LA TRASFORMATA DI LAPLACE
Sia ƒƒƒ(t) una funzione reale o complessa della variabile reale t, definita per ogni 0ƒ ≤≤≤≤t<∞∞∞∞.
Sia inoltre s = σσσσ + jωωωω una variabile complessa e si consideri l’integrale di Laplace:
∫
∫
−∞
→
∞ −
=
T stT
st
f t dt e f t dt
e
00
( ) lim ( )
(1)Se questo integrale esiste per qualche valore di s esso risulta una funzione della variabile complessa s e si può scrivere:
∫
∞ −=
0( )
)
( s e f t dt
F
st (2)La funzione F(s) si dice la Trasformata di Laplace della funzione ƒƒƒ(t) e si indica con la scrittura: ƒ
∫
∞ −=
= [ ( )]
0( )
)
( s L f t e f t dt
F
stTutte le funzioni ƒƒƒƒ(t) per cui esiste l’integrale di Laplace espresso dalla (2) si dicono trasformabili secondo Laplace. La trasformazione di Laplace è, quindi, un operatore che, mediante l’integrale (1), facorrispondere allafunzionetrasformabileƒƒƒƒ(t)della variabilerealet una funzioneL[ƒƒƒƒ(t)]=F(s) della variabile complessa s.
Le trasformate di Laplace dei segnali canonici impulso di Dìrac di area unitaria, scalino unitario, rampa a pendenza unitaria e parabola sono di seguito, rispettivamente, riportate:
1 ) ( )]
(
[ imp t = ∫
0∞−e
−imp t dt =
L
st[ ( )] ( ) ( 1 )
0
e sca t dt s
t sca
L = ∫
∞ −st=
0 2
) 1 ( )]
(
[ ram t e ram t dt s
L = ∫
∞ −st= [ ( )]
0( ) 1
3dt s t par e
t par
L = ∫
∞ −st=
Le trasformate di Laplace dei segnali afferenti le funzioni trigonometriche sen(ωωωt) e cos(ωω ωωω) sono, utilizzando le formule di Eulero, rispettivamente definite dalle scritture:
2
)]
2( )·
· [sin(
ω ω ω
= + t s sca t
L [cos( · )· ( )]
2 2ω ω
= + s t s sca t L
La trasformata di Laplace gode di significative proprietà.
••
•• Proprietà della linearità:
)]
( [
· )]
( [
· )]
(
· [ )]
(
· [ )]
(
· ) (
·
[ a f t b g t L a f t L b g t a L f t b L g t
L ± = ± = ±
•
•
•
• Traslazione nel dominio della frequenza complessa s
) ( )
( )
( )
( )]
( )·
(
[
( )0
) (
0
e e f t dt e f t dt F s F s k
t sca t f e
L
kt=
st kt=
s k t=
s k= −
−
∞ − −
∞ −
∫
∫
) ( )
( )
( )
( )]
( )·
(
[
( )0
) (
0
e e f t dt e f t dt F s F s k
t sca t f e
L
kt=
st kt=
s k t=
s k= +
+
∞ − +
∞ − −
−
∫ ∫
con k reale o complesso. Le due relazioni si compendiano nella seguente unica scrittura:
) ( )
( )
( )
( )]
( )·
(
[
0 ( )) (
0
e e f t dt e f t dt F s F s k
t sca t f e
L
kt st kt s k t s km
m
m
= =
=
= ∫
∞ − ±∫
∞ −±
Esempio: Calcolare le trasformate di Laplace di seguito richieste:
2 2 )
( 2 ) 2
(
( )
)]
( )·
· [cos(
)]
( )·
· cos(
[ ω ω ω ω
+
−
= − +
=
=
−
−
s k
k s s
t s sca t L
t sca t e
L
k s k
s kt
2 2 )
( 2 2 )
(
( )
)]
( )·
[sin(
)]
( )·
sin(
[ ω
ω ω
ω ω
ω = + +
= +
=
+ +
−
k s t s
sca t L
t sca t e
L
k s k
s kt
34 6
5 5
) 3 ( )] 5
( )·
5 [sin(
)]
( )·
5 sin(
[
( 3) 2 2 23
+ +
= + +
=
=
+−
s s
t s sca t L
t sca t e
L
t s•
•
•
• Traslazione nel dominio della variabile reale t
S t O
st O
e
Os F dt t t f e t
t f
L [ ( − )] = ∫
0∞ −( − ) = ( )·
−S t O
st O
e
Os F dt t t f e t
t f
L [ ( )] ( ) ( )·
0
+ =
=
+ ∫
∞ −che si compendiano nella seguente unica scrittura:
S t O
st
O
e f t t dt F s e
Ot t f
L [ ( ± )] = ∫
0∞ −( ± ) = ( )·
±Esempio: Calcolare la trasformata di Laplace di ƒƒƒƒ(t)=5sca(t−−−−3)+ 2sca(t−−−−5).
L’applicazione della proprietà della traslazione nel dominio della variabile reale t porge:
t
t
e
e s t s
sca L t
sca L
t sca L
t sca L
t sca t
sca L
5 3
2 · 5 ·
)]
5 ( [
· 2 )]
3 ( [
· 5
)]
5 (
· 2 [ )]
3 (
· 5 [ )]
5 (
· 2 ) 3 (
· 5 [
−
−
+
=
− +
−
=
=
− +
−
=
− +
−
•
•
•
• Integrazione nel dominio della variabile reale t
Nell’ipotesi che la funzione ƒƒƒ(t) sia integrabile tra 0 e +∞ƒ ∞∞, allora si ha: ∞
s s F s
t f dt L
t f
L
t[ ( )] ( )
] )·
(
[ ∫
0= =
Pertanto, all’operazione di integrazione nel dominio della variabile reale t corrisponde nel dominio della variabile complessa la divisione per s e il termine (1/s) può essere interpretato come operatore di integrazione.
Esempio: Calcolare la trasformata di Laplace della funzione ƒƒ(t)ƒƒ =sin(ωωωωt). Considerato che nel dominio della variabile reale t sussiste l’integrale notevole espresso dalla scrittura:
∫
=
tt dt
t )
0cos( )· ·
sin( ω ω ω
l’applicazione della proprietà dell’integrazione consente di relazionare come segue:
2 2 2
2 0
0 0
·
)]
( )·
[cos(
· ] )·
( )·
cos(
[
·
] )·
( )·
cos(
· [ ] )·
(
· )·
cos(
[ )]
( )·
[sin(
ω ω ω
ω
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω ω
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
s s
s s
s
t sca t dt L
t sca t L
dt t sca t L
dt t sca t
L t sca t L
t
t t
Esempio: Calcolare la trasformata di Laplace della funzione ƒƒƒƒ(t)=cos(ωωωωt). Considerato che nel dominio della variabile reale t sussiste l’integrale notevole espresso dalla scrittura:
1 ) cos(
)]
cos(
[
· )·
sin(
00
= − = − +
∫
tω t ω dt ω t
tω t
⇒
cos( ω t ) = 1 − ∫
0tsin( ω t )· ω · dt
l’applicazione della proprietà dell’integrazione consente di relazionare come segue:
) (
)
·(
)
· ·(
1 )]
( )·
[sin(
1 ·
] ) ( )·
sin(
[ 1 ·
] ) ( )·
sin(
[ )]
( [
] ) ( )·
sin(
) ( [
] )·
(
· )·
sin(
) ( [ )]
( )·
[cos(
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
0 0
0 0
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
+
= +
=
= +
−
= + +
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
=
−
=
∫
∫
∫
∫
s s s
s s
s s s s s
s s
t sca t L
s
dt t sca t s L
dt t sca t L
t sca L
dt t sca t t
sca L
dt t sca t
t sca L t sca t L
t t
t t
•
•
•
• Derivazione nel dominio della variabile reale t
Nell’ipotesi che la funzione ƒƒƒƒ(t) sia derivabile, nel senso delle funzioni generalizzate, per tutti i valori della variabile reale t≥≥≥≥0 o almeno dotata di derivata sinistra e derivata destra; allora
f(t-t
O) f(t)
t
Ot
si afferma quanto espresso dalla relazione seguente:
) 0 ( )]
( [
· )]
(
[ f t s L f t f
L & = −
Tuttavia, se la funzione ƒƒƒƒ(t) è discontinua di prima specie in t= 0, allora la derivata della ƒƒƒƒ(t) contiene un impulso applicato al tempo t = 0 e nella formula la ƒƒƒƒ(0) deve essere intesa come ƒ
ƒƒ
ƒ(0−−−−), ovvero:
) 0 ( )]
( [
· )]
(
[ f t = s L f t − f
−L &
Esempio: Calcolare la trasformata di Laplace della derivata temporale della funzione ƒƒƒƒ(t) di seguito indicata:
) (
· 4 )
( t e
3sca t
f =
− tLa funzione ƒƒƒƒ(t) è, in sostanza, assegnata come prodotto Istante per istante, di due funzioni e, precisamente, della:
⇒ ⇒ ⇒
⇒
funzionef
1( t ) = 4 · e
−3t definita per ∀∀∀t∀ ∈∈∈∈R;⇒ ⇒ ⇒
⇒
funzione scalino unitariof
2( t ) = sca ( t )
.Pertanto, nel dominio della variabile reale t, la funzione ƒ
ƒƒ
ƒ(t) presenta una discontinuità di 1ª specie; derivando si ottiene:
) ( 4
) ( 12
) ( 4
) ( ) 3 ( )] 4
( 4 [
) ] (
4 [
)]
( ) [
( ) )] ( ( [ )]
( ) ( [ ) ) (
(
3
3 3
3 3
2 1
2 1 2
1
t imp t
sca e
t imp e
t sca dt e
t sca e d
t dt sca
e d
dt t f t d f t dt f
t f d dt
t f t f d dt
t t df
f
t
t t
t t
⋅ +
−
=
= +
⋅
−
=
⋅ +
⋅
=
=
⋅ +
⋅ =
=
=
−
−
−
−
−
&
in cui si è implicitamente applicata la relazione: g(t)·imp(tO) = g(tO).
La trasformata di Laplace della derivata della funzione ƒƒƒƒ(t) assume la forma seguente:
3 4 3
12 4 4 12
3 )] 12
( [ 4 )]
( [
12
)]
( 4
) ( 12
[ )]
( 4
[ )]
( [
3
3 3
= + +
+ +
= − + +
−
=
⋅ +
⋅
−
=
=
⋅ +
−
=
=
−
−
−
s s s
s t s
imp L t
sca e L
t imp t
sca e L
t sca dt e
L d t f L
t
t
&
tL’applicazione della proprietà della derivazione in t, considerata però la discontinuità della ƒƒƒƒ(t), consente di relazionare come di seguito esplicitato:
3 0 4
)]
( [
·
· 4 ) 0 ( )]
( 4
[
· )]
( 4
[
3 3 3= +
−
=
−
=
− − − −s t s
sca e L s f
t sca e L s t
sca dt e
L d
t t tche conferma quanto in precedenza asserito.
Il NON considerare la presenza in ƒƒƒƒ(t) della discontinuità conduce a un risultato assai diverso;
infatti l’applicazione della proprietà della derivazione in t fornisce la scrittura:
3 12 3
12 4 4 3
) 3
·(
4 4
3 4 4 4
)]
( [
·
· 4 ) 0 ( )]
( 4
[
· )]
( 4
[
3 3 3− + + =
−
= − +
+
= −
= + −
=
−
=
−
=
− − −s s
s s s
s s
s t s
sca e L s f
t sca e L s t
sca dt e
L d
t t tQuesto è il risultato che si otterrebbe considerando la funzione
ƒ ƒ ƒ ƒ
*(t) = 4e
−−3t−− per t > 0; infatti si verifica che:t t
t
e e
dt e d dt
t f t d
f
3 3 3*
*
[ ( )] ( 4 · ) 4 · ( 3 ) 12 ·
)
( = =
−=
−− = −
−&
a cui corrisponde la seguente trasformata di Laplace:
ƒ ƒ ƒ ƒ1(t)
t 4
ƒƒ ƒƒ2(t)
t 1
ƒƒ ƒƒ(t)
t 4
3 ] 12
[
· 12 ]
· 12 [ )]
(
[
* 3 3− +
=
−
=
−
=
− −e s L e
L t f
L &
t t•
•
•
• Derivazione nel dominio della variabile complessa s
Nell’ipotesi che la funzione F(s) sia derivabile per tutti gli s, escluso al più un numero finito di valori, allora si afferma che:
n n n n
ds s F t d
f t ds L
s t dF
f t
L ( )
· ) 1 ( )]
(
· ) [
)] ( (
·
[ = − ⇒ = −
Esempio: Calcolare applicando una procedura di iterazione la trasformata di Laplace della funzione ƒƒƒƒ(t)=tn·sca(t) e verificare, altresì, la proprietà della derivazione nel dominio della variabile complessa s.
Con riferimento all’operazione di integrazione nel dominio della variabile reale t, si osserva che:
0 2
1 1 1 )]
( ] [
)·
( [
)]
(
·
[ s s s s
t sca dt L
t sca L
t sca t
L = ∫
t= = ⋅ =
L’applicazione della proprietà della derivata in campo complesso porge:
{ }
2 2
1
1 1 1
)]
( [ )
1 ( )]
(
·
[ ds s s s
t d sca ds L
t d sca t
L =
− −
=
−
=
−
= ·
Ricordando che
· (
22 )
0t
t dt = t
∫
si conclude che:t
2= 2 · ∫
0tt · dt
, per cui si ottiene:) 1 2 ( 3 0 2
2
1 1 2 2 !
· )] 2 (
·
· [ 2 ] )·
(
·
· 2 [ )]
(
·
[ = ∫ = = ⋅ = =
+s s s s
s t sca t dt L
t sca t L t sca t
L
tL’applicazione della proprietà della derivata in campo complesso porge:
{ }
2 4 32 2 2
2
1 1 2 2
)]
( [ )
1 ( )]
(
·
[ s s
s ds s
d s
ds d ds t d
sca ds L
t d sca t
L = =
−
=
=
−
= ·
Ricordando che
· (
33 )
0
2
dt t
t
t
∫ =
si conclude che:t
3= 3 · ∫
0tt
2· dt
, per cui si ottiene:) 1 3 ( 4 3 2
0 2
3
1 2 6 3 !
· )] 3 (
·
· [ 3 ] )·
(
·
· 3 [ )]
(
·
[ = ∫ = = ⋅ = =
+s s s s
s t sca t dt L
t sca t L t sca t
L
tL’applicazione della proprietà della derivata in campo complesso porge:
{ }
6 42 3
2 2 3
3 3
3
1 2 2 · 3 · 6
)]
( [ )
1 ( )]
(
·
[ s s
s ds s
d ds s
d ds t d
sca ds L
t d sca t
L − =
−
=
−
=
−
=
−
= ·
Ricordando che
· (
44 )
0
3
dt t
t
t
∫ =
si conclude che:t
4= 4 · ∫
0tt
3· dt
, per cui si ottiene:) 1 4 ( 5 4 3
0 3
4
1 6 24 4 !
· )] 4 (
·
· [ 4 ] )·
(
·
· 4 [ )]
(
·
[ = ∫ = = ⋅ = =
+s s s s
s t sca t dt L
t sca t L t sca t
L
tL’applicazione della proprietà della derivata in campo complesso porge:
{ }
8 53 4
3 3 4
4 4
4
1 6 ( 6 · 4 )· 24
)]
( [ )
1 ( )]
(
·
[ s s
s ds s
d ds s
d ds t d
sca ds L
t d sca t
L − =
−
=
= −
=
−
= ·
L’iterazione della procedura spinta fino all’esponente n consente di concludere quanto segue:
−
⇒ =
=
+ds s
t d sca t s L
t n sca t
L
nn n n
n
n
1
· ) 1 ( )]
(
·
! [ )]
(
[
( 1)Si osservi inoltre che è immediata la deduzione seguente:
n n
s t n
sca t
L ( 1)!
)]
(
[ ( 1) −
− =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
n n
n s
t sca
L t 1
)!
1 (
) (
)·
1 (
=
−
−
Esempio: Calcolare la trasformata di Laplace della funzione ƒƒƒƒ(t)=t·e-10t·sca(t)
Si tratta di una funzione la cui trasformata si calcola con l’applicazione indentata delle proprietà della derivazione in campo complesso e della traslazione in s; infatti si ottiene:
{ } { }
2 2
) 10 ( 10
10
) 10 (
1 )
10 (
1
10 )] 1
( [ )]
( [
)]
(
· [
= + +
− −
=
=
− +
=
−
=
−
=
+−
−
s s
s ds t d
sca ds L
t d sca e
ds L t d
sca e
t
L
t t sEsempio: Calcolare la trasformata di Laplace della funzione ƒƒƒƒ(t)=t·cos(4·t)·sca(t)
L’applicazione della proprietà della derivazione in campo complesso consente di determinare direttamente quanto richiesto; infatti, si ha:
{ }
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
) 16 (
16 )
16 (
16 )
16 (
16 2
) 16 (
· 2
· 16 )] 16
( )·
4 [cos(
)]
( ) 4
·cos(
[
+
= − +
+
− − + =
+
− −
=
= +
−
− +
=
+
−
=
−
=
s s s
s s
s s
s
s s s
s s ds t d
sca t ds L
t d sca t t
L
•
•
•
• Trasformata di una funzione ƒƒƒƒ(t) periodica di periodo T
Sia assegnata la funzione ƒƒƒƒ(t)=ƒƒƒƒ(t+T) periodica di periodo T, nulla per ogni t>0 e sia ƒƒƒƒ*(t) la funzione corrispondente al solo primo periodo, ossia ƒƒƒƒ*(t) = ƒƒƒƒ(t) per 0≤≤≤≤t≤≤≤≤T e ƒƒƒƒ*(t)=0 per t>T; allora si afferma:
sT s sT
i
isT
e F e
t f e L
t f L t f
L
− −∞
=
−
−
=
−
=
= ∑
1 1
)]
( )]· [
( [ )]
( [
)
*(
*
0
*
•
•
•
• Trasformata di una funzione ƒƒƒƒ(t) composita ottenuta con funzioni base.
Come applicazione del teorema della traslazione temporale, si deve determinare la trasformata di Laplace della funzione composita definita a tratti come di seguito riportato:
>
≤
= ≤
τ τ τ
t K
t K t
t
f · 0
) (
La funzione ƒƒƒƒ(t) assegnata può considerarsi, per ogni t ≥≥≥≥ 0, come somma di due funzioni, cioè:
ƒ ƒƒ
ƒ(t) =ƒƒƒƒ1(t) + ƒƒƒƒ2(t) definite nella forma seguente:
∞
<
≤
<
= K t t
t t
f · 0
0 0
)
1
(
τ
≥
−
−
<
= τ τ
τ
τ t K t
t t
f ·( )
0 )
2
(
La trasformata della funzione composita ƒƒƒƒ(t), considerandola proprietà della linearità e della traslazione nel dominio della variabile reale t, assume la forma seguente:
T
t
ƒ ƒ ƒƒ(t)
t
ƒƒƒ ƒ*(t)
T
ττ τ τ
Kt
ƒ ƒ ƒƒ(t)
τ ττ τ
Kt
ƒ ƒƒ ƒ1(t)
2 τ ττ τ
-K
ƒ ƒ ƒ ƒ2(t) ƒ
ƒ ƒ ƒ(t)
−
−
= +
= +
= [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )
)]
(
[
1 2 1 2τ
τ
τ ram t
L K t
K ram L t f L t f L t f t f L t f L
) 1
· ( )] 1
(
[
2 2· 2
τ τ
τ τ
τ
s s
s e K s
e K s t K
f
L
−−
−
=
⋅
−
⋅
=
Esempio: Determinare la trasformata di Laplace della funzione composita definita a tratti come di seguito riportato:
∞
<
<
≤
≤
<
=
t t t
sca
t t
f
15 0
15 0
) ( 7
0 0
) (
La funzione ƒƒƒƒ(t) assegnata può considerarsi, per
ogni t ≥≥≥ 0, come somma di due funzioni, cioè: ƒ≥ ƒƒ(t) =ƒƒ ƒƒƒ1(t) + ƒƒƒƒ2(t) definite nella forma seguente:
) 15 (
· 7 ) ( )
(
· 7 )
(
21
t = sca t f t = − sca t −
f ;
La trasformata della funzione composita ƒƒƒƒ(t) è determinata dalla relazione seguente:
[ ] [ ] e
ss t s
sca L
t sca L t f L t f L t f
L
1 27 7
15) 15 ( 7 )
( 7 )]
( [ )]
( [ )]
(
[ = + = + − − = − ⋅
−attivando i necessari passaggi algebrici, si ottiene la seguente espressione conclusiva:
) 1
7 ( )]
(
[ e
15st s f
L = −
−Esempio: Determinare la trasformata di Laplace della funzione composita ƒƒƒƒ(t) definita a tratti:
∞
<
<
≤
≤
⋅
<
=
t t
t t t t
t t
f
O
O O
0
3 0 0 0
) (
La funzione ƒƒƒƒ(t) assegnata può considerarsi, per ogni t ≥≥≥ 0, come somma di tre funzioni, cioè: ≥ ƒ
ƒƒ
ƒ(t) =ƒƒƒƒ1(t)+ƒƒƒƒ2(t)+ƒƒƒƒ3(t) definite nella forma seguente:
) (
3 · )
( )
(
· 3 ) ( )
( 3 ·
)
(
2 31 O
O O
O
t t t ram t
f t
t sca t
f t t ram t
f = ; = − − ; = − −
La trasformata della funzione composita ƒƒƒƒ(t) è determinata dalla relazione seguente:
[ ]
s t s
t O
s t O
s t O
O O
O O
O O
O
O
e
e s s
e t s e t
s s t
t t t ram L
t t sca L
t t ram L
t f L t f L t f L t f L
·
· 2
2 2
3 2
1
) 3 1
3 ( 3
3 3
) 3 (
) (
3 )
3 (
)]
( [ )]
( [ )]
( [ )]
( [
−
−
−
−
− ⋅ = ⋅ − − ⋅
⋅
−
=
=
− −
+
−
−
+
=
= +
+
=
Esempio: Determinare la trasformata di Laplace della funzione composita ƒƒƒƒ(t) definita a tratti:
∞
<
<
≤
≤
⋅
−
<
=
t t
t t t t
t t
f
O
O O
0 3 0 3
0 0
) (
La funzione ƒƒƒƒ(t) assegnata può considerarsi, per ogni t ≥≥≥≥ 0 7
t
-7ƒƒ ƒƒ1(t)
ƒƒ ƒƒ2(t) ƒ
ƒ ƒƒ(t)
15
3
t
-3ƒƒ ƒƒ1(t)
ƒƒ ƒƒ2(t) ƒ
ƒƒ ƒ(t)
tO
2tO
ƒƒ ƒƒ3(t)
3
t
O-3
t
ƒ ƒ ƒ ƒ(t)
ƒƒ ƒƒ1(t)
ƒ ƒƒ ƒ3(t) ƒƒ
ƒƒ2(t)
come somma di tre funzioni, cioè:ƒƒƒƒ(t)=ƒƒƒƒ1(t) + ƒƒƒƒ2(t)+ƒƒƒƒ3(t) definite nella forma seguente:
[ ]
) 1
3 ( 3 3
3 3
) 3 (
) ( 3 )
3 (
)]
( [ )]
( [ )]
( [ )]
( [
· 2
· 2 2
3 2
1
s t O
s t O
O
O O
O
O
O
e
s s t s e
t s s t
t t t ram L t sca L t
t ram L
t f L t f L t f L t f L
−
−
= − ⋅ −
⋅ +
−
=
=
−
+
+
−
=
= +
+
=
•
•
•
• Teorema del valore iniziale
Sia ƒƒƒƒ(t) una funzione reale la cui trasformata di Laplace F(s) è una funzione razionale fratta con il grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, allora si ha:
[ · ( ) ]
lim ) 0 ( ) (
lim
0f t f s F s
s
t→
= =
→∞Se la funzione reale ƒƒƒ(t) presenta in t = 0 una discontinuità di prima specie, allora il teorema ƒ del valore iniziale deve interpretarsi nella forma seguente:
[ · ( ) ]
lim ) 0 ( ) ( lim
0
s F s f
t f
t s→∞
+
→
=
+
=
Esempio: applicare il teorema del valore iniziale alle seguenti funzioni:
a)
2
) 3 (
· 3 )
(
2= +
=
−⇒
s s F e
t
f
tLa funzione ƒƒƒ(t) è discontinua di prima specie in tƒ =0; quindi, si deve considerare la relazione:
3 )
· 3 ( lim )
( lim )
0
(
20 0
=
=
=
−→
→ +
+ +
t t
t
e t
f f
2 3 lim 3
2 lim 3
)]
( [ lim ) 0
( =
= +
⋅ +
=
=
∞
→
∞
→
∞
→ +
s s s s
s sF f
s s
s
b)
·( 3 )
15 )
3
·(
5 15 5 3 5 ) 5
( )
1
·(
5 )
(
3= + +
−
= +
− +
⇒ =
−
=
−s s s
s
s s
s s s
F e
t
f
tLa funzione ƒƒƒ(t) è continua in tƒ =0; quindi, si deve considerare la relazione:
0 )]
1
·(
5 [ lim ) ( lim ) 0
(
30 0
=
−
=
=
−→
→
t t
t
f t e
f
) 0 3 ( lim 15 )
3
·(
lim 15 )
3
·(
lim 15 )]
( [ lim ) 0
( =
= +
= +
⋅ +
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
s s s
s s
s s s
sF f
s s
s s
Se la funzione reale ƒƒƒƒ(t) è derivabile, allora l’applicazione del teorema del valore iniziale da:
[ · ( ) ( 0 ) ] }
· { lim ) 0 ( ) ( lim
0
f t f s s F s f
s t
−
=
=
∞
→
→
&
&
Se la funzione reale ƒƒƒƒ(t) presenta in t = 0 una discontinuità di prima specie, allora il teorema del valore iniziale deve interpretarsi nella forma seguente:
)]}
0 ( ) (
·[
{ lim ) 0 ( ) ( lim
0
+
∞
→ +
→
−
=
+
f t = f s sF s f
t s
&
&
••
•• Teorema del valore finale
Sia ƒƒƒƒ(t) una funzione reale la cui trasformata di Laplace F(s) è una funzione razionale fratta, con il grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, che presenta poli nulli o poli reali negativi o complessi coniugati con parte reale negativa, allora si ha:
[ · ( ) ]
lim ) ( ) (
lim f t f
0s F s
s
t→∞
= ∞ =
→Esempio: Verificare l’applicabilità del teorema del valore finale alle seguenti funzioni:
a)
f ( t ) = 2 · e
−3tsca ( t )
⇒( ∞ ) = lim ( ) = lim [ 2 ·
−3( )] = 2 · 0 · 1 = 0
∞
→
∞
→
f t e sca t
f
tt t
3 )] 2
( [ )
( = = +
t s f L s
F
→ presenta il polo p=-3 reale e negativo → OK! sì TVF[ ] 0
3 lim 2
3
· 2 lim )
(
· lim ) (
0 0
0
=
= +
= +
=
∞
→
→
→
s
s s s
s F s f
s s
s
b)
f ( t ) = − 3 · sca ( t )
⇒( ∞ ) = lim ( ) = lim [ − 3 · ( )] = − 3 · 1 = − 3
∞
→
∞
→
f t sca t
f
t t
t s f L s
F 3
)]
( [ )
( = = −
→ presenta il polo p=0 → OK! sì TVF[ ] 3 3
3 lim
· lim )
(
· lim ) (
0 0
0
−
=
−
=
−
=
=
∞
→
→
→
s
s s s
s F s f
s s
s
c)
f ( t ) = 2 · ram ( t )
⇒∞ = = = ∞
∞
→
∞
→
( ) lim [ 2 · ] lim
)
( f t t
f
t t
2
)] 2 ( [ )
( s L f t s
F = =
→ presenta il polo doppio p=0 → OK! sì TVF[ ] = ∞
=
=
=
∞
→
→
→
s F s s s s
f
s s
s
lim 2
· 2 lim )
(
· lim ) (
2 0 0 0
d)
f ( t ) = 3 · e
2tsca ( t )
⇒∞ = = = ∞ = ∞
∞
→
∞
→
( ) lim [ 3 · ( )] 3 · · 1 lim
)
( f t e
2sca t
f
tt t
2 )] 3
( [ )
( = = −
t s f L s
F
→ presenta il polo p=2 reale e positivo → NO TVF[ ] 0 ( )
2 lim 3
2
· 3 lim )
(
· lim
0 0
0
∞
≠
=
= −
= −
→
→
→
f
s s s s
s F s
s s
s
e)
f ( t ) = 3 · sen ( 2 t )· sca ( t )
⇒∞ = = =
∞
→
∞
→
( ) lim [ 3 · ( 2 )· ( )]
lim )
( f t sen t sca t
f
t t non esiste4 )] 6
( [ )
(
2= +
= L f t s s
F
→ presenta due poli p1,2 =±j2 immaginari puri → NO TVF[ ] 0
4 lim 6
4
· 6 lim )
(
·
lim
22 0 0 0
=
= +
= +
→
→
→
s
s s s
s F s
s s
s
mentre ƒƒƒƒ(∞∞∞∞) non esiste f)
f ( t ) = 3 · e
tsen ( 2 t )· sca ( t )
⇒∞ = = =
∞
→
∞
→
( ) lim [ 3 · ( 2 )· ( )]
lim )
( f t e sen t sca t
f
tt
t non esiste
5 2 )] 6
( [ )
(
2+
= −
= L f t s s
s
F
→ due poli p1,2 =1±j2 complessi e Re(P)>0→ NO TVF[ ] 0
5 2 lim 6
5 2
· 6 lim )
(
·
lim
22 0 0
0
=
+
= −
+
= −
→
→
→
s s
s s
s s s
F
s
s ss mentre ƒƒƒƒ(∞∞∞∞) non esiste
g)
f ( t ) = − e
tcos( 2 t )· sca ( t )
⇒∞ = = − =
∞
→
∞
→
( ) lim [ cos( 2 )· ( )]
lim )
( f t e t sca t
f
tt
t non esiste
