1) `e nullo.

QuindiR R

Dxdxdy =R R

Txdxdy. dove T `e il triangolo di vertici (0, 0), (1, −1), (2, 0).

eR R

Dxdxdy =R R

Txdxdy. =R₀

−1dyR_y+2

−y xdx = ... = 1

Se non si osserva la simmetria il calcolo `e un p`o pi`u lungo, ma equivalente.

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