Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 5

Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 5

Variabili aleatorie discrete (II).

Esercizio 1. Sia X, Y variabili casuali indipendenti con distribuzione Ge(p):

P(X = n) = P(Y = n) = p(1 − p)ⁿ⁻¹1_N(n) . Per n ≥ 2 fissato, si determini al variare di k ∈ R

q(k) := P (X = k | X + Y = n) , mostrando che q(·) è una densità discreta su R.

Esercizio 2. Siano X ∼ P o(λ), Y ∼ P o(µ) variabili casuali indipendenti. Per n ≥ 0 fissato, si determini al variare di k ∈ R

q(k) := P (X = k | X + Y = n) , mostrando che q(·) è una densità discreta su R.

Esercizio 3. Un insetto depone un numero aleatorio N ∼ P o(λ) di uova. Ciascun uovo deposto si schiude con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dal numero di uova deposte e dal fatto che le altre si schiudano. Sia X il numero di uova che si schiudono.

(a) Qual è il valore di P(X = k|N = n), per n ∈ N0 e k ∈ R?

(b) Si determini la legge di X.

Esercizio 4. Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p) e Z, W ∼ P o(λ).

Definiamo Y := XZ + W .

(a) Determinare le densità discrete di (X, Y ) e di Y .

(b) Utilizzando la densità p_Y calcolata al punto precedente, calcolare E(Y ) e V ar(Y ).

(c) Calcolare E(Y ) e V ar(Y ) senza utilizzare p_Y.

Osservazione: Date X₁, X₂ variabili aleatorie discrete reali (definite sullo stesso spazio di probabilità), per ogni t ∈ R valgono le seguenti uguaglianze tra eventi (esercizio):

{min{X₁, X₂} ≥ t} = {X₁ ≥ t, X₂ ≥ t} , {max{X₁, X₂} ≤ t} = {X₁≤ t, X₂ ≤ t} . Queste relazioni possono essere utili per la risoluzione degli esercizi che seguono.

Esercizio 5. Siano X₁, X₂ variabili indipendenti con distribuzione uniforme discreta sull’insieme {1, . . . , n}, dove n ∈ N. Definiamo la variabile Y := min{X1, X2}.

(a) Si calcoli P (Y = k) per ogni k ∈ N.

(b) Si mostri che per ogni t ∈ (0, 1)

n→∞lim P (Y ≤ tn) = 2t − t².

†Ultima modifica: 25 ottobre 2011.

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Esercizio 6. Siano X₁, . . . , X_nvariabili aleatorie indipendenti con X_i∼ Ge(p). Determinare la legge delle variabili aleatorie

Z := max{X₁, . . . , X_n} , W = min{X₁, . . . , X_n} .

Esercizio 7. Siano X, Y ∼ Ge(p) variabili indipendenti, con p ∈ (0, 1). Poniamo Z :=

max{X, Y } e W := Z − X.

(a) Determinare la densità congiunta p_X,Z di (X, Z).

(b) Determinare la densità p_W di W e calcolare E(W ).

(c) X e W sono indipendenti?