SISTEMI LINEARI DINAMICI A TEMPO DISCRETO
Indicato con:
u ( k ) ∈ ℜ
mil vettore delle variabili di ingresso
;k
nx ( ) ∈ ℜ
il vettore delle variabili di stato
;k
py ( ) ∈ ℜ il vettore delle variabili di uscita
;g
f , due funzioni vettoriali, le cui proprietà classificano i sistemi
; un SISTEMA DINAMICO a TEMPO DISCRETO è definito dalle seguenti relazioni costitutive:] ), ( ), ( [ ) 1
( k f x k u k k
x + =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
equazione di stato ]
), ( ), ( [ )
( k g x k u k k
y =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
trasformazione di uscita
Il numero
n
dellevariabili di stato
definisce l’ordine del sistema
. È inteso chek ∈ Z
Quandolefunzioniƒƒƒƒ[x(k),u(k),k] e g[x(k),u(k),k] sono lineari in x(k) e u(k),ovvero quando sia x(k+1) che y(k) sono combinazioni lineari del vettore di stato x(k) e del vettored’ingresso u(k), allora il sistema può essere rappresentato nella forma:
) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
( k A k x k B k u k
x + = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
equazione di stato )
( ) ( ) ( ) ( )
( k C k x k D k u k
y = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
trasformazione di uscita
in cui le matrici
A
(nxn),B
(nxm),C
( pxn)eD
( pxn) sono generalmente funzioni del tempo; in questo caso il sistema si definisce lineare; la matrice A è nota come matrice della dinamica.Se il sistema lineare gode anche della proprietà dell’invarianza nel tempo le matrici A, B, C, e D sono matrici costanti e il sistema è retto dalle seguenti equazioni:
) (
· ) (
· ) 1
( k A x k B u k
x + = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
equazione di stato )
(
· ) (
· )
( k C x k D u k
y = +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
trasformazione di uscita
e le matrici A, B, C e D sono matrici costanti.
Si desidera determinare una successione x(k) che nota la condizione iniziale x(kO)=xO soddisfi la equazione di stato e una volta nota la successione x(k) si determini y(k) applicando l’equazione della trasformazione di uscita. A tale riguardo è immediato osservare che:
O
O
x
k x ( ) =
) (
·
· ) (
· ) (
· ) 1
( k
OA x k
OB u k
OA x
OB u k
Ox + = + = +
) 1 (
) (
) 1 (
· )]
(
·
·[
) 1 (
· ) 1 (
· ) 2 (
2
+ + +
=
= + +
+
= + +
+
= +
O O
O
O O
O O
O O
k Bu k
ABu x
A
k u B k
u B Ax A k
u B k
x A k
x
) 2 (
) 1 (
· )
(
·
) 2 (
· )]
1 (
· ) (
·
·[
) 2 (
· ) 2 (
· ) 3 (
2 3
2
+ +
+ +
+
=
= + +
+ +
+
=
= + +
+
= +
O O
O O
O O
O O
O O
O
k Bu k
u AB k
u B A x A
k u B k
u B k
u AB x
A A
k u B k
x A k
x
La generalizzazione o reiterazione all’istante k della procedura sopra riportata, consente di definire la seguente soluzione per quanto attiene il movimento dello stato x(k); precisamente si ottiene:
4
4 3
4
4 2
4 3 1 42 1
forzato movimento k
k j
j k libero
movimento O k k
O
O
x A B u j
A k
x ∑
−=
−
− −
+
=
1 ( 1) )
(
· · ( )
) (
in cui si deve sottolineare che il movimento libero o risposta libera, dipende solo dalla condizione iniziale xO, mentre il movimento forzato o risposta forzata, dipende solo dall’ingresso u(k).
Per quanto riguarda la determinazione del movimento y(k) dell’uscita è sufficiente fare ricorso alla relazione costitutiva della trasformazione di uscita; infatti, dalla relazione:
) (
· ) (
· )
( k C x k D u k
y = +
noto il movimento x(k) dello stato si perviene alla definizione del movimento dell’uscita mediante la seguente relazione:
4 4 4 4
4 3
4 4 4 4
4 2
1 4 43 4
42 1
forzato movimento k
k j
j k libero
movimento O k
k
x CA B u j D u k
A C k y
O
O
· [ · ( )] · ( )
· )
( =
( )+ ∑
−1 ( 1)+
=
−
−
−
PROCEDURA PER IL CALCOLO DI A
kSia A(nxn) la matrice della dinamica caratteristica di un sistema lineare dinamico e stazionario a tempo discreto. Indicati con λλλλ1, λλλλ2, ... λλλλn gli n autovalori della matrice A, si determini la matrice V∈∈∈∈Rnxn non singolare e, pertanto invertibile, le cui colonne sono costituite dagli autovettori v1, v2, ... vn associati ai rispettivi auto valori. La matrice V è la matrice di passaggio dalla matrice A alla matrice simile diagonale
A ˆ
. In ossequio a quanto stabilito e noto dall’algebra lineare si ha che:AV V A ˆ =
−1Si osserva che se si moltiplica a sinistra la precedente relazione per la matrice V si ottiene:
V A V V A V
I
· ˆ ·
· = 1 2 3
−1⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V · = A ˆ I · A · V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V · = A ˆ A · V
Se ora si moltiplica a destra la relazione appena ricavata per la matrice inversa V−−−−1 si ottiene:
8 7 6
IV V A V
A
V · ˆ ·
−1= · ·
−1⇒ ⇒ ⇒ ⇒
A = V · A ˆ · V
−1Consegue che, considerato l’esponente k∈∈∈∈Z, è immediato evincere che:
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
ˆ ·
·
ˆ ·
· ˆ · ˆ · ˆ ·
· ) ˆ ·
·
·(
· ˆ · ˆ · ˆ ·
· ) ˆ ·
·
·(
ˆ ·
·
· ˆ · ˆ ·
·
) ˆ ·
·
·(
)·
ˆ ·
·
·(
ˆ · ˆ ·
· ) ˆ ·
·
·(
)·
ˆ ·
·
·(
ˆ ·
·
· ˆ ·
·
) ˆ ·
·
·(
)·
ˆ ·
· )·(
ˆ ·
· )·(
ˆ ·
· (
·
·
·
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
V A V
V A A A A V V
A V V
A A A V V
A V V
A V V A A V
V A V V
A V V A A V V
A V V
A V V A V V A V
V A V V
A V V A V V A V A A A A
k
volte k I
volte volte k
k k
43 42
1 L
L L
L L
8 7 6
4 4 4 4 4 4 4
4 8
4 4 4 4 4 4 4
4 7
6
L 4 8
47 6
L
Pertanto, si conclude che:
A
k= V · A ˆ
k· V
−1Il metodo considerato ammette la comoda rappresentazione grafica evidenziata qui di lato. La matrice NON SINGOLARE V di passaggio definisce la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori vi, che ordinatamente corrispondono agli autovalori λλλλi della matrice A della dinamica.
ESEMPIO 1: Assegnata la matrice A di ordine 2, di seguito riportata, si desidera determinare l’espressione di Ak.
= −
0 2
1 A 3
•••• Determinazione degli autovalori della matrice A
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico pA(λλλλ) associato alla matrice A; quindi
Aˆ
A
kAˆ
kA
V
−−−−1AV VAV
−−−−1si relazione come segue:
2 3 2
) 3 2 ·(
1 ]) 3
det([
)
( − − = − + =
2− +
=
−
= λ λ λ λ
λ λ λ
λ I A
p
AGli autovalori cercati sono le soluzioni dell’equazione caratteristica
det([ λ λ λ λ I – A]) = 0
, quindi:0 2
2
− 3 λ + =
λ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2 1 3 2
8 9 3
2 , 1
= ±
−
= ±
λ
1 1
2 1
=
= λ λ
1 1
=
= ν ν
La matrice A presentando due autovalori reali semplici e ,quindi, regolari è diagonalizzabile e la sua forma diagonale è definita dalla matrice V le cui colonne sono costituite dagli autovettori.
•••• Determinazione degli autovettori della matrice A
In ossequio alla definizione di autovalore di una matrice e di autovettore associato all’autovalore si relaziona come segue:
1 1
· v
1v
A = λ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
=
− b
a b
a 1 · 0 ·
2 1
3
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
=
−
= +
b a
a b a
2
3
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−
=
−
= a b
a b
2 2
L’autospazio relativo a λλλλ1=1 è dato dai vettori:
−
=
−
= 2
· 1
2 a
a
v a
; posto a=1 si ha:
−
= 2 1 v
12 2
· v
2v
A = λ
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
=
− b
a b
a 2 · 0 ·
2 1
3
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
=
−
= +
b a
a b a
2 2
2
3
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
=
−
=
− a b
a b
L’autospazio relativo a λλλλ2=2 è dato dai vettori:
−
=
−
= 1
· 1 b b
v b
; posto b=1 si ha:
−
= 1 1 v
1•••• Determinazione della matrice non singolare V di passaggio per ricavare la forma diagonale della matrice A
La matrice di passaggio V, tale che det(V)≠≠≠≠0, è la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A; si ottiene, pertanto, quanto segue:
− −
=
= 2 1
1 ] 1
[ v
1v
2V
⇒det( V ) = − 1 + 2 = 1
⇒
−
= −
−
=
1 2
1 ) 1
) ( det(
1
1
ca
V
TV V
Pertanto la forma diagonale
A ˆ
della matrice A è definita dalla seguente relazione:
=
− −
−
= −
− −
−
−
= −
=
−2 0
0 1 1 2
1
· 1 2 4
1 1 1
2 1
· 1 0 2
1
· 3 1 2
1 ˆ V
1AV 1
A
La forma diagonale della matrice A è rappresentata dalla matrice
A ˆ
la cui diagonale principale è costituita dagli autovalori della matrice A.•••• Determinazione della matrice
A ˆ
kDato che trattasi di una matrice diagonale, è immediato effettuare il calcolo in forma chiusa della k-esima potenza della matrice in oggetto, ricordando anche che 1k=1 per ogni k∈∈∈∈Z; quindi si ha:
=
=
k k k
A
k2 1 2
1
0 0 0
ˆ 0
λ λ λ
λ
=
=
=
kk k k
A
k2 0
0 1 2
0 0 1 2
0 0 ˆ 1
•••• Determinazione della matrice
A
kIl calcolo della matrice
A
k è definito, in ossequio a quanto ottenuto nella trattazione teorica, dalla relazione seguente:
−
−
− −
=
−
−
− −
=
=
−1 2
1
· 1 2 2
2 1 1
2 1
· 1 2 0
0
· 1 1 2
1 ˆ
11
k k k
k
k
V A V
A
Completando i dovuti calcoli afferenti il prodotto delle due matrici si perviene alla relazione finale:
−
−
+
− +
= −
−
−
− −
=
k kk k
k k
A
k2 2 2
· 2 2
2 1 2
· 2 1 1
2 1
· 1 2 2
2
1
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+
− +
−
−
=
+−
+
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1
k k
k k
A
kMODELLI A TEMPO DISCRETO
••••
I modelli a tempo discreto nascono dal fatto che le variabili di stato vengono osservate oppure assumono un significato preciso solo in determinati istanti.••••
A volte l’istante k indica l’istante in cui attuo una decisione, in questo caso prendono il nome di modelli di decisione;MODELLO DI MALTUS: la popolazione tende ad aumentare più rapidamente dei suoi mezzi di sussistenza; quindi le carestie e le guerre sono inevitabili;
x1(k) = numerosità della popolazione umana al decennio k;
x2(k) = quantità di risorse disponibili al decennio k y(k) = quantità di risorse pro capite
si tratta di un sistema privo di ingressi, noto come sistema autonomo, u(k) = 0.
a) mediamente un essere umano fa più di un figlio in 10 anni:
) ( )
1
(
11
k x k
x + = α ⋅
con:α > 1
b) le risorse disponibili aumentano in progressione aritmetica:
β +
= + 1 ) ( )
(
22
k x k
x
con:β > 0
c) le risorse pro capite sono date da:
) (
) ) (
(
1 2
k x
k k x
y =
d) supponendo di partire dalle seguenti condizioni iniziali:
x
1( 0 ) = x
10x
2( 0 ) = x
20La formula di Lagrange afferma:
∑
−=
−
+
−=
1
0
0 1
· · ( )
· )
(
ki
i k
k
x b u i
k
x α α
Ed essendo nel nostro caso u(i)=0, dalla prima equazione si ottiene:
10 1
( k ) · x x = α
kmentre dalla seconda equazione si ha:
x k x β x k β
k
i
+
= +
= ∑
−=
20 1
0 20 2
( )
le risorse pro capite sono date da:
10 20 1
2
) · (
) ) (
( x
k x k x
k k x
y
kα β
= +
=
da cui:0
lim · ) ( lim
10 20
=
+
=
→∞∞
→
x
k k x
y
kk
k
α
β
Si evince che col passare degli anni il rapporto tende a zero. È inoltre interessante osservare, che il risultato conseguito NON dipende dalla conoscenza dei parametri ααα e βα βββ.
ESERCIZIO 1
: Una banca propone un tasso di interesse i=3% trimestrale, mentre un’altra banca offre un tasso i*=12,5% annuale. Se l’intenzione è di mantenere il capitale investito I per una durata non inferiore a un anno, quale dei due investimenti è conveniente?Si tratta di un sistema dinamico lineare a tempo discreto nel quale la variabile di stato x(k) viene individuata nel capitale I investito e l’uscita y(k) dal capitale maturato. Il modello è caratterizzato dalle seguenti equazioni di stato e trasformazione dell’uscita:
) ( )
( ) 1
( k x k i x k
x + = + ⋅
) ( ) ( k x k
y =
Analizziamo la dinamica del sistema per le due differenti tipologie di investimento proposte dalla banca al fine di individuare quella più conveniente per l’investitore.
a) investimento al tasso i=3% trimestrale.
Indicati con
x
1( k ) = I
il capitale investito all’inizio del primo trimestre;) 1
1
( k +
x
il capitale investito all’inizio del secondo trimestre;) 2
1
( k +
x
il capitale investito all’inizio del terzo trimestre;) 3
1
( k +
x
il capitale investito all’inizio del quarto trimestre;) ( )·
1 ( ) ( )
( ) 1
(
1 1 11
k x k i x k i x k
x + = + ⋅ = +
) (
· ) 1 ( ) ( )·
1 )·(
1 ( ) 1 ( )·
1 ( ) 1 ( )
1 ( ) 2
(
1 1 1 1 2 11
k x k i x k i x k i i x k i x k
x + = + + ⋅ + = + + = + + = +
) (
· ) 1 (
) (
· ) 1 )·(
1 ( ) 2 ( )·
1 ( ) 2 ( )
2 ( ) 3 (
3 1
1 2 1
1 1
1
k x i
k x i i
k x i k
x i k
x k
x
+
=
= +
+
= + +
= +
⋅ + +
= +
) (
· ) 1 (
) (
· ) 1 )·(
1 ( ) 3 ( )·
1 ( ) 3 ( )
3 ( ) 4 (
1 4
3 1 1
1 1
1
k x i
k x i i
k x i k
x i k
x k
x
+
=
= +
+
= + +
= +
⋅ + +
= +
Pertanto, dopo un anno, cioè dopo quattro trimestri, il capitale complessivo C è determinato da:
I I
I I
i
C
1= ( 1 + )
4· = ( 1 + 0 , 03 )
4· = ( 1 , 03 )
4· = 1 , 125509 ·
b) investimento al tasso i=12,5% annuale.
Per questo tipo di investimento detto C2 il capitale complessivo conseguito dopo un anno, si avrà:
I I
I i I
i I
C
2= + *· = ( 1 + *)· = ( 1 + 0 , 125 )· = 1 , 125 ·
Si conclude che il primo investimento è, quindi, leggermente più conveniente del secondo e, più precisamente, dello 0,05% all’anno.
Supponiamo, ora, che le spese di gestione siano pari a S=3euro al mese per l’investimento con il tasso trimestrale e S’=3euro annuo nel caso dell’investimento annuale. Si chiede quale dei due investimenti sarà più conveniente.
a) investimento al tasso i=3% trimestrale e spese S=3euro trimestrali.
S k x i S
k x i k x k
x
1( + 1 ) =
1( ) + ⋅
1( ) − = [( 1 + )·
1( )] −
S S i k
x i S
S k x i i
S k
x i S
k x i k
x k
x
− +
− +
=
−
− +
⋅ +
=
=
− + +
=
− +
⋅ + +
= +
)·
1 ( ) (
· ) 1 ( ]
) ( )·
1 [(
) 1 (
)]
1 ( )·
1 [(
)]
1 ( [ ) 1 ( ) 2 (
1 2 1
1 1
1 1
S S i S
i k
x i
S S S i k
x i i
S k
x i S
k x i k
x k
x
−
⋅ +
− +
− +
=
=
−
− +
− +
⋅ +
=
=
− + +
=
− +
⋅ + +
= +
) 1 (
· ) 1 ( ) (
· ) 1 (
] )·
1 ( ) (
· ) 1 [(
) 1 (
)]
2 ( )·
1 [(
)]
2 ( [ ) 2 ( ) 3 (
2 1
3
2 1
1 1
1 1
=
−
−
⋅ +
− +
− +
⋅ +
=
=
− + +
=
− +
⋅ + +
= +
S S S i S
i k
x i i
S k
x i S
k x i k
x k
x
] )
1 (
· ) 1 ( ) (
· ) 1 [(
) 1 (
)]
3 ( )·
1 [(
)]
3 ( [ ) 3 ( ) 4 (
2 1
3
1 1
1 1
] ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1
·[
) (
· ) 1 (
) 1 ( )
1 (
· ) 1 ( ) (
· ) 1 (
3 2
1 4
2 1 3
4
i i
i S
k x i
S S i S
i S
i k
x i
+ + + + + +
− +
=
=
−
⋅ +
−
⋅ +
− +
− +
=
Pertanto, tenuto conto delle spese di gestione S=3€, dopo un anno, cioè dopo quattro trimestri, il capitale complessivo C è determinato da:
5509 . 12
· 125509 ,
1 ] ) 03 , 1 ( ) 03 , 1 ( 03 , 1 1
·[
3
· ) 1
(
4 2 31
= + i I − + + + = I −
C
Si osservi che quanto ottenuto altro non è che una diversa scrittura del risultato afferente l’utilizzo della formula di Lagrange per il calcolo del movimento dello stato per i sistemi a tempo discreto in cui lo stato iniziale xko risulta rappresentato dal capitale che si intende investire, cioè: xko = I e l’ingresso è costituito dalle spese di gestione, cioè: u(k) = S.
Ricordando che: A=(1+i), B=-1, C=1, D=0, k=4, kO =0, per il movimento dello stato si ottiene quanto di seguito esplicitato:
] ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1
·[
· ) 1 (
· )
1 (
· ) 1 ( ) (
·
· )
(
3 2
4
3
0
) 1 4 ( 1 4
) 1 ( )
(
i i
i S
I i
S i
I i j
u B A
x A
k x
j k j
k j
j k k
k k
O O
O
+ + + + + +
− +
=
= +
− +
=
⋅ +
= ∑ ∑
=
−
− −
=
−
−
−
E per il corrispondente movimento dell’uscita si verifica quanto segue:
] ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1
·[
· ) 1 (
· )
1 (
· ) 1 ( ) ( )
(
·
·
· ) (
3 2
4
3
0
) 1 4 ( 1 4
) 1 ( )
(
i i
i S
I i
S i
I i k
Du j
u B A
C x
A C k y
j k j
k j
j k k
k k
O O
O
+ + + + + +
− +
=
= +
− +
= +
⋅ +
= ∑ ∑
=
−
− −
=
−
−
−
b) investimento al tasso i=12,5% annuale e spese S=3euro all’anno.
Per questo tipo di investimento detto C2 il capitale complessivo conseguito dopo un anno, si avrà:
3
· 125 , 1 )·
125 , 0 1 ( ]
*)·
1 [(
)
*·
2
= ( I + i I − S = + i I − S = + I − S = I −
C
Il problema dell’individuazione dell’investimento più vantaggioso in conseguenza della differente influenza delle spese di gestione stabilita dalla banca è evidentemente legato al valore del capitale iniziale I che si intende investire; infatti il confronto dei due capitali C1 e C2 maturati alla fine anno consente di relazionare come segue:
5509 , 9 10
509 , 0 3
· 125 , 1 5509 , 12
· 125509 ,
1
32
1
> C ⇒ I − > I − ⇒ ⋅
−I >
C
In conclusione si ottiene:
764 . 09 18
, 5 95509 509
, 0
10
· 5509 , 9 10
509 , 0
5509 ,
9
33
⇒ > ⇒ > ⇒ >
> ⋅
−I I I
I
Pertanto, si evidenzia che:
•••• per un capitale iniziale I>18.764 euro è conveniente accettare l’investimento che offre un tasso i=3% trimestrale e spese S=3euro trimestrali;
•••• per un capitale iniziale I < 18.764 euro è conveniente accettare l’investimento che offre un
tasso annuale i=12,5% e spese S=3euro all’anno.
ESERCIZIO 2: Un magazzino di frutta e verdura vende ogni giorno una quantità di zucchine pari a u1 e ne acquista dal contadino una quantità pari a u2. Il magazzino fissa all’inizio di ogni giorno il prezzo delle zucchine sommando al prezzo del giorno precedente una quota proporzionale, tramite la costante αααα, alla differenza fra la quantità di zucchine immagazzinate all’inizio del giorno precedente. La quantità di zucchine immagazzinate all’inizio del giorno è pari alla quantità all’inizio del giorno precedente, meno la quantità di zucchine vendute durante il giorno precedente più la quantità di zucchine acquistate dal contadino durante il giorno precedente. Si chiede di: a) determinare il sistema dinamico che descrive la dinamica del prezzo e della quantità di zucchine giacenti in magazzino; b) calcolare la funzione di trasferimento fra gli ingressi u1 e u2 e il prezzo e la quantità di zucchine giacenti in magazzino.
(Prova in Itinere 23 novembre 2005)
Definizione delle variabili di stato, degli ingressi e dell’uscita u1(k) = quantità di zucchine vendute il giorno k;
u2(k) = quantità di zucchine acquistate il giorno k;
p(k) = prezzo fissato all’inizio del giorno k;
q(k) =quantità di zucchine presenti in magazzino al giorno k;
y(k) = p(k)
Determinazione del sistema a tempo discreto che descrive la dinamica del prezzo e della quantità di zucchine giacenti in magazzino.
=
+
−
= +
⋅ +
⋅
−
= +
⇒
=
−
−
= +
− +
= +
) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) 1 (
) ( )
( )
( ) 1 (
) ( ) (
)]
( ) ( [ ) ( ) 1 (
)]
( ) (
·[
) ( ) 1 (
2 1
1 2
1 1
k p k y
k u k u k q k
q
k u k
q k
p k
p
k p k y
k u k u k q k
q
k q k u k
p k
p α α α
Le matrici associate al sistema dinamico in oggetto sono di seguito riportate:
[ 1 0 ] [ 0 0 ]
1 1
0 1
0
1 = =
= −
−
= B C D
A α ; α ; ;
Determinazione della funzione di trasferimento G(z) )2
1 ( ]) det([
1 0
] 1
[ ⇒ − = −
−
= −
− zI A z
z A z
zI
α
, a cui corrisponde la matrice inversa:
−
−
⋅ −
= −
− −
1 0
1 )
1 ( ] 1
[ 1 2
z z A z
zI
α
Per definizione di Funzione di Trasferimento G(z) , ricordando che il sistema è costituito dai due ingressi u1(k) e u2(k) e dall’uscita y(k) si può scrivere quanto segue:
⋅
⇒ =
⋅
= ( )
) ] (
) ( )
( [ ) ( )
( ) ( ) (
2 1 12
11
U z
z z U
G z G z Y z
U z G z Y
Si ottiene, pertanto, la relazione matriciale atta alla definizione della funzione vettoriale G(z) che determina la funzione di trasferimento.
[ ]
⋅ −
−
−
⋅ −
⋅ −
=
−
⋅
=
−1 1
0 1
0 1 )
1 ( 0 1 1 ]
[ )
(
1 2α α
z z
B z A zI C z G
[ ] [ ]
[ α α α ] [ α α α α ]
α α α
α
− +
−
− ⋅
=
−
−
−
−
− ⋅
=
=
⋅ −
−
−
− ⋅
=
⋅ −
−
−
⋅ −
− ⋅
=
z z z z
z z z
z z z
G
) · 1 ( ) 1
1
·(
) 1 ) ·(
1 (
1
1 1 1 0
) 1 (
1 1
1 0 1
0 0 1 ) 1
1 ( ) 1 (
2 2
2 2
La funzione di trasferimento G(z) è costituita dalla matrice come di seguito esplicitato:
−
−
= −
=
11 12 2 2) 1 ( ) 1 ( ] · ) ( )
( [ )
( z z
z z G z G z
G α α
Posto per comodità G11(z)=G1(z) e G12(z)=G2(z), l’uscita Y(z) è legata agli ingressi U1(z) e U2(z) dalla relazione:
−
−
= −
⋅
=
2 22 1 2
1
( 1 ) ( 1 )
· )
( ) ] (
) ( )
( [ )
( z z
z z
U z z U
G z G z
Y α α
, dalla quale si conclude che:
) ( ) · 1 ) (
) ( 1 ( ) ·
(
2 1 2U
2z
z z z U
z z
Y ⋅ − −
= α − α
ESERCIZIO 3: Si consideri unallevamento ditroteclassificabili nelletre classidi età:neonati, individui giovani, individui vecchi. Ogni anno si possono immettere neonati e prelevare individui vecchi; i prelievi e le immissioni avvengono alla fine dell’anno k e vengono conteggiati all’inizio dell’anno (k+1). Dopo un anno i neonati diventano giovani e i giovani diventano vecchi.
I neonati che sopravvivono sono una frazione a del numero totale, i giovani che sopravvivono sono una frazione b del totale, i vecchi che sopravvivono sono una frazione c del totale.
Solo i giovani possono riprodursi e vengono generati ogni anno mediamente d neonati per ogni individuo che era giovane l’anno precedente.
Si desidera determinare: a) le matrici A e B del modello dinamico a tempo discreto che descrive l’allevamento di trote; b) lo stato di equilibrio; c) i valori dei coefficienti a, b, c, d per i quali il sistema è asintoticamente stabile. (Prova in Itinere 20 novembre 2008).
•••• definizione delle variabili di ingresso e delle variabili di stato
u1(k) = numero di neonati immessi nell’allevamento alla fine dell’anno k u2(k) = numero di vecchi prelevati dall’allevamento alla fine dell’anno k x1(k) = numero di neonati
x2(k) = numero di trote giovani x3(k) = numero di trote vecchie
•••• descrizione del modello; equazioni di stato
il numero di trote giovani all’inizio dell’anno (k+1) è determinato dalla somma del numero di neonati u1(k), immessi nell’allevamento alla fine dell’anno k, e del numero dei neonati dx2(k) generati dalle trote giovani all’anno k; pertanto si relaziona come segue:
) ( ) ( )
1
(
2 11
k dx k u k
x + = +
il numero di trote giovani all’inizio dell’anno (k+1) è determinato dalla frazione a del totale di neonati x1(k) che sono sopravvissuti; pertanto si ha:
) (
· ) 1
(
12
k a x k
x + =
il numero di trote vecchie all’inizio dell’anno (k+1) è determinato dalla somma della frazione bx2(k) di trote giovani x2(k)che sopravvivono e della frazione c x3(k) di trote vecchie x3(k) che sopravvivono; a tale somma deve essere tolto il numero delle trote vecchie u2(k) che vengono prelevate alla fine dell’anno k; pertanto si relaziona come segue:
) ( ) (
· ) (
· ) 1
(
2 3 23
k b x k c x k u k
x + = + −
a) Il sistema dinamico lineare definito nel tempo discreto è descritto, nello spazio degli stati, dalle equazioni caratteristiche di seguito riportate:
) ( ) ( )
( )
1 (
) ( )
1 (
) ( ) ( )
1 (
2 3
2 3
1 2
1 2
1
k u k cx k bx k
x
k ax k
x
k u k dx k
x
− +
= +
= +
+
= +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
x ( k + 1 ) = A · x ( k ) + B · u ( k )
Le matrici A e B caratteristiche della rappresentazione del sistema dinamico lineare nello spazio di stato si determinano dalla corrispondente scrittura matriciale per il sistema in esame; si ottiene:
− +
=
+ + +
=
+ ( )
)
· ( 1 0
0 0
0 1
) (
) (
) (
· 0
0 0
0 0
) 1 (
) 1 (
) 1 ( )
1 (
2 1
3 2 1
3 2 1
k u
k u k
x k x
k x
c b a
d
k x
k x
k x k
x
Le matrici A(3x3) e B(3x2) richieste dalla traccia sono, pertanto, espresse dalle posizioni seguenti:
=
c b a
d A
0
0 0
0 0
e
−
=
1 0
0 0
0 1 B
b) la determinazione dello stato di equilibrio si ottiene imponendo la condizione
x(k+1) = x(k)
.2 3 2
3
1 2
1 2 1
·
·
·
·
u x c x b x
x a x
u x d x
− +
=
=
+
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2 2 3
3
1 2
2
1 2 1
·
·
·
·
·
u x b x c x
u a x ad x
u x d x
−
=
−
+
=
+
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2 2 3
1 2
2
1 2 1
· )·
1 (
·
·
·
u x b x c
u a x ad x
u x d x
−
=
−
=
−
+
=
Svolgendo gli ulteriori dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottiene quanto viene di seguito esplicitato:
2 2 3
1 2
1 2 1
· )·
1 (
· )·
1 (
·
u x b x c
u a x ad
u x d x
−
=
−
=
−
+
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
1 2 3
2 1
1 2 1
) 1 ( )· · 1 (
) 1 (
·
·
ad u u x ab
c
ad u x a
u x d x
− −
=
−
= −
+
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
) 1 ( ) 1 )·(
1 (
· ) 1 (
· ) 1 (
·
2 3 1
2 1
1 1 1
c u ad
c u x ab
ad u x a
ad u u x ad
− −
−
= −
= −
− +
=
) 1 )·(
1 (
)·
1 (
· ) 1 (
· ) · 1 (
1
2 3 1
2 1
1 1
ad c
u ad u
x ab
ad u x a
ad u ad x ad
−
−
−
= −
= −
−
−
= +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
) 1 )·(
1 (
)·
1 (
· ) · 1 (
) · 1 (
1
2 3 1
1 2
1 1
ad c
u ad u
x ab
ad u x a
ad u x
−
−
−
= −
= −
= −
b) la determinazione dei valori dei coefficienti a, b, c, d affinché il sistema sia asintoticamente stabile attiene al soddisfacimento della condizione necessaria e sufficiente relativa ai valori assunti dagli autovalori della matrice A della dinamica. Infatti, il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori λλλλi hanno il modulo inferiore all’unità, ovvero: λλλλi<1. Per questo, la determinazione degli autovalori attiene al calcolo delle radici del polinomio caratteristico associato alla matrice A. Si ottiene:
c b
a d
c b a
d
o A
I p
A−
−
−
−
=
−
=
−
=
λ λ λ
λ λ λ λ
λ
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0
0 0 det
) det(
)
(
, da cui:0 ) det(
)
( = I − A =
p
Aλ λ
⇒
0
0
0 0
=
−
−
−
−
c b
a d
λ λ λ
