v −  (t) = dm/dt

Moto di un razzo

La massa iniziale di un missile è

M

µ (t) = dm/dt

sono espulsi ad una velocità costante

v

Grel

−

Il sistema di propulsione del razzo

in assenza di forze esterne.

Determinare l’ accelerazione istantanea del razzo

espelle gas con rapidita’ nota e i gas di scarico

v

tot R

Q ( t )  = M ( t ) (t) 

dove v

Rass(t)

 all’istante

t

con la stessa velocità del missile si muovera’

 la quantità di moto totale del sistema al tempo

t

v 

(t)

il gas sia ancora incombusto all'interno del razzo

è la velocità del razzo rispetto ad un riferimento inerziale e dalle particelle di gas di scarico che fuoriescono

consideriamo il razzo come un sistema costituito dal missile vero e proprio e supponiamo che

quindi

tra il tempo

t

t

∆t

del propellente

nella camera di scoppio avviene la combustione con conseguente espulsione ad alta velocità dei gas di scarico

e la corrispondente variazione (negativa)

∆M

se

∆m

sarà

∆m = − ∆M > 0

l'intervallo di tempo

∆t

∆m = µ (t) ∆t

subita dalla massa

M

per il terzo principio della dinamica

sistema isolato possono determinare soltanto

delle singole parti del sistema ma in questo caso non sappiamo

della combustione del propellente

se si conosce come varia la quantità di moto

v v

rel rel

G

(t) = costante =

 

(gas di scarico)

tuttavia i loro effetti su una parte del sistema possono essere valutati

della restante parte del sistema quali forze si sviluppino al momento

variazioni nelle quantità di moto

(missile)

e

sappiamo che le forze interne ad un

e dalle caratteristiche costruttive dei motori, e sara’ indipendente dalla velocita’ del razzo

( almeno fino al completo esaurimento

e anche il ritenerla per semplicita’ costante nel tempo

di tutto il combustibile )

e’ una ragionevole approssimazione dalla composizione chimica del propellente

in effetti dipendera’ v

Grel(t)



ossia da cose determinabili prima del lancio del razzo

la variazione

v

Rass

∆

per determinare l’accelerazione istantanea del missile dovremo determinare per

∆t

il razzo ha velocità

e la velocità del gas espulso al tempo

t + ∆t

v 

(t + ∆ t)

quindi nel riferimento inerziale, la variazione

v

Rass

∆

e’ per definizione

v

Rass

∆

v 

(t + ∆ t)

rispetto al riferimento inerziale è della velocita’ del missile tra il tempo

t

t + ∆t

all'istante

t + ∆t

v v

ass ass

R

(t t)

(t)

=  + ∆ − 

v v

ass rel

R

(t t)

=  + ∆ + 

v v

ass ass

R

(t)

=  + ∆ 

durante

∆t

tot tot

Q ( t t ) Q ( t )

=  + ∆ −  Q

∆ 

nell'intervallo

∆t

∆m

Q ( t 

+ ∆ t )

+ v

Gass

m ∆  (t + ∆ t)

quindi la quantità di moto totale del sistema al tempo

t + ∆t

v

+ ∆  m v

M ( t )

= ∆

sviluppando i calcoli ^

∆ Q 

la variazione della quantità di moto totale del sistema

( M ( t ) m ) ^v

(t t )

= − ∆  + ∆

quantità di moto

del missile quantità di moto

dei gas di scarico

Q

∆ 

v

M ( t )

= ∆ v

Grel

+ ∆  m

Rass

a dt

e per definizione di differenziale

v = 

v

ass

R R

d d dt

dt

 

=  

 

 

anche

m

t

0 dm

dm = dt dt

 

 

 

dQ 

Rass

M ( t )a dt

=  v

Grel

dm dt dt

  +  

 



al tendere di ∆

t

v

Rass

∆

e’ ben approssimata dal differenziale

v

Rass

d 

∆ m ≈

del razzo

dQ 

= M ( t )a ( 

+ (t) µ ^v 

) dt

ossia

se il sistema e’ isolato la quantita’ di moto totale si deve conservare

tot

0

dQ  =

quindi

v

ass rel

R G

M ( t )a  = − µ ( t ) 

il razzo accelera unicamente sotto l'azione della forza di spinta

v

S( t )  = − µ ( t ) 

S( t ) 

in conclusione : si può determinare la forza di spinta data al missile, se si conoscono la rapidita’ di espulsione della massa di gas di scarico,

e la velocità dei gas di scarico rispetto al razzo

ossia la quantità di gas che viene espulsa per unità di tempo

Sviluppo dettagliato dei calcoli

tenendo conto che nell'intervallo

∆t

∆m

( ) ^v

tot R

Q ( t  + ∆ = t ) M ( t ) − ∆ m  (t + ∆ t ) + v

Gass

m ∆  (t + ∆ t)

la quantità di moto totale del sistema al tempo

t + ∆t

la quantità di moto totale del sistema al tempo

t

v

tot R

Q ( t )  = M ( t )  (t)

( ^v

^v

)

m (t t)

+ ∆  + ∆ + 

Q ( t 

+ ∆ = t )

ma

( M ( t ) − ∆ m ) ^v 

(t + ∆ t )

v 

(t + ∆ t)

v v

ass rel

R

(t t)

=  + ∆ +  v

∆ v v

ass ass

R

(t t)

(t)

=  + ∆ − 

per definizione

la variazione della quantità di moto totale durante

∆t

tot tot

Q ( t t ) Q ( t )

=  + ∆ − 

v

M ( t ) (t)

− 

Q

∆ 

v

m (t t) + ∆  + ∆

Q ( t 

+ ∆ = t )

v

M ( t ) (t  + ∆ t ) v

Rass

m (t t )

− ∆  + ∆ v

+ ∆  m

Q ( t 

+ ∆ = t )

v

M ( t ) (t  + ∆ t ) v

Grel

+ ∆  m

v

M ( t ) (t t )

=  + ∆ v

Grel

+ ∆  m Q

∆ 

( ^v

^v

)

M ( t ) (t t ) (t)

=  + ∆ −  v

Grel

+ ∆  m

Q

∆ 

v

M ( t )

= ∆ v

Grel

+ ∆  m

in conclusione

passando al limite per

∆t

dQ 

v

M ( t )d

= 

v

+ dm 

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