Capitolo 5 Determinazione del cuscinetto di primo tentativo

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Determinazione del cuscinetto di

primo tentativo

In questo capitolo sono descritte tutte le metodologie attraverso le quali è stato determi-nato e validato il cuscinetto di partenza da modellare nell’assembly CAD; si è fatto uso di ambiente Excel per l’analisi di primo tentativo e di Matlab per una verifica più accurata dei risultati.

5.1 Obiettivo dell’analisi

L’obiettivo dell’analisi qui esposta `e quello di generare una procedura atta alla realiz-zazione di un foglio elettronico in ambiente Excel che:

1. riceve in input i parametri di catalogo e di durata relativi a un gruppo di cuscinetti della serie serie A-2Z (visti in 3) e ne valuta i P(k)_;

2. riceve in input tutti i parametri del veicolo necessari alla determinazione dei carichi di missione (analizzati in 4) e valuta la funzione Pm;

3. determina il cuscinetto pi`u idoneo per il veicolo in progetto fornendo un valore iniziale di of f set attraverso l’applicazione della funzione di validazione cuscinetto descritta nel prossimo paragrafo.

In output dal foglio elettronico si ottiene un cuscinetto della tipologia HB1: succes-sivamente viene creato il modello CAD in ambiente ProEngineer della tipologia HBU3 equivalente ad esso e posizionato in modalit`a assembly con un valore di offset iniziale pari quello ricavato dal foglio di calcolo. Successivamente viene fatto interagire con gli altri componenti del gruppo ruota nei capitoli7,8, 9.

5.2 Funzione di validazione cuscinetto

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           P(k) _{= P} _{C, R, L} veic, a(k)af f, a (k) SKF ! , a(k)_SKF = a(k)_SKF ηc κ ν(T ), ν1(dm, n) , P u, P(1)_{, d} m , (5.1) e                                          Pm = Pm Fr j, Faj, Xj, Yj, Uj ! , Fr j = Fr j Fz j, µx, µy, γj , Faj = Faj Fz j, µx, µy, γj, α, Cγ, ε1 e, q, ε2 R, q , Fz j = Fz j m, b, l, h, t, axj, ay j, Rφ ; Xj, Yj = ( (1, 0.78) se |Faj|/Fr j ≤ 0.86 (0.63, 1.24) se |Faj|/Fr j > 0.86 , (5.2)

supponendo per il momento l’applicazione delle stesse ad un solo cuscinetto della serie scelta.

Parametri fissati

Cuscinetto Veicolo Missioni veicolo

D m axj d b a_{y j} L l Uj q h Cγ α t γj C R Rφ Pu µx n µy ν ν1 T Lveic

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La prima funzione tiene conto di tutti i parametri tali da fornire un valore di P nec-essario a garantire la durata Lveic; la seconda invece di tutti i parametri coinvolti nella

determinazione del Pm per le prove di missione veicolo.

La scelta di un cuscinetto da catalogo, la definizione dei parametri di missione di carico, e la decisione delle dimensioni del veicolo di progetto e della griglia di pneumatici utilizzata per quest’ultimo permette di fissare tutti i parametri in tabella 5.1 dai quali sono dipendenti le funzioni suvviste.

Sostituendo nelle (5.1) e (5.2), i valori fissati dei parametri suddetti (si ricordi che per ogni quantit`a con indice j ce ne sono da inserire otto, cos`ı come sono le missioni veicolo considerate), si ottengono delle funzioni semplificate del tipo:

P(k)_{= P}_a(k) af f, a (k) SKF , (5.3) e            Pm = Pm Faj ε1, Xj, Yj ; Xj, Yj = ( (1, 0.78) se |Faj|/Fr j ≤ 0.86 (0.63, 1.24) se |Faj|/Fr j > 0.86 , (5.4)

Qualora venga stabilito un valore per i coefficienti correttivi aaf f o aSKF (secondo

i criteri visti in 3.2 nella formula (3.2) e seguenti), la (5.3) non risulta pi`u essere una funzione, ma un valore fissato P(k) _{secondo il k-esimo criterio di correzione scelto.}

La (5.4) risulta invece essere una funzione nell’unica variabile ε1, dove per`o i vincoli

sui valori della coppia (Xj, Yj) sono condizionati dall’andamento della funzione Faj(ε1)

(e quindi da ε1 essendo valutabili solo attraverso il rapporto |Faj|/Fr j); di conseguenza

(Xj, Yj) non risultano univocamente determinati a meno che non sia noto il valore della

Faj.

Il sistema utilizzato in questa trattazione per sciogliere i vincoli `e quello di ricavare m valori esperienziali ε∗

1 attraverso l’analisi di benchmark di m veicoli noti Fiat paragonabili

a quello da progettare; in sostanza sono stati rilevati gli m valori di q∗ _{ed of f}∗ _dai

complessivi di disegno di m vetture (l’apice ∗ indica che le quantità non sono variabili, ma dati noti). Poiché nel paragrafo4.1.1 si è visto che

e = q

2 − of f, (5.5)

e nel paragrafo4.2.1 `e stata definita ε1 =

e

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Off

ε1 q/2

q/2

Fig. 5.1: Andamento diof f ε1 con q fissato.

tramite semplici passaggi si pu`o ottenere ε1 = 1 2− of f q , (5.7) oppure of f = q 1 2 − ε1 , (5.8)

dalle quali si evince la possibilit`a di determinare ε1, qualora sia noto il valore di offset e

la dimensione q di un qualsiasi cuscinetto, oppure of f se si conoscono ε1 e q. L’andamento

della (5.8) `e riportato in figura 5.1. Per ε1 tendente a valori negativi, of f risulta

positi-vo crescente (il centro ruota si allontana dal cuscinetto lungo l’asse ruota verso l’esterno vettura). In realt`a, la condizione per cui of f = 0 `e ottenuta per ε1 = q/2 (e = q/2)

ovvero centro cuscinetto coincidente con il centro ruota, quindi l’offset risulta essere una funzione positiva crescente su tutto l’intervallo di ε1 [q/2,−∞).

Una volta che siano stati ricavati gli m valori di ε∗

1 (dai q∗ e of f∗) questi vengono

inseriti uno per volta in ciascuna delle Faj, valutando il valore massimo del rapporto

|Faj|/Fr j

∗

max, attraverso il quale vengono rilevati i valori pi`u cautelativi della coppia

(X∗

j, Yj∗) per la j-esima missione veicolo. In termini pratici viene monitorato l’andamento

dei valori (Xj, Yj) al variare di ε∗1 (che in generale `e discontinuo per come sono stati definiti

gli stessi) e scelta la situazione in cui uno degli m ε∗

1 d`a la |Faj|∗max da cui |Faj|/Fr j

∗ max.

Avendo utilizzato valori di ε∗

1 provenienti da modelli di veicoli paragonabili a quello in

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di (X∗ j, Yj∗).

Per quanto detto dunque, le equazioni (5.3) e (5.4), si riducono al seguente sistema: (P(k) _{= P}(k)_, Pm = Pm ε1 . (5.9)

Eguagliando le due funzioni,

P(k) _{= P} m ε1 , (5.10)

che rappresenta una condizione in cui Pm

ε1

− P(k) _{= 0,} _(5.11)

ovvero il valore di ε1 per cui si annulla la funzione:

Peq ε1 = Pm ε1 − P(k)_. _(5.12)

che `e la funzione di validazione cuscinetto cercata.

In realt`a, per un determinato cuscinetto, si possono ottenere quattro valori di ε1(k)

(dal momento che l’indice (k) varia a seconda dei coefficienti correttivi scelti secondo le relazioni(3.2)).

In sostanza si possono presentare i seguenti quattro casi nei quali la durata Lveic

prefissata potrebbe essere garantita:                              Peq ε1 = 0 =⇒ Pm ε1 − P(1) _{= 0 =⇒ ε} 1(1) =⇒ of f(1), Peq ε1 = 0 =⇒ Pm ε1 − P(2) _{= 0 =⇒ ε} 1(2) =⇒ of f(2), Peq ε1 = 0 =⇒ Pm ε1 − P(3) _{= 0 =⇒ ε} 1(3) =⇒ of f(3), Peq ε1 = 0 =⇒ Pm ε1 − P(4) _{= 0 =⇒ ε} 1(4) =⇒ of f(4). (5.13)

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5.3 Foglio di calcolo per la determinazione dell’offset

cuscinetto

Qui di seguito viene descritto il contenuto del file Excel per la scelta del cuscinetto di primo tentativo per il veicolo in progetto, fra alcuni della serie serie A-2Z MT33 selezionati da catalogo.

5.3.1 Flow chart

In figura 5.2 `e riportato il diagramma di flusso dell’applicazione delle teorie esposte fino ad ora nel file Excel.

Lo schema procedurale è riferito, per semplicità, ai calcoli effettuati su di un solo cuscinetto fra quelli ”candidati” da catalogo per dimensioni e caratteristiche (attraverso le modalità d’indagine in appendiceA, figuraA.5). Le procedure elaborate all’interno del foglio di calcolo estendono iterativamente l’applicazione della funzione di validazione, in ciascuna condizione di correzione P(k)_{, a ognuno dei cuscinetti della gamma scelta; per}

far questo è stato necessario creare una macro che ricerca gli zeri ε(k)₁ della funzione di validazione (5.12) attraverso il metodo numerico del goalseek (ricerca obiettivo). L’output del foglio elettronico è una tabella di quattro valori di offset idonei per ciascun cuscinetto, in base alla quale uno dei ”candidati” è scelto secondo requisiti di ingombro, affidabilità, e pertinenza con i dati esperienziali.

In generale `e preferibile scegliere il cuscinetto di dimensioni minori che presenta un primo valore di offset accettabile nella di P(k) _{in cui ci`o si verifica.}

5.3.2 Definizione parametri globali

Nel primo foglio del file Excel mostrato in appendice A nelle figure A.1, A.2, A.3, A.4

vengono inseriti tutti i dati di input necessari all’analisi unitamente ad una breve legenda. I parametri sono ulteriormente suddivisi in gruppi, a seconda che siano relativi al veicolo, al carico di missione ecc. . . ed utilizzati in maniera opportuna all’interno del modulo di calcolo secondo lo schema di figura5.2.

5.3.3 Raccolta dati e parametri di esperienza

Al fine di ottenere un foglio elettronico capace di selezionare il cuscinetto di partenza è stato necessario creare una tabella di valori ricavati dall’analisi di benchmarking tali da orientare la scelta dei parametri progettuali verso i valori più comunemente utilizzati nei veicoli appartenenti ai segmenti C, D, E; in questo modo diventa possibile sia definire i vincoli sui valori massimi e minimi dei molteplici parametri (ad esempio l’offset cuscinet-to), sia orientare la scelta iniziale di altri verso valori più simili dettati dall’esperienza (ad esempio le dimensioni del pneumatico).

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P = C aaff aSKF 10 Lveic (k) _(k) _(k) 2πR 3 3 Pm = ( XjFrj + YjFaj ) Uj Dati cucinetto: D ,d , L , q , α , C ,Pu , η , ν , ν1 ,T , Lveic Vati veicolo: m , b , l , h , t , R Dati missione: axj , ayj ,Uj , Cγ , γj , Rφ , µx , µy

Valori di carico equivalente corretto: (4) P (1) P (3) P (2) P Valutazione condizioni di carico equivalente corretto

Valutazione condizioni di carico equivalente medio

Inserimento valori ε1 * esperienziali

Pm = Pm (ε1) 3 Pm (ε1) - P(1)= 0 Pm (ε1) - P(2)= 0 Pm (ε1) - P(3)= 0 Pm (ε1) - P(4)_{= 0} ε1(1) ε1(3) ε1(4) ε1(2) Offset(1) Offset(3) Offset(2) Offset(4)

Scelta del valore di offset minimo

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Il dati contenuti nella tabella del foglio elettronico riportato in appendice figura A.5

sono riferiti alle griglie dei pneumatici utilizzati nei veicoli di riferimento.

Inoltre sono stati valutati i parametri costruttivi pi`u importanti dei cuscinetti analiz-zati nel benchmark, unitamente ai valori di offset cuscinetto maggiormente utilizanaliz-zati.

Per mezzo dell’indagine `e stato possibile determinare un insieme di valori di offset esperienziali compresi nell’intervallo [3; 13] mm.

5.3.4 Cuscinetti selezionabili da manuale

Attraverso l’analisi svolta nel precedente paragrafo, `e stato selezionato un gruppo di cu-scinetti della serie serie A-2Z MT33 dimensionalmente equivalente ai range definiti dai dati esperienziali, riportato su foglio elettronico insieme a tutti i parametri cuscinetto essenziali come osservabile in figuraA.6.

Per ogni cuscinetto vengono inoltre valutati i coefficienti correttivi aaf f e aSKF secondo

le modalit`a descritte nei paragrafi3.1.3 e3.1.4, in modo da stimare anche i relativi valori del carico equivalente P(k)_{; lo steso dicasi per la colonna degli ε}

2 il cui valore cambia da

cuscinetto a cuscinetto, variando il rapporto tra R e q.

5.3.5 Calcolo delle coppie (X

j

,Y

j

)

Nei fogli mostrati in appendice nelle figure A.7, A.8, A.9, A.10, A.11 sono visualizzati i risultati della determinazione delle coppie di coefficienti (Xj, Yj), secondo le modalit`a di

iterazione degli m valori esperienziali di ε∗

1(vedi appendiceA.5) descritte nel paragrafo5.2,

in modo tale da rendere la funzione di validazione (5.12) dipendente dalla sola variabile ε1.

5.3.6 Determinazione cuscinetto di primo tentativo e relativo

offset

L’ultimo foglio del file excel, `e quello attraverso il quale vengono ricercati gli zeri della (5.12) per ciascun cuscinetto del gruppo selezionato da manuale, secondo la procedura descritta alla fine del paragrafo5.2 nel sistema (5.13) ed illustrata in figura 5.2.

Nelle figure A.12 in appendice sono riportate le schermate dei risultati accettabili nell’analisi svolta.

La tabella in alto riporta in maniera ordinata tutti i valori dei parametri che devono essere fissati nella funzione di validazione per la ricerca degli zeri attraverso la metodologia del goalseek implementata nel Visual basic editor di Excel attraverso macro.

Nelle prima tabella in basso viene invece applicata la macro a ciascuna riga in modo da determinare i valori plausibili di ε(k)₁ di ciascun cuscinetto, mentre nella seconda in basso, ciascun valore di ε(k)₁ viene convertito nell’equivalente di of f(k) tramite formula inversa (5.8).

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Il criterio di scelta utilizzato `e quello di selezionare il primo cuscinetto (quello di dimensioni minori) che presenta un valore di ε(k)₁ e quindi di of f(k) accettabile.

Tale condizione si verifica per il cuscinetto 3308 A-2Z, nella condizione di carico equivalente P(3) _{= 20258 N (ovvero a}

af f = 1 e aSKF = 5) per il quale si presenta un

valore di ε(k)₁ = −0.14 corrispondente a of f(3) = 33.8 mm, le cui dimensioni e il relativo valore di offset vengono selezionate per l’importazione in ambiente ProE.

In appendiceB`e visualizzato il listato della macro in Visual basic editor per la ricerca degli zeri della funzione di validazione.

5.4 Verifica del foglio di calcolo

Al fine di avere un’analisi pi`u corretta, `e necessario validare i risultati ottenuti per mezzo del foglio elettronico, in modo da verificarne il corretto funzionamento.

Il modello parametrico della funzione di validazione viene dunque implementato sepa-ratamente in ambiente Matlab e parallelamente all’esecuzione del foglio Excel (attraverso il listato in appendice C) in modo da poterne visualizzare l’andamento in funzione di ε1.

Nel caso di questa analisi, i parametri delle missioni veicolo inseriti nel listato del programma sono quelli relativi al progetto in esame ed al cuscinetto selezionato 3308A-2Z, unitamente al valore di P(3)_{; questi vengono importati in Matlab attraverso una}

matrice di dati corrispondente alla tabellaA.12.

Qualora la verifica dovesse essere ripetuta per un nuovo progetto, `e necessario sola-mente cambiare il valore dei dati della matrice di importazione secondo le nuove specifiche, cos`ı come quelli di P(k)_.

5.4.1 Andamento della funzione di validazione cuscinetto

La funzione di validazione, relativa al cuscinetto 3308 A-2Z selezionato e analizzata per i coefficienti correttivi relativi a P(3)_{, ha l’andamento di figura}_5.3_{. A differenza del foglio}

elettronico si trovano due soluzioni di ε1 per cui Pm − P(3) = 0: la prima `e la stessa

ottenuta in ambiente Excel cio`e ε1 = −0.14, la seconda `e ε1 = −1.47.

Il range di ε1 nell’intervallo [−1, 47; −0, 14] rappresenta l’insieme dei valori teorici della

stessa variabile tale da garantire una durata a fatica del componente Lveic > 0.3, che `e

quella di progetto; a tale range ottimale di ε1 corrisponde a sua volta quello ottimale di

of f teorico [33.0; 104.4] mm. Come si è visto in5.3.3il range di of f esperienziale è invece di [3; 13] mm quindi più piccolo e non compreso in quello teorico.

Un range cos`ı spostato verso valori positivi, indica la prevalenza dell’effetto del mo-mento ribaltante sul cuscinetto dovuto pi`u alle forze laterali che a quelle radiali; sarebbe quindi opportuno tarare il foglio di calcolo su veicoli gi`a esistenti in modo da correggere le eventuali sovrastime introdotte nell’analisi dei carichi.

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Sulla base delle precedenti cosiderazioni diventa necessario valutare la perdita di Lveic

associata alla diminuzione di of f teorico fino al minimo valore esperienziale, in modo da capire se il cuscinetto scelto pu`o rispondere o meno ai requisiti di durata richiesti anche per offset minori di quelli ottenuti dall’analisi.

Attraverso la curva in figura `e possibile valutare il valore assunto dalla Pm−P(3) per la

condizione di of f = 3 (offset minimo) e conseguentemente il valore di Lveic determinato

da questa scelta (tratteggio arancio). La durata in questa condizione risulta essere Lveic =

0.26, che rappresenta una perdita globale del 13.5% sulla vita del cuscinetto.

Viste dunque le condizioni cautelative introdotte nelle ipotesi dei carichi di missione considerati e dei coefficienti correttivi adottati, un valore simile di perdita di vita risulta accettabile, dal momento che ci si trova in fase preliminare di progetto. Dunque nel modello CAD verr`a usato un valore di offset di input pari a quello ottenuto dal foglio Excel, ma che pu`o essere variato fino alla quota minima di 3 mm.

−3 −2 −1 0 -0.14 -1.47 0 3 26.5 33.9 104.4 0.44 0.26 0.3 0.5 1 2 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 ε1 Off Lveic Pm - P