SOLUZIONE NUMERICA E RISULTATI 55

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SOLUZIONE NUMERICA E RISULTATI

5.1 Introduzione

Si prendono ora in esame le equazioni utilizzate dal modello numerico e si indica la loro procedura risolutiva. Vengono inoltre illustrati i risultati numerici in termini di andamenti delle variabili del plasma per ogni singola specie (in riferimento a due casi condotti negli esperimenti) e si effettua, infine, un confronto tra la caratteristica elettrica ricava dal modello e quella ottenuta sperimentalmente.

5.2 La procedura risolutiva

Le equazioni ricavate nel capitolo precedente per la descrizione della scarica sono: e io in in e e eT j dz dT T n dz dn _{=− −}μ ν (5.1) + − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 / 5 2 1 0 0 2 / 5 1 0 0 2 2 2 3 2 3 ) 5 2 ( 2 5 e e i in in e e e T e e e nT e c j j dz dT eT c j j g dz dT T dz T d μ ν 4 1 3 2 4 1 2 _{( )} e i e e cT c T T n T c c − − + (5.2)

) ( 2 ) ( 3 2 3 2 0 2 2 / 3 0 2 0 n i i in e i e i e i i in in e e i i _{T T} j en T T n T j e c enT T j dz dT T T dz dT − − − − − − = μ ν ν (5.3) ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = ₂ 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 2 ) ( 5 3 3 n n i e en n e n n i i n in n n n n n i n n n i n u n m T n n m u n m T T n n n T u n m n u n m dz dn ν ν ⎟⎟ ⎠ ⎞ + − + 0 0 0 0 0 0 2 2 _{i n n} en e e n n in i n in u n e m j m u n e j n nν ν ν (5.4) ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − − − = n in n n i e en n e n n i i n in n n n n n i n n n n i n n n u n m T n n m u n m T T n n n T u n m T n u n m dz dT 2 2 2 ) ( 5 3 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 0 ν ν ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ) ( 2 _{i n n} e en e n n i n in n n i en e e n n in i u n m T n m u n T T n u n e m j m u n e j ν ν ν ν + − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ + − (5.5) 2 / 3 2 0 0 2 2 0 ) 4 ( 3 2 4 51 . 0 e e e i in in e T T j L e m n e j dz dT g dz dV πε π ν μ ⋅ − − = (5.6)

Esse costituiscono un sistema di sei equazioni differenziali nelle sei incognite , , , , e V . Poiché il sistema è composto da cinque equazioni differenziali del primo ordine e da un’equazione differenziale del secondo ordine, sono necessarie sette condizioni al contorno.

n Te Ti nn Tn

Come valori al contorno si prendendo i valori iniziali (all’orifizio) relativi alla densità elettronica, alla temperatura elettronica e alla sua derivata, alla temperatura ionica e alla densità e temperatura dei neutri ricavate dal modello numerico svolto nel lavoro di tesi [11].

La condizione sul potenziale del plasma è invece riferita, per quanto visto nel capitolo precedente, alla frontiera dello sheath anodico.

pL L z n z n n z n i z i e z e e z e z V z V T z T n z n T z T T dz z dT T z T n z n = = = = = = = = = = = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 & (5.7)

Si procede quindi ad analizzare le situazione alla frontiera dello sheath anodico per ricavare la soluzione al bordo necessaria. La corrente che scorre nel circuito di alimentazione è uguale alla corrente immessa dal catodo che a sua volta deve uguagliare la corrente drenata dall’anodo:

anodo catodo I

I = (5.8a) Per quanto riguarda la corrente al catodo essa è data dal flusso di particelle attraverso l’orifizio: ) ( e i orif catodo eA I = Γ −Γ (5.8b) dove A_orif è la superficie di sbocco del catodo.

Il flusso di particelle di una data specie, nel caso di distribuzione maxwlliana della velocità, attraverso una superficie comunque orientata (ovvero il numero di dette particelle che attraversano la superficie per unità di tempo e di area) è dato da:

u n 4 1 = Γ (5.8c) dove è la densità di particelle della specie e n u la loro velocità media.

Bisogna tener presente che per gli elettroni la velocità disordinata (termica) è molto più grande della velocità relativa al moto diretto, per cui la loro velocità media per una distribuzione maxwelliana è data da:

e e m eT π 8 = e u (5.8d) Dal momento che la massa di un elettrone è di gran lunga minore di quella di uno ione, si ha che la velocità media degli elettroni è molto più grande di quella degli ioni. Inoltre, per via della quasi neutralità del plasma ( ), la corrente immessa dal catodo risulterà essere dominata dal contributo dovuto al flusso di elettroni:

i e n n = e e orif i e orif catodo m eT enA n n eA I π 2 4 1 4 1 ≅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = u_e u_i (5.8e) dove la densità e la temperatura elettronica sono riferite alle condizioni iniziali (z=0).

Per quanto riguarda la corrente anodica, essa è pari alla somma delle correnti dovute al flusso di particelle cariche che attraversano la zona dello sheath e arrivano all’anodo:

e i anodo I I

I = + (5.8f) dove I_e, I_i sono rispettivamente la corrente elettronica e la corrente ionica.

Applicando l’equazione di Boltzmann sulla superficie delimitante il presheath dallo sheath si ottiene :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ = ≅ _∞ e s es is T V n n n exp (5.8g)

dove è la densità delle particelle cariche del plasma imperturbato e la differenza tra il potenziale sulla superficie e quello del plasma imperturbato. ∞ n p s s V V V = − Δ

Il criterio di Bohm afferma che gli ioni possono entrare nello sheath se hanno una velocità:

i e m eT ≥ is u (5.8h)

Assumendo che l’energia degli ioni sia trascurabile in condizioni di plasma imperturbato (Ti << ), l’accelerazione necessaria a raggiungere Te

viene fornita della differenza di potenziale

is u s

V

Δ , gli ioni acquistano una velocità pari a: i s m V eΔ − = 2 is u (5.8i) Per cui uguagliando la (5.8h) con la (5.8i) si ha:

2 e s T V =− Δ (5.8j) La corrente ionica è data da:

is u is s is eA n I = (5.8k) e sostituendo nella (5.8k) la (5.8g) e la (5.8j) si ricava

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = _∞ 2 1 exp i e s is m eT n eA I (5.8l)

Per quanto già detto, la velocità media degli elettroni verso l’anodo è determinata dal moto termico, quindi la corrente elettronica alla superficie di separazione tra prescheath e sheath è:

e u es s es s es eA eA n I 4 1 − = Γ − = (5.8m) Utilizzando la (5.8c) e sostituendo nella (5.8m) la (5.8g) e la (5.8d), si ha:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − = _∞ e s e e s es T V m eT n eA I exp 2π (5.8n) Poiché lo spessore dello sheath è in genere paragonabile alla lunghezza di Debye, si può ritenere tale zona trascurabile in quanto molto minore delle dimensioni dell’anodo (thin sheath approximation -

approssimazione di sheath sottile). In base a ciò la superficie di separazione

presheath-sheath viene fatta coincidere con la superficie dell’anodo:

a s V

V = (5.8o)

A

A_s =

(

)

dove , e sono rispettivamente la densità, la temperature elettronica e il potenziale del plasma all’anodo (

L

n T_eL V_pL

L z= ).

Poiché la condizione sul potenziale non è una condizione iniziale, il sistema è un problema ai valori al contorno. Ci si è avvalso, quindi, del metodo dello shooting che ha permesso di ricondurre il sistema originario ad un sistema differenziale del primo ordine ai valori iniziali in cui il parametro di sparo è un valore di primo tentativo del potenziale del plasma all’orifizio.

Lo schema risolutivo è stato quindi di utilizzare la (5.8q) per ricavare il potenziale del plasma all’anodo, essendo note la densità elettronica e la temperatura elettronica all’anodo, nonché la corrente anodica. Infatti, dalla (5.8a), si è ricavato la corrente all’anodo essendo:

anodo e e orif catodo I m eT A en I = = π 2 0 0 (5.8r)

dove , sono rispettivamente la densità e la temperatura elettronica all’orifizio del catodo ( ). Ciò ha permesso di implementare una procedura iterativa in cui si ricalcola il valore all’orifizio del potenziale del plasma fino ad arrivare alla convergenza. In questo modo la risoluzione del sistema numerico permette di legare al valore in ingresso del potenziale anodico la corrente che scorre nella scarica e quindi la caratteristica elettrica del dispositivo. 0 n Te0 0 = z

Il sistema è stato risolto numericamente utilizzando il software MATLAB 6.1 e la strategia risolutiva adottata è stata suggerita dalla stessa natura delle equazioni differenziali.

Infatti si può vedere come le (5.1), (5.2), (5.3), (5.4) e (5.5) sono disaccoppiate dalla (5.6), il che suggerisce la risoluzione del sistema formato dalle equazioni (5.1), (5.2), (5.3), (5.4) e (5.5) e poi, a parte, la risoluzione della (5.6) con la condizione (5.8r) sulla corrente.

Nell’Appendice B si riporta il listato completo del relativo programma MATLAB 6.1.

5.3 Risultati numerici e loro analisi

Si riportano ora i grafici relativi agli andamenti delle variabili del plasma (densità, temperatura e velocità media) per ogni specie presente e del potenziale del plasma lungo la scarica.

I risultati del modello numerico sono riferiti a due coppie di valori di portata di flusso e di potenziale anodico utilizzati durante i test di funzionamento:

Caso1

- Portata m&_Xe =0.6mg/s, Potenziale anodico V_a =70Volt Caso2

Caso 1

Figura 5.1a : Andamento della densità elettronica (caso 1)

Figura 5.1c : Andamento della temperatura elettronica (caso 1)

Figura 5.1e : Andamento della temperatura dei neutri (caso 1)

Caso2

Figura 5.2a : Andamento della densità elettronica (caso 2)

Figura 5.2c : Andamento della temperatura elettronica (caso 2)

Figura 5.2e : Andamento della temperatura dei neutri (caso 2)

Dai grafici ottenuti si nota un diverso andamento della densità elettronica (o ionica) rispetto a quella dei neutri. Infatti mentre per i neutri l’espansione non è frenata dal campo elettrico, per gli elettroni si ha un andamento più piatto per l’effetto di carica spaziale dovuto alla presenza del campo stesso.

Per quanto riguarda la temperatura delle particelle si nota come quella relativa alle specie pesanti (ioni e neutri) diminuisca mentre quella relativa agli elettroni aumenti. Una ragione plausibile degli andamenti delle temperature sta nel fatto che esse sono legate al moto disordinato (termico) delle particelle. Infatti, all’orifizio, gli elettroni lenti aumentano il loro moto termico per effetto delle collisioni elastiche con gli ioni veloci che arrivano dall’anodo.

Il rapido appiattimento dell’andamento della temperatura elettronica è quindi causa del bilanciamento tra l’effetto delle collisioni e quello dovuto all’espansione. Le particelle pesanti invece non sono sensibili agli effetti delle collisioni elastiche e per loro prevalgono quelli dovuti all’espansione.

La mancanza di dati sperimentali relativi ad alcune grandezze del plasma (densità elettronica e temperatura elettronica) per l’assenza nell’apparecchiatura sperimentale di sonde elettrostatiche, non permette di effettuare un confronto tra i dati del modello e quelli sperimentali.

Tuttavia è possibile comunque ricavare un indice di attendibilità del modello mediante il confronto tra la caratteristica elettrica ottenuta per via teorica e quella ottenuta per via sperimentale (Figura 5.3).

Figura 5.3 : Confronto tra caratteristica elettrica del modello e sperimentale

Dal confronto degli andamenti della caratteristica elettrica si evince un minore scostamento del Caso 2 rispetto al Caso 1. Questo probabilmente è dovuto al fatto che all’aumentare della portata (densità maggiori) e del potenziale all’anodo (correnti maggiori) le condizioni del plasma nella scarica sono molto più vicine a quelle di gas fortemente ionizzato ipotizzate nel modello.