PROBLEMI DI TRIGONOMETRIA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
1 Calcolare il cateto minore sapendo che lβipotenusa vale πππ e lβangolo opposto Γ¨ uguale ππΒ° . SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene:
π = π πππ πΈ Ossia
π= ππ πππ ππΒ° = ππ Γπ
π= πππ
2 Calcolare il cateto maggiore sapendo che lβipotenusa vale πππ e lβangolo opposto Γ¨ uguale ππΒ° . SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene:
π = π πππ π· Ossia
3 Sapendo che i cateti π e π misurano rispettivamente ππ e πππ determinare la misura dellβipotenusa π e lβampiezza degli angoli π e π.
SVOLGIMENTO
Applicando il teorema di Pitagora si ha
π= βππ+ ππ= βππ + πππ = βπππ= πππ Applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ha
π = π ππ π· β ππ π· =π
πβ ππ π· = π
ππβπ· = πππππ π
ππ~ππ, ππΒ°
Inoltre, si deduce che πΈ= ππΒ° β π· = ππΒ° β ππ, ππΒ°= ππ, ππΒ°
4 Sapendo che lβipotenusa π e il cateto π misurano rispettivamente πππ e πππ determinare la misura del cateto π e lβampiezza degli angoli π e π.
SVOLGIMENTO
Applicando il teorema di Pitagora si ha
π= βππβππ= βππππ β ππππ = βπππ= πππ
Applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ha π = π ππ π· β ππ π· =π
πβ ππ π· =ππ ππ=ππ
π βπ· = πππππ ππ
π = πππππ π, π ~ ππ, ππΒ°
Inoltre, si deduce che
πΈ= ππΒ° β π· = ππΒ° β ππ, ππΒ°= ππ, ππΒ°
5 Determinare la misura dellβipotenusa π , la misura del cateto π e lβangolo acuto π sapendo che il cateto π = ππ e πΈ = ππΒ°.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene:
π = π πππ πΈ β π = π πππ πΈ Ossia
π= π
πππ ππΒ°= π:βπ
π = π Γ π
βπ= πβππ
Inoltre, essendo un triangolo rettangolo isoscele si ha π= π= ππ e
π·= ππΒ° β πΈ = ππΒ° β ππΒ°= ππΒ°
6 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che il cateto π misura 15u e lβangolo πΈ = ππΒ°
determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene π = π ππ πΈ
Ossia
π= ππ ππ ππΒ° = ππ Γβπ
π = πβππ Inoltre, applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ha
π = π πππ πΈ β π = π πππ πΈ Ossia
π= ππ
πππ ππΒ°= ππ βΆβπ
π = ππ Γ π
βπ= ππ Γπβπ
π = ππβππ
Oppure, applicando il teorema di Pitagora si ottiene
π= βππ+ ππ = β(ππ)π+ (πβπ)π= βπππ + ππ = βπππ = βπ Γ πππ= ππβππ Inoltre, si deduce che
π·= ππΒ° β πΈ = ππΒ° β ππΒ°= ππΒ°
7 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che lβipotenusa π misura 24u e lβangolo π· = ππΒ°
determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene:
π = π πππ π· Ossia
π= ππ πππ ππΒ° = ππ Γβπ
π = ππβππ
Inoltre, applicando nuovamente il primo teorema sui triangoli rettangoli si ha π = π πππ π·
Ossia
π= ππ πππ ππΒ° = ππ Γπ
π= πππ
Oppure, applicando il teorema di Pitagora si ottiene
π= βππβ ππ= βπππβ (ππβπ)π = βπππ β πππ = βπππ= πππ
Oppure, applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ha π = π πππ π·
Ossia
π= ππβπ πππ ππΒ° = ππβπΓβπ
π = πππ Inoltre, si deduce che
8 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che i cateti π e π misurano rispettivamente 8u e πβππ determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Applicando il teorema di Pitagora si ha
π= βππ+ ππ= βππ + πππ = βπππ= πππ
Applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ha
π = π ππ π· β ππ π· =π
πβ ππ π· = π πβπ= π
βπ=βπ
π βπ· = πππππ βπ π = ππΒ°
Inoltre, si deduce che
πΈ= ππΒ° β π· = ππΒ° β ππΒ°= ππΒ°
9 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che lβipotenusa π misura 48u e il cateto π misura 24u determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene:
π = π πππ π· β πππ π· =π π Ossia
πππ π· =ππ ππ=π
πβπ· = ππππππ π
π= ππΒ°
Inoltre, si deduce che
πΈ= ππΒ° β π· = ππΒ° β ππΒ°= ππΒ°
Infine, applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ha π = π ππ πΈ
Ossia
π= ππ ππ ππΒ°= ππβππ
10 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che il cateto π misura 22u e lβangolo πΈ = ππΒ°
determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene π = π ππ πΈ
Ossia
π= ππ ππ ππΒ° = ππ Γ π= πππ
Inoltre, essendo un triangolo rettangolo isoscele si ha
π·= ππΒ° β πΈ = ππΒ° β ππΒ°= ππΒ°
e applicando il teorema di Pitagora si puΓ² scrivere
π= βππ+ ππ= βπππ+ πππ= βπ Γ πππ= ππβππ
Oppure applicando la formula inversa del primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene π = π πππ πΈ βπ = π
πππ πΈ Ossia
π= ππ
πππ ππΒ°= ππ:βπ
π = ππ Γ π
βπ= ππβππ
11 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che lβipotenusa π misura 28u e lβangolo πΈ = ππΒ°
determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene π = π πππ πΈ
Ossia
π= ππ πππ ππΒ° = ππ Γβπ
π = ππβππ
Inoltre, essendo un triangolo rettangolo isoscele si deduce che π·= ππΒ° β πΈ = ππΒ° β ππΒ°= ππΒ°
e
π = ππβπ π
Infatti, applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene π = π ππ π·
π= ππβπ ππ ππΒ° = ππβπ Γ π= ππβππ Oppure applicando il teorema di Pitagora si puΓ² scrivere
π= βππβ ππ= βπππβ (ππβπ)π= βπππ β πππ = βπππ= ππβππ
12 Dato il triangolo ABC, retto in A, e sapendo che lβipotenusa π misura 26u e il cateto π misura 10u determinare i rimanenti elementi della figura.
SVOLGIMENTO
Osservando la figura e applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli si ottiene:
π = π πππ π· β πππ π· =π π Ossia
πππ π· =ππ ππ= π
ππβπ· = ππππππ π
ππ ~ ππ, ππΒ°
Inoltre, si deduce che
πΈ= ππΒ° β π· = ππΒ° β ππ, ππΒ° ~ ππ, ππΒ°
Infine, applicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli si ha π = π ππ πΈ
Ossia
π= ππ ππ ππ, ππΒ° = ππ Γ π, π= πππ Oppure applicando il teorema di Pitagora si puΓ² scrivere
π= βππβ ππ= βπππβ πππ= βπππ β πππ = βπππ= πππ
