Gara 2016 Gara 2016

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Problemi tratti dalle gare degli anni passati

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Gara 2016 Gara 2016

Camilla è molto paziente e sta scrivendo, per esteso, l’intero numero 1000 elevato alla 1000.

Quante cifre deve scrivere in tutto?

(A) 1000 (B) 3001

(C) 1000001 (D) 1001

(E) 1004

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La risposta è (B) La risposta è (B)

Il numero 1000 è una potenza di 10

Elevando ad n il numero 10 si ottiene un numero di n+1 cifre

La soluzione è quindi (B) La soluzione è quindi (B)

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Gara 2016 Gara 2016

Carlo ha scritto nel suo quaderno l’elenco di tutti i numeri interi positivi da 1 fino a 1000 (inclusi). Giovanna cancella dall’elenco i numeri pari e sostituisce ciascuno di essi con la sua metà. Quanti numeri diversi saranno scritti nel quaderno di Carlo dopo l’intervento di quaderno di Carlo dopo l’intervento di Giovanna?

(A) 650 (B) 900 (C) 500 (D) 600 (E) 750

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Risposta (E) Risposta (E)

I numeri compresi tra 1 e 500 hanno doppio tra 2 e 1000, e restano scritti sul quaderno;

I numeri superiori a 500 sono scritti solo se I numeri superiori a 500 sono scritti solo se

dispari: si tratta di 250 numeri diversi.

In totale quindi 500 +250 = 750 numeri diversi

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Gara 2016 Gara 2016

Il prodotto di due numeri naturali è 14000. Quale può essere, al massimo, il loro Massimo Comune Divisore?

(A) 10 (A) 10 (B) 20 (C) 400 (D) 70 (E) 140

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La risposta è (B) La risposta è (B)

La fattorizzazione di 14000 è …..

Se il prodotto di a e b è 14000 saranno presenti nelle loro fattorizzazioni quattro fattori 2, tre fattori 5 ed un fattore 7.

fattori 2, tre fattori 5 ed un fattore 7.

Per casi si ottiene il valore massimo di MCD

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Gara 2016 Gara 2016

Giulietta è libera dal lavoro tutte le domeniche (e nessun altro giorno). Romeo lavora su una nave da crociera: rimane in mare per 9 giorni, poi ha un giorno libero prima di imbarcarsi di nuovo per altri 9 giorni, e così via.

Oggi, mercoledì 23 novembre 2016, Romeo è a terra e s’imbarcherà domani. Quante giornate terra e s’imbarcherà domani. Quante giornate potranno trascorrere insieme Giulietta e Romeo fino al 23 novembre 2017?

(A) 8 (B) 5 (C) 7 (D) 6 (E) 4

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La risposta è (B) La risposta è (B)

Romeo ha un giorno libero ogni 10, e cadono, nell’ordine, di mercoledì, sabato, martedì, venerdì, lunedì, giovedì, domenica.

Romeo e Giulietta si vedranno ogni 70 Romeo e Giulietta si vedranno ogni 70 giorni e da oggi tra 60, 130, 200, 270, 340 giorni

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Gara 2016 Gara 2016

Osservando il calendario, Chiara si è accorta che l’anno corrente 2016 ha una particolarità:

posto x = 2016 il numero dell’anno, allora x + 1 è multiplo di 1, x + 2 è multiplo di 2, x + 3 è multiplo di 3 e x + 4 è multiplo di 4. Quanti altri numeri interi positivi, minori di 2016, altri numeri interi positivi, minori di 2016, hanno la stessa particolarità?

(A) 154 (B) 83 (C) 167 (D) 24 (E) 162

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La risposta è (C) La risposta è (C)

L’affermazione è equivalente a dire che x è multiplo di 1,2,3 e 4 e quindi multiplo del loro mcm 12.

Dobbiamo contare gli interi positivi, Dobbiamo contare gli interi positivi,

minori di 2016 che siano multipli di 12.

2016/12=168 quindi ve ne sono 167

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Gara 2015 Gara 2015

Andrea, Beatrice, Chiara, Davide, Enea e Federico sono molto amici. La loro età media è di 14 anni. Se a loro si uniscono tre amici di Enea, l’età media dell’intero gruppo diventa di 16 anni. Qual è l’età media dei tre amici di 16 anni. Qual è l’età media dei tre amici di Enea?

(A) 16 (B) 20 (C) 19 (D) 17 (E) 18

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La risposta è (B) La risposta è (B)

Chiamiamo a, b, c, d, e, f le età dei sei

amici la cui media è 14 anni e g, h, i le età degli altri tre

a+b+c+d+e+f=14x6 e che a+b+c+d+e+f=14x6 e che a+b+c+d+e+f+g+h+i=16x9

Dunque (g+h+i)/3=(144-84)/3=20

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Gara 2015 Gara 2015

Qual `e la cifra delle unità di 3 elevato alla 8 elevato alla 7?

(A) 1 (B) 7 (B) 7 (C) 3 (D) 9 (E) 5

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La risposta è (A) La risposta è (A)

8 elevato alla 7 è multiplo di 4

Ogni potenza di 3 con esponente multiplo di 4 termina con la cifra 1

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Gara 2015 Gara 2015

Qual è la 2015a cifra dopo la virgola della scrittura decimale di 3/7?

(A) 7 (B) 1 (B) 1 (C) 5 (D) 2 (E) 4

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La risposta è (A) La risposta è (A)

Alla frazione 3/7 corrisponde il numero periodico 0,428571428….le cifre si

ripetono ogni sei posti.

Poiché 2015=6x335+5, la 2015.esima cifra Poiché 2015=6x335+5, la 2015.esima cifra sarà uguale alla quinta, cioè 7

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Gara del 2000 (biennio) Gara del 2000 (biennio)

Qual è la media aritmetica dei numeri 1,2,3,…, 1999,2000?

(A) 999 (B) 999,5 (B) 999,5 (C) 1000 (D) 1000,5 (E)1001

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La risposta è (D) La risposta è (D)

Basta accoppiare il primo e l’ultimo, il

secondo con il penultimo…..tutte le 1000 coppie danno per somma 2001. La somma di tutti i numeri è quindi 2001x1000. La

di tutti i numeri è quindi 2001x1000. La media aritmetica è quindi 2001/2=1000,5

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Gara del 1999 (biennio e triennio) Gara del 1999 (biennio e triennio)

Qual è la cifra delle unità di 1999 elevato a 1999?

(A) 1 (B) 3 (B) 3 (C) 7 (D) 9

(E) nessuna delle precedenti

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La risposta è (D) La risposta è (D)

Scrivere l’esponente 1999 nella forma 2x999+1. Applicando le proprietà delle potenze il numero dato è individuato da 1999x1999al quadrato(numero la cui cifra 1999x1999al quadrato(numero la cui cifra delle unità è 1) elevato a 999

Moltiplicando un numero la cui cifra delle unità è 1 per 1999 si ottiene …..

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Gara triennio 1996 Gara triennio 1996

Dati cinque interi consecutivi, cosa puoi dire della cifra delle unità del loro prodotto?

(A) può essere qualunque cifra (A) può essere qualunque cifra

(B) può essere qualunque cifra pari (C) può essere 0 oppure 5

(D) è sempre 0

(E) nessuna delle precedenti

(23)

La risposta è (D) La risposta è (D)

Fra cinque interi consecutivi almeno uno è divisibile per cinque ed almeno due

sono pari

Il prodotto è certamente divisibile per 10 Il prodotto è certamente divisibile per 10

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Gara biennio 1995 Gara biennio 1995

Quanti sono i numeri interi compresi fra 1000 e 2000 che sono simultaneamente multipli di 4 e di 6?

(A) 42 (A) 42 (B) 83 (C) 166 (D) 249 (E) 250

(25)

La risposta è (B) La risposta è (B)

I multipli di 4 e di 6 sono i multipli di 12.

Se 12k varia tra 1000 e 2000 allora

(dividendo per 12)…. k varia tra 84 e 166 assumendo 166-84+1=83 valori possibili assumendo 166-84+1=83 valori possibili

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Gara 1996 Gara 1996

Quante cifra ha il numero 123456789 elevato alla 6?

(A) 16 (B) 48 (B) 48 (C) 49 (D) 50 (E) 54

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La risposta è (C) La risposta è (C)

Il numero base è esprimibile come ax10^8 Quindi la potenza è a^6x10^48 che ha lo stesso numero di cifre di 10^48 cioè 49.

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Gara 1997 Gara 1997

Sulla lavagna si trova scritto il numero 1. La sola mossa permessa è cancellare il numero scritto sulla lavagna e sostituirlo o con il suo doppio o con il suo quadrato. Qual è il numero più grande che si può ottenere in 8 numero più grande che si può ottenere in 8 mosse?

(A) 2^8 (B) 4^7 (C) 8^8 (D) 2^64 (E) 2^128

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La risposta è (E) La risposta è (E)

In ogni mossa otteniamo un numero maggiore

Massimizzando ogni passo conviene

aumentare la base delle potenze da due a aumentare la base delle potenze da due a quattro (primo passo)

Il massimo dopo n mosse è quindi 4 elevato a 2 alla (n-2)

(30)

Gara 1994 Gara 1994

La cifra delle unità del numero 2137 elevato alla 753 è:

(A) 1 (B) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

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La risposta è (D) La risposta è (D)

Elevando a potenza un numero che 7 come cifra delle unità, si ottengono

numeri che hanno come cifra delle unità, nell’ordine:7, 9, 3, 1, 7…ciclicamente.

nell’ordine:7, 9, 3, 1, 7…ciclicamente.

753= 1+4x188 quindi …

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